初一上学期数学 压轴题 期末复习模拟试卷带答案
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初一上学期数学压轴题期末复习模拟试卷带答案
一、压轴题
1.综合与探究问题背景数学活动课上,老师将一副三角尺按图(1)所示位置摆放,分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM、ON,然后提出如下问题:求出∠MON的度数.
特例探究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题,他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放,OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的角平分线.其中,按图2方式摆放时,可以看成是ON、OD、OB在同一直线上.按图3方式摆放时,∠AOC和
∠BOD相等.
(1)请你帮助“兴趣小组”进行计算:图2中∠MON的度数为°.图3中
∠MON的度数为°.
发现感悟
解决完图2,图3所示问题后,“兴趣小组”又对图1所示问题进行了讨论:
小明:由于图1中∠AOC和∠BOD的和为90°,所以我们容易得到∠MOC和∠NOD的和,这样就能求出∠MON的度数.
小华:设∠BOD为x°,我们就能用含x的式子分别表示出∠NOD和∠MOC度数,这样也能求出∠MON的度数.
(2)请你根据他们的谈话内容,求出图1中∠MON的度数.
类比拓展
受到“兴趣小组”的启发,“智慧小组”将三角尺按图4所示方式摆放,分别作出
∠AOC、∠BOD的平分线OM、ON,他们认为也能求出∠MON的度数.
(3)你同意“智慧小组”的看法吗?若同意,求出∠MON的度数;若不同意,请说明理由.
2.如图1,已知面积为12的长方形ABCD,一边AB在数轴上。点A表示的数为—2,点B 表示的数为1,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设点P运动时间为t(t>0)秒.
(1)长方形的边AD长为单位长度;
(2)当三角形ADP面积为3时,求P点在数轴上表示的数是多少;
(3)如图2,若动点Q以每秒3个单位长度的速度,从点A沿数轴向右匀速运动,与P
点出发时间相同。那么当三角形BDQ,三角形BPC两者面积之差为1
2
时,直接写出运动时
间t 的值.
3.如图,已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上位于点A左侧一点,且AB=22,动点P从A点出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒.
(1)出数轴上点B表示的数;点P表示的数(用含t的代数式表示)
(2)动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若点P、Q同时出发,问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2?
(3)动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P、Q同时出发,问点P运动多少秒时追上点Q?
(4)若M为AP的中点,N为BP的中点,在点P运动的过程中,线段MN的长度是否发生变化?若变化,请说明理由,若不变,请你画出图形,并求出线段MN的长.
4.已知数轴上两点A、B,其中A表示的数为-2,B表示的数为2,若在数轴上存在一点C,使得AC+BC=n,则称点C叫做点A、B的“n节点”.例如图1所示:若点C表示的数为0,有AC+BC=2+2=4,则称点C为点A、B的“4节点”.
请根据上述规定回答下列问题:
(1)若点C为点A、B的“n节点”,且点C在数轴上表示的数为-4,求n的值;
(2)若点D是数轴上点A、B的“5节点”,请你直接写出点D表示的数为______;
(3)若点E在数轴上(不与A、B重合),满足BE=1
2
AE,且此时点E为点A、B的“n节
点”,求n的值.
5.如图,数轴上点A 表示的数为4-,点B 表示的数为16,点P 从点A 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t 秒(t 0)>.
()1A ,B 两点间的距离等于______,线段AB 的中点表示的数为______;
()2用含t 的代数式表示:t 秒后,点P 表示的数为______,点Q 表示的数为______; ()3求当t 为何值时,1PQ AB 2
=?
()4若点M 为PA 的中点,点N 为PB 的中点,点P 在运动过程中,线段MN 的长度是否发
生变化?若变化,请说明理由;若不变请直接写出线段MN 的长.
6.如图,已知数轴上点A 表示的数为6,B 是数轴上在A 左侧的一点,且A ,B 两点间的距离为10.动点P 从点A 出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,动点Q 从点B 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.(1)设运动时间为t (t >0)秒,数轴上点B 表示的数是 ,点P 表示的数是 (用含t 的代数式表示);(2)若点P 、Q 同时出发,求:①当点P 运动多少秒时,点P 与点Q 相遇?②当点P 运动多少秒时,点P 与点Q 间的距离为8个单位长度?
7.如图,已知数轴上点A 表示的数为10,B 是数轴上位于点A 左侧一点,且AB=30,动点P 从点A 出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为秒.
(1)数轴上点B 表示的数是________,点P 表示的数是________(用含的代数式表示); (2)若M 为线段AP 的中点,N 为线段BP 的中点,在点P 运动的过程中,线段MN 的长度会发生变化吗?如果不变,请求出这个长度;如果会变化,请用含的代数式表示这个长度; (3)动点Q 从点B 处出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P 、Q 同时出发,问点P 运动多少秒时与点Q 相距4个单位长度?
8.如图,数轴上有A , B 两点,分别表示的数为a ,b ,且()2
25350a b ++-=.点P
从A 点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,当它到达B 点后立即以相同的速度返回往A 点运动,并持续在A ,B 两点间往返运动.在点P 出发的同时,点Q 从B 点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动,当点Q 达到A 点时,点P ,Q 停止运动.
(1)填空:a=,b=;
(2)求运动了多长时间后,点P,Q第一次相遇,以及相遇点所表示的数;
(3)求当点P,Q停止运动时,点P所在的位置表示的数;
(4)在整个运动过程中,点P和点Q一共相遇了几次.(直接写出答案)
9.如图,P是定长线段AB上一点,C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上,D在线段BP上)
(1)若C、D运动到任一时刻时,总有PD=2AC,请说明P点在线段AB上的位置:
(2)在(1)的条件下,Q是直线AB上一点,且AQ﹣BQ=PQ,求PQ
AB
的值.
(3)在(1)的条件下,若C、D运动5秒后,恰好有
1
CD AB
2
=,此时C点停止运动,
D点继续运动(D点在线段PB上),M、N分别是CD、PD的中点,下列结论:①PM﹣PN
的值不变;②MN
AB
的值不变,可以说明,只有一个结论是正确的,请你找出正确的结论并
求值.
10.数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到,例如:如图①,若点A,B在数轴上分别对应的数为a,b(a
请你用以上知识解决问题:
如图②,一个点从数轴上的原点开始,先向左移动2个单位长度到达A点,再向右移动3个单位长度到达B点,然后向右移动5个单位长度到达C点.
(1)请你在图②的数轴上表示出A,B,C三点的位置.
(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左移动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右移动,设移动时间为t秒.
①当t=2时,求AB和AC的长度;
②试探究:在移动过程中,3AC-4AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值.
11.如图,直线l上有A、B两点,点O是线段AB上的一点,且OA=10cm,OB=5cm.
(1)若点C是线段AB的中点,求线段CO的长.
(2)若动点P、Q分别从 A、B同时出发,向右运动,点P的速度为4c m/s,点Q的速度为3c m/s,设运动时间为x秒,
①当x=__________秒时,PQ=1cm;
②若点M从点O以7c m/s的速度与P、Q两点同时向右运动,是否存在常数m,使得
4PM+3OQ﹣mOM为定值,若存在请求出m值以及这个定值;若不存在,请说明理由.(3)若有两条射线OC、OD均从射线OA同时绕点O顺时针方向旋转,OC旋转的速度为6度/秒,OD旋转的速度为2度/秒.当OC与OD第一次重合时,OC、OD同时停止旋转,设旋转时间为t秒,当t为何值时,射线OC⊥OD?
12.阅读下列材料,并解决有关问题:
我们知道,
(0)
0(0)
(0)
x x
x x
x x
>
?
?
==
?
?-<
?
,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子,例如化简式子|1||2|
x x
++-时,可令10
x+=和20
x-=,分别求得1
x=-,2
x=(称
1-、2分别为|1|
x+与|2|
x-的零点值).在有理数范围内,零点值1
x=-和2
x=可将全体有理数不重复且不遗漏地分成如下三种情况:
(1)1
x<-;(2)1
-≤2
x<;(3)x≥2.从而化简代数式|1||2|
x x
++-可分为以下3种情况:
(1)当1
x<-时,原式()()
1221
x x x
=-+--=-+;
(2)当1-≤2
x<时,原式()()
123
x x
=+--=;
(3)当x≥2时,原式()()
1221
x x x
=++-=-
综上所述:原式
21(1)
3(12)
21(2)
x x
x
x x
-+<-
?
?
=-≤<
?
?-≥
?
通过以上阅读,请你类比解决以下问题:
(1)填空:|2|
x+与|4|
x-的零点值分别为;
(2)化简式子324
x x
-++.
13.已知:如图,点M是线段AB上一定点,12
AB cm
=,C、D两点分别从M、B 出发以1/
cm s、2/
cm s的速度沿直线BA向左运动,运动方向如箭头所示(C在线段AM上,D在线段BM上)
()1若4
AM cm
=,当点C、D运动了2s,此时AC=________,DM=________;(直接填空)
()2当点C、D运动了2s,求AC MD
+的值.
()3若点C、D运动时,总有2
MD AC
=,则AM=________(填空)
()4在()3的条件下,N是直线AB上一点,且AN BN MN
-=,求MN
AB
的值.
14.(阅读理解)
若A,B,C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍,我们就称点C是(A,B)的优点.
例如,如图①,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是(A,B)的优点;又如,表示0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是(A,B)的优点,但点D是(B,A)的优点.(知识运用)
如图②,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为﹣2,点N所表示的数为4.
(1)数所表示的点是(M,N)的优点;
(2)如图③,A、B为数轴上两点,点A所表示的数为﹣20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以4个单位每秒的速度向左运动,到达点A停止.当t为何值时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点?
15.如图①,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC=120°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.(1)将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置,使一边OM在∠BOC的内部,当OM平分∠BOC时,∠BO N= ;(直接写出结果)
(2)在(1)的条件下,作线段NO的延长线OP(如图③所示),试说明射线OP是
∠AOC的平分线;
(3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置,请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系.(直接写出结果,不须说明理由)
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题
1.(1)135,135;(2)∠MON=135°;(3)同意,∠MON=(90°﹣1
2
x°)+x°+
(45°﹣1
2
x°)=135°.
【解析】【分析】
(1)由题意可得,∠MON=1
2
×90°+90°,∠MON=
1
2
∠AOC+
1
2
∠BOD+∠COD,即可
得出答案;
(2)根据“OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线”可求出∠MOC+∠NOD,又∠MON =(∠MOC+∠NOD)+∠COD,即可得出答案;
(3)设∠BOC=x°,则∠AOC=180°﹣x°,∠BOD=90°﹣x°,进而求出∠MOC和∠BON,又∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BON,即可得出答案.
【详解】
解:(1)图2中∠MON=1
2
×90°+90°=135°;图3中∠MON=
1 2∠AOC+
1
2
∠BOD+∠COD=
1
2
(∠AOC+∠BOD)+90°=
1
2
90°+90°=135°;
故答案为:135,135;
(2)∵∠COD=90°,
∴∠AOC+∠BOD=180°﹣∠COD=90°,
∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线,
∴∠MOC+∠NOD=1
2
∠AOC+
1
2
∠BOD=
1
2
(∠AOC+∠BOD)=45°,
∴∠MON=(∠MOC+∠NOD)+∠COD=45°+90°=135°;(3)同意,
设∠BOC=x°,则∠AOC=180°﹣x°,∠BOD=90°﹣x°,
∵OM 和ON 是∠AOC 和∠BOD 的角平分线,
∴∠MOC =
12∠AOC =12(180°﹣x °)=90°﹣1
2x °, ∠BON =12∠BOD =12(90°﹣x °)=45°﹣1
2
x °,
∴∠MON =∠MOC +∠BOC +∠BON =(90°﹣12x °)+x °+(45°﹣1
2
x °)=135°. 【点睛】
本题考查的是对角度关系及运算的灵活运用和掌握,此类问题的练习有利于学生更好的对角进行理解.
2.(1)4;(2)-3.5或-0.5;(3)t 的值为1116、1316、138或11
8
. 【解析】 【分析】
(1)先求出AB 的长,由长方形ABCD 的面积为12,即可求出AD 的长;
(2)由三角形ADP 面积为3,求出AP 的长,然后分两种情况讨论:①点P 在点A 的左边;②点P 在点A 的右边.
(3) 分两种情况讨论:①若Q 在B 的左边,则BQ = 3-3t .由|S △BDQ -S △BPC |=1
2
,解方程即可;②若Q 在B 的右边,则BQ = 3t -3.由|S △BDQ -S △BPC |=1
2
,解方程即可. 【详解】
(1)AB =1-(-2)=3.
∵长方形ABCD 的面积为12,∴AB ×AD =12,∴AD =12÷3=4. 故答案为:4.
(2)三角形ADP 面积为:12AP ?AD =1
2
AP ×4=3, 解得:AP =1.5,
点P 在点A 的左边:-2-1.5=-3.5,P 点在数轴上表示-3.5; 点P 在点A 的右边:-2+1.5=-0.5,P 点在数轴上表示-0.5. 综上所述:P 点在数轴上表示-3.5或-0.5.
(3)分两种情况讨论:①若Q 在B 的左边,则BQ =AB -AQ =3-3t .
S △BDQ =
12BQ ?AD =1(33)42t -?=66t -,S △BPC =12BP ?AD =1
42
t ?=2t , 1(66)22
t t --=,680.5t -=±,解得:t =1316或11
16;
②若Q 在B 的右边,则BQ =AQ -AB =3t -3.
S △BDQ =12BQ ?AD =1(33)42t -?=66t -,S △BPC =12BP ?AD =1
42
t ?=2t ,
1(66)22
t t --=,460.5t -=±,解得:t =138或11
8.
综上所述:t 的值为1116、1316、138或11
8
.
【点睛】
本题考查了数轴、一元一次方程的应用,用到的知识点是数轴上两点之间的距离公式. 3.(1)﹣14,8﹣5t ;(2)2.5或3秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2;(3)点P 运动11秒时追上点Q ;(4)线段MN 的长度不发生变化,其值为11,见解析. 【解析】 【分析】
(1)根据已知可得B 点表示的数为8﹣22;点P 表示的数为8﹣5t ;(2)设t 秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2.分①点P 、Q 相遇之前和②点P 、Q 相遇之后两种情况求t 值即可;(3)设点P 运动x 秒时,在点C 处追上点Q ,则AC =5x ,BC =3x ,根据AC ﹣BC =AB ,列出方程求解即可;(3)分①当点P 在点A 、B 两点之间运动时,②当点P 运动到点B 的左侧时,利用中点的定义和线段的和差求出MN 的长即可. 【详解】
(1)∵点A 表示的数为8,B 在A 点左边,AB =22, ∴点B 表示的数是8﹣22=﹣14,
∵动点P 从点A 出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t (t >0)秒,
∴点P 表示的数是8﹣5t . 故答案为:﹣14,8﹣5t ;
(2)若点P 、Q 同时出发,设t 秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2.分两种情况: ①点P 、Q 相遇之前,
由题意得3t +2+5t =22,解得t =2.5; ②点P 、Q 相遇之后,
由题意得3t ﹣2+5t =22,解得t =3.
答:若点P 、Q 同时出发,2.5或3秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2; (3)设点P 运动x 秒时,在点C 处追上点Q ,
则AC =5x ,BC =3x , ∵AC ﹣BC =AB , ∴5x ﹣3x =22, 解得:x =11,
∴点P 运动11秒时追上点Q ;
(4)线段MN 的长度不发生变化,都等于11;理由如下: ①当点P 在点A 、B 两点之间运动时:
MN=MP+NP=1
2
AP+
1
2
BP=
1
2
(AP+BP)=
1
2
AB=
1
2
×22=11;
②当点P运动到点B的左侧时:
MN=MP﹣NP=1
2
AP﹣
1
2
BP=
1
2
(AP﹣BP)=
1
2
AB=11,
∴线段MN的长度不发生变化,其值为11.
【点睛】
本题考查了数轴一元一次方程的应用,用到的知识点是数轴上两点之间的距离,关键是根据题意画出图形,注意分两种情况进行讨论.
4.(1)n= 8;(2)-2.5或2.5;(3)n=4或n=12.
【解析】
【分析】
(1)根据“n节点”的概念解答;
(2)设点D表示的数为x,根据“5节点”的定义列出方程分情况,并解答;
(3)需要分类讨论:①当点E在BA延长线上时,②当点E在线段AB上时,③当点E在
AB延长线上时,根据BE=1
2
AE,先求点E表示的数,再根据AC+BC=n,列方程可得结论.
【详解】
(1)∵A表示的数为-2,B表示的数为2,点C在数轴上表示的数为-4,∴AC=2,BC=6,
∴n=AC+BC=2+6=8.
(2)如图所示:
∵点D是数轴上点A、B的“5节点”,
∴AC+BC=5,
∵AB=4,
∴C在点A的左侧或在点A的右侧,
设点D表示的数为x,则AC+BC=5,
∴-2-x+2-x=5或x-2+x-(-2)=5,
x=-2.5或2.5,
∴点D表示的数为2.5或-2.5;
故答案为-2.5或2.5;
(3)分三种情况:
①当点E在BA延长线上时,
∵不能满足BE=1
2 AE,
∴该情况不符合题意,舍去; ②当点E 在线段AB 上时,可以满足BE=
1
2
AE ,如下图,
n=AE+BE=AB=4;
③当点E 在AB 延长线上时,
∵BE=
1
2
AE , ∴BE=AB=4,
∴点E 表示的数为6, ∴n=AE+BE=8+4=12, 综上所述:n=4或n=12. 【点睛】
本题考查数轴,一元一次方程的应用,解题的关键是掌握“n 节点”的概念和运算法则,找出题中的等量关系,列出方程并解答,难度一般.
5.(1)20,6;(2)43t -+,162t -;(3)t 2=或6时;(4)不变,10,理由见解析. 【解析】 【分析】
(1)由数轴上两点距离先求得A ,B 两点间的距离,由中点公式可求线段AB 的中点表示的数;
(2)点P 从点A 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q 从点B 出发,向右为正,所以-4+3t ;
Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动,向左为负,16-2t.
(3)由题意,1
PQ AB 2
=表示出线段长度,可列方程求t 的值; (4)由线段中点的性质可求MN 的值不变. 【详解】
解:()
1点A 表示的数为4-,点B 表示的数为16,
A ∴,
B 两点间的距离等于41620--=,线段AB 的中点表示的数为
416
62
-+= 故答案为20,6
()
2点P 从点A 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,
∴点P 表示的数为:43t -+,
点Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动,
∴点Q 表示的数为:162t -,
故答案为43t -+,162t -
()
13PQ AB 2
=
()43t 162t 10∴-+--=
t 2∴=或6
答:t 2=或6时,1
PQ AB 2
=
()4线段MN 的长度不会变化,
点M 为PA 的中点,点N 为PB 的中点,
1PM PA 2∴=
,1
PN PB 2
= ()1
MN PM PN PA PB 2
∴=-=
- 1
MN AB 102
∴=
= 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用,数轴上两点之间的距离,找到正确的等量关系列出方程是本题的关键.
6.(1)﹣4,6﹣5t ;(2)①当点P 运动5秒时,点P 与点Q 相遇;②当点P 运动1或9秒时,点P 与点Q 间的距离为8个单位长度. 【解析】 【分析】
(1)根据题意可先标出点A ,然后根据B 在A 的左侧和它们之间的距离确定点B ,由点P 从点A 出发向左以每秒5个单位长度匀速运动,表示出点P 即可;
(2)①由于点P 和Q 都是向左运动,故当P 追上Q 时相遇,根据P 比Q 多走了10个单位长度列出等式,根据等式求出t 的值即可得出答案;
②要分两种情况计算:第一种是点P 追上点Q 之前,第二种是点P 追上点Q 之后. 【详解】
解:(1)∵数轴上点A 表示的数为6, ∴OA =6,
则OB =AB ﹣OA =4, 点B 在原点左边,
∴数轴上点B 所表示的数为﹣4; 点P 运动t 秒的长度为5t ,
∵动点P 从点A 出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动, ∴P 所表示的数为:6﹣5t , 故答案为﹣4,6﹣5t ;
(2)①点P运动t秒时追上点Q,
根据题意得5t=10+3t,
解得t=5,
答:当点P运动5秒时,点P与点Q相遇;
②设当点P运动a秒时,点P与点Q间的距离为8个单位长度,
当P不超过Q,则10+3a﹣5a=8,解得a=1;
当P超过Q,则10+3a+8=5a,解得a=9;
答:当点P运动1或9秒时,点P与点Q间的距离为8个单位长度.
【点睛】
在数轴上找出点的位置并标出,结合数轴求追赶和相遇问题是本题的考点,正确运用数形结合解决问题是解题的关键,注意不要漏解.
7.(1)-20,10-5t;(2)线段MN的长度不发生变化,都等于15.(3)13秒或17秒【解析】
【分析】
(1)根据已知可得B点表示的数为10-30;点P表示的数为10-5t;
(2)分类讨论:①当点P在点A、B两点之间运动时,②当点P运动到点B的左侧时,利用中点的定义和线段的和差易求出MN.
(3) 分①点P、Q相遇之前,②点P、Q相遇之后,根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可;
【详解】
解:(1))∵点A表示的数为10,B在A点左边,AB=30,
∴数轴上点B表示的数为10-30=-20;
∵动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为
t(t>0)秒,
∴点P表示的数为10-5t;
故答案为-20,10-5t;
(2)线段MN的长度不发生变化,都等于15.理由如下:
①当点P在点A、B两点之间运动时,
∵M为线段AP的中点,N为线段BP的中点,
∴MN=MP+NP=AP+BP=(AP+BP)=AB=15;
②当点P运动到点B的左侧时:
∵M为线段AP的中点,N为线段BP的中点,
∴MN=MP-NP=AP-BP=(AP-BP)=AB=15,
∴综上所述,线段MN的长度不发生变化,其值为15.
(3)若点P、Q同时出发,设点P运动t秒时与点Q距离为4个单位长度.
①点P、Q相遇之前,
由题意得4+5t=30+3t,解得t=13;
②点P、Q相遇之后,
由题意得5t-4=30+3t,解得t=17.
答:若点P、Q同时出发,13或17秒时P、Q之间的距离恰好等于4;
【点睛】
本题考查了数轴一元一次方程的应用,用到的知识点是数轴上两点之间的距离,关键是根据题意画出图形,注意分两种情况进行讨论.
8.(1)25
-,35(2)运动时间为4秒,相遇点表示的数字为27 ;(3)5;(4) 一共相遇了7次.
【解析】
【分析】
(1)根据0+0式的定义即可解题;(2)设运动时间为x秒,表示出P,Q的运动路程,利用路程和等于AB长即可解题;(3)根据点Q达到A点时,点P,Q停止运动求出运动时间即可解题;(4)根据第三问点P运动了6个来回后,又运动了30个单位长度即可解题.
【详解】
解:(1)25
-,35
(2)设运动时间为x秒
13x2x2535
+=+
解得x4
=
352427
-?=
答:运动时间为4秒,相遇点表示的数字为27
(3)运动总时间:60÷2=30(秒),13×30÷60=6…30即点P运动了6个来回后,又运动了30个单位长度,
∵25305
-+=,
∴点P所在的位置表示的数为5 .
(4)由(3)得:点P运动了6个来回后,又运动了30个单位长度,
∴点P和点Q一共相遇了6+1=7次.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的实际应用,数轴的应用,难度较大,熟悉路程,时间,速度之间的关系是解题关键.
9.(1)点P在线段AB上的1
3
处;(2)
1
3
;(3)②MN
AB
的值不变.
【解析】
【分析】
(1)根据C、D的运动速度知BD=2PC,再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP,所以点P在
线段AB上的1
3
处;
(2)由题设画出图示,根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ;然后求得AP=BQ,从而求得PQ 与AB的关系;
(3)当点C停止运动时,有CD=1
2
AB,从而求得CM与AB的数量关系;然后求得以AB
表示的PM与PN的值,所以MN=PN?PM=
1
12
AB.
【详解】
解:(1)由题意:BD=2PC
∵PD=2AC,
∴BD+PD=2(PC+AC),即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的1
3
处;
(2)如图:
∵AQ-BQ=PQ,∴AQ=PQ+BQ,∵AQ=AP+PQ,∴AP=BQ,
∴PQ=1
3 AB,
∴
1
3 PQ AB
(3)②MN
AB
的值不变.理由:如图,
当点C停止运动时,有CD=1
2 AB,
∴CM=1
4 AB,
∴PM=CM-CP=1
4
AB-5,
∵PD=2
3
AB-10,
∴PN=12
23
(AB-10)=
1
3
AB-5,
∴MN=PN-PM=
1
12
AB,
当点C 停止运动,D点继续运动时,MN的值不变,
所以
1
1
12
12
AB
MN
AB AB
==.
【点睛】
本题考查了比较线段的长短.利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法,有利于解题的简洁性.同时,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.
10.(1)详见解析;(2)①16;②在移动过程中,3AC﹣4AB的值不变
【解析】
【分析】
(1)根据点的移动规律在数轴上作出对应的点即可;
(2)①当t=2时,先求出A、B、C点表示的数,然后利用定义求出AB、AC的长即可;
②先求出A、B、C点表示的数,然后利用定义求出AB、AC的长,代入3AC-4AB即可得到结论.
【详解】
(1)A,B,C三点的位置如图所示:
.
(2)①当t=2时,A点表示的数为-4,B点表示的数为5,C点表示的数为12,∴AB=5-(-4)=9,AC=12-(-4)=16.
②3AC-4AB的值不变.
当移动时间为t秒时,A点表示的数为-t-2,B点表示的数为2t+1,C点表示的数为3t +6,则:AC=(3t+6)-(-t-2)=4t+8,AB=(2t+1)-(-t-2)=3t+3,∴3AC-4AB=3(4t+8)-4(3t+3)=12t+24-12t-12=12.
即3AC﹣4AB的值为定值12,∴在移动过程中,3AC﹣4AB的值不变.
【点睛】
本题考查了数轴上的动点问题.表示出对应点所表示的数是解答本题的关键.11.(1)CO=2.5;(2)①14和16 ;②定值55,理由见解析;(3)t=22.5和67.5
【解析】
【分析】
(1)先求出线段AB的长,然后根据线段中点的定义解答即可;
(2)①由PQ=1,得到|15-(4x-3x)|=1,解方程即可;
②先表示出PM、OQ、OM的长,代入4PM+3OQ﹣mOM得到55+(21-7m)x,要使
4PM+3OQ﹣mOM为定值,则21-7m=0,解方程即可;
(3)分两种情况讨论,画出图形,根据图形列出方程,解方程即可.
【详解】
(1)∵OA=10cm,OB=5cm,∴AB=OA+OB=15cm.
∵点C是线段AB的中点,∴AC=AB=7.5cm,∴CO=AO-AC=10-7.5=2.5(cm).
(2)①∵PQ=1,∴|15-(4x-3x)|=1,∴|15-x|=1,∴15-x=±1,解得:x=14或16.
②∵PM=10+7x-4x=10+3x,OQ=5+3x,OM=7x,∴4PM+3OQ﹣
mOM=4(10+3x)+3(5+3x)-7mx=55+(21-7m)x,要使4PM+3OQ﹣mOM为定值,则21-7m=0,解得:m=3,此时定值为55.
(3)分两种情况讨论:①如图1,根据题意得:6t-2t=90,解得:t=22.5;
②如图2,根据题意得:6t+90=360+2t,解得:t=67.5.
综上所述:当t=22.5秒和67.5秒时,射线OC⊥OD.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用.解题的关键是分类讨论.
12.(1) 2
x=-和4
x= ;(2)
35(4)
11(43)
35(3)
x x
x x
x x
--<-
?
?
+-≤<
?
?+≥
?
【解析】
【分析】
(1)令x+2=0和x-4=0,求出x的值即可得出|x+2|和|x-4|的零点值,
(2)零点值x=3和x=-4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:x<-4、-4≤x<3和x≥3.分该三种情况找出324
x x
-++的值即可.
【详解】
解:(1)2
x=-和4
x=,
(2)由30
x-=得3,
x=由40
x+=得4
x=-,
①当4
x<-时,原式()()
32435
x x x
=---+=--,
②当4
-≤3
x<时,原式()()
32411
x x x
=--++=+,
③当x≥3时,原式()()
32435
x x x
=-++=+,
综上所述:原式
()
35(4)
11(43)
353
x x
x x
x x
?--<-
?
=+-≤<
?
?+≥
?
,
【点睛】
本题主要考查了绝对值化简方法,解决本题的关键是要熟练掌握绝对值化简方法. 13.(1)2
AC cm
=,4
DM cm
=;(2)6
AC MD cm
+=;(3)4
AM=;(4)1
3
MN
AB
=或1.
【解析】
【详解】
(1)根据题意知,CM=2cm,BD=4cm.
∵AB=12cm,AM=4cm,∴BM=8cm,∴AC=AM﹣CM=2cm,DM=BM﹣BD=4cm.
故答案为2,4;
(2)当点C、D运动了2 s时,CM=2 cm,BD=4 cm.
∵AB=12 cm,CM=2 cm,BD=4 cm,∴AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD=12﹣2﹣4=6 cm;
(3)根据C、D的运动速度知:BD=2MC.
∵MD=2AC,∴BD+MD=2(MC+AC),即MB=2AM.
∵AM+BM=AB,∴AM+2AM=AB,∴AM=1
3
AB=4.
故答案为4;
(4)①当点N在线段AB上时,如图1.
∵AN﹣BN=MN.
又∵AN﹣AM=MN,∴BN=AM=4,∴MN=AB﹣AM﹣BN=12﹣4﹣4=4,
∴MN
AB
=
4
12
=
1
3
;
②当点N在线段AB的延长线上时,如图2.
∵AN﹣BN=MN.
又∵AN﹣BN=AB,∴MN=AB=12,
∴MN
AB
=
12
12
=1.
综上所述:MN
AB
=
1
3
或1.
【点睛】
本题考查了两点间的距离,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点.
14.(1)2或10;(2)当t为5秒、10秒或7.5秒时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点.
【解析】
【分析】
(1)设所求数为x,根据优点的定义分优点在M、N之间和优点在点N右边,列出方程解方程即可;(2)根据优点的定义可知分三种情况:①P为(A,B)的优点;②P为(B,
A)的优点;③B为(A,P)的优点.设点P表示的数为x,根据优点的定义列出方程,进而得出t的值.
【详解】
解:(1)设所求数为x,
当优点在M、N之间时,由题意得x﹣(﹣2)=2(4﹣x),解得x=2;
当优点在点N右边时,由题意得x﹣(﹣2)=2(x﹣4),解得:x=10;
故答案为:2或10;
(2)设点P表示的数为x,则PA=x+20,PB=40﹣x,AB=40﹣(﹣20)=60,
分三种情况:
①P为(A,B)的优点.
由题意,得PA=2PB,即x﹣(﹣20)=2(40﹣x),
解得x=20,
∴t=(40﹣20)÷4=5(秒);
②P为(B,A)的优点.
由题意,得PB=2PA,即40﹣x=2(x+20),
解得x=0,
∴t=(40﹣0)÷4=10(秒);
③B为(A,P)的优点.
由题意,得AB=2PA,即60=2(x+20)
解得x=10,
此时,点P为AB的中点,即A也为(B,P)的优点,
∴t=30÷4=7.5(秒);
综上可知,当t为5秒、10秒或7.5秒时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点.【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用及数轴,解题关键是要读懂题目的意思,理解优点的定义,找出合适的等量关系列出方程,再求解.
15.(1)60°;(2)射线OP是∠AOC的平分线;(3)30°.
【解析】
整体分析:
(1)根据角平分线的定义与角的和差关系计算;(2)计算出∠AOP的度数,再根据角平分线的定义判断;(3)根据∠AOC,∠AON,∠NOC,∠MON,∠AOM的和差关系即可得到∠NOC 与∠AOM之间的数量关系.
解:(1)如图②,∠AOC=120°,
∴∠BOC=180°﹣120°=60°,
又∵OM平分∠BOC,
∴∠BOM=30°,
又∵∠NOM=90°,
∴∠BOM=90°﹣30°=60°,
故答案为60°;
(2)如图③,∵∠AOP=∠BOM=60°,∠AOC=120°,
∴∠AOP=1
2
∠AOC,
∴射线OP是∠AOC的平分线;
(3)如图④,∵∠AOC=120°,
∴∠AON=120°﹣∠NOC,
∵∠MON=90°,
∴∠AON=90°﹣∠AOM,
∴120°﹣∠NOC=90°﹣∠AOM,即∠NOC﹣∠AOM=30°.