《数学分析》第十四章幂级数共14页文档

第十四章 幂级数 （ 1 0 时 ）

§1 幂级数（ 4 时 ）

幂级数的一般概念.型如∑∞

=-0

0)(n n

n x x a 和 ∑∞

=0

n n n x a 的幂级数.幂级数

由系数数列}{n a 唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如

∑∞

=0

n n n

x a

的幂级数.

幂级数是最简单的函数项级数之一.

一. 幂级数的收敛域:

Th 1（Abel 定理）若幂级数∑n n x a 在点0≠=x x 收敛, 则对满足不等式

|| ||x x <的任何x ,幂级数∑n n x a 收敛而且绝对收敛；若在点x x =发散,则

对满足不等式|| ||x x >的任何x ，幂级数∑n n x a 发散. 证

∑n

n x

a 收敛, {n

n x

a }有界.设|n

n x

a |≤M , 有

|n n n

n n n Mr x x x a x a ≤⋅=||

|||,其中 1 ||<=x

x

r .∑+∞

Th 2 对于幂级数∑n n x a , 若∞

→n lim ρ=n n a ||, 则

ⅰ> +∞<<ρ0时, R ρ

1

=

; ⅱ> ρ=0时+∞=R ; ⅲ> ρ=∞+时

0=R .

证 ∞

→n lim =n

n n x a ||∞

→n lim

||||||x x a n

n ρ=, (强调开方次数与x 的次数是一致

的).

⇒ ……

由于∞

→n lim

⇒=+ |

||

|1ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径.

幂级数∑n n x a 的收敛区间: ) , (R R - .

幂级数∑n n x a 的收敛域: 一般来说, 收敛区间⊂收敛域. 幂级数

∑n

n

x

a 的收敛域是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一.

例1 求幂级数∑2n x n

的收敛域 . ( ] 1 , 1 [- )

例2 求幂级数ΛΛ++++n

x x x n

22的收敛域 . ( ) 1 , 1 [- )

例3 求下列幂级数的收敛域:

⑴ ∑∞

=0!n n

n x ; ⑵ ∑∞=0

!n n x n .

例4 求级数∑∞

=-0

2)1(n n n

n x 的收敛域 .

Ex [1]P50—51 1.

二． 幂级数的一致收敛性：

Th 3 若幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ，则该幂级数在区间) , (R R -内闭一致收敛.

证 ∀] , [b a ⊂) , (R R -, 设} || , || max {b a x =, 则对∈∀x ] , [b a , 有

|| ||n

n n n x a x a ≤, 级数∑n

n x a 绝对收敛, 由优级数判别法⇒ 幂级数

∑n

n

x

a 在] , [

b a 上一致收敛.因此,幂级数∑n n x a 在区间) , (R R -内闭一

致收敛.

Th 4 设幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ) 0 (>,且在点R x =( 或R x -= )收敛,则幂级数∑n n x a 在区间] , 0 [R ( 或] 0 , [R - )上一致收敛 .

证 n

n n n n R x R a x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=. ∑n n R a 收敛, 函数列⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n R x 在区间] , 0 [R 上递减且一致有界,由Abel 判别法,幂级数∑n n x a 在区间] , 0 [R 上一致收敛.

易见,当幂级数∑n n x a 的收敛域为] , [R R -(R ) 0>时,该幂级数即在区间] , [R R -上一致收敛 . 三. 幂级数的性质:

1. 逐项求导和积分后的级数:

设∑∞

==

'1)(n n

n x a ∑∞

=-1

1

n n n x

na , *)

∑⎰

∞

==1

n x

n

n dt t a *)*11

,1

∑

∞

=++n n n x n a

*) 和 **)仍为幂级数. 我们有 Th 5 *) 和 **)与∑n n x a 有相同的收敛半径 .

( 简证 )

注: *) 和 **)与∑n n x a 虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，

但未必有相同的收敛域, 例如级数∑∞

=1n n

n

x .

2. 幂级数的运算性质:

定义 两个幂级数∑∞

=0

n n

n x a 和∑∞

=0

n n n x b 在点0=x 的某邻域内相等是指：它们

在该邻域内收敛且有相同的和函数.

Th 6 ∑∞

=0

n n

n x a =∑∞

=0n n n x b ) 1 ( , +∞<≤=⇔n b a n n .

Th 7 设幂级数

∑∞

=0

n n

n

x

a

和

∑∞

=0

n n

n x

b 的收敛半径分别为a R 和b R ,

},min{b a R R R =, 则

ⅰ> ∑∑=n n n n x a x a λλ, λ , ||a R x <— 常数， 0≠λ. ⅱ> ∑∞

=0

n n

n x a +∑∞

=0

n n

n x b =n n n n x b a )(0

+∑∞

=, R x ||<.

ⅲ> (∑∞=0

n n

n x a )(∑∞=0

n n

n x b )=n

n n x c ∑∞=0

, ∑=-=n

k k n k n b a c 0

, R x ||<.

3. 和函数的性质:

Th 8 设在) , (R R -(R ) 0>内∑∞

=0n n n x a =)(x f . 则

ⅰ> )(x f 在) , (R R -内连续; ⅱ> 若级数∑n

n R a (或∑-n n R a ) ()收敛, 则)(x f 在点R x =( 或