第三章部分习题解答

max
0
似L(然0比, 统0计) 量m为ax
L(, 0
)
分子
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
( X ( )
1
0 )01( X ( )
0 )
|
1
20
|n/ 2
exp
1 2
n
tr[01 ( X ( )
1
0 )(X ( )
0 )]
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
分子
|
1
20
|n/ 2
且 令 Y＝X AΓX′X(，ΓY则)AYΓ～Γ NnY(ΓΓ′AΓμΓ ,σr 2IinY)i2, i 1
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
又因为
X′BX=Y′Γ′BΓ Y= Y′HY 其中H=Γ′BΓ 。如果能够证明X′BX 可表示为Yr+1，…,Yn的函数，即H只是右
下子块为非0的矩阵。
3-4试证明Wishart分布的性质(4)和T2分布的性质(5).
性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X(α) ～
Np(0,Σ)
(又α已＝知1,…随,机n)矩相阵互独1211立，1其222 中p
r
r
W
n
1
X ( ) X ( )
W11 W21
W12 W22
p
r
r
~
Wp
(n,
)
则
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
证明: 设
X ( )
X (1) ( )
X (2) ( )
r p
r ,则
X (1) ( )
~
Nr (0, 11),
X (2) ( )
~
N pr
(0, 22 ),
记
X
n p
xij
X (1) | X (2) , nr n( pr)
则
W
X X
X (1)X (1) X (2)X (1)
X X
(1) X (2) X
其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是
令
r
由AB＝O可得DrH11＝O ， DrH12＝O . 因Dr为满秩阵,故有H11＝Or×r，H12＝Or×(n-r) .
由于H为对称阵，所以H ＝O(n-r)×r .于是
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
H ΓBΓ
令Y＝Γ′X，则Y～ Nn(Γ′μ,σ2In), 且 r
n
(
X
(2)
( )
)
X (2) ( )
~
Wpr (n, 22 ).
1
当Σ12 =O 时,对α＝1,X2(,(1…))与,Xn,((2))
相互 独立.故有W11与W22相互独立.
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
性质5 在非退化的线性变换下,T2统计量保
持不变.
证明:设X(α) (α＝1,…,n) 是来自p元总 体Np(μ,Σ)的随机样本, X和Ax分别表示正态
则X′AX 与X′BX相互独立。
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
证明 记rk(A)=r.
若r=n,由AB＝O,知B＝ On×n,于是X′AX 与X′BX
若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独
立的.
以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正 交阵Γ,使得
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
(2) (2)
WW1211
W12 W22
, Hale Waihona Puke Baidu
即 W11 X (1)X (1), W22 X (2)X (2)
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
由定义3.1.4可知
W11 X (1)X (1)
n
(
X
(1)
( )
)
X (1) ( )
~
Wr (n, 11);
1
W22 X (2)X (2)
所以 Tx2 Ty2
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
3-5
对单个p维正态总体Np(μ,Σ)均值向
量的检验问题，试用似然比原理导出检验
H0:μ=μ解0(:Σ总=Σ体0X已～知Np)(的μP6似,6Σ当然0Σ)比(Σ=统Σ0计＞0量已0)及知,设分μ布的.检验
X(α)(α=1,…,n) (n＞p)为来自p维正态总体X的样本.
X AX (ΓY )AΓΓ Y Γ AΓΓ iYi2
i 1
Yr1
X
BX
Y Γ BΓΓ
Y HY
(Yr 1 ,
,
Yn
)
H
22
Yn
由于Y1，…,Yr ,Yr+1 ,…,Yn相互独立，故
X′AX与X′BX相互独立.
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
3-3 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵,试
证明
(X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)相互独立
ΣAΣBΣ＝0p×p.
(记
1
2
1 2
1 )
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
由“1.结论6”知ξ与η相互独立
1 11 1
CD O 2 A2 2 B2 O AB O
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
Y CX d, n
记y C d
Ay (Y(i) Y )(Y(i) Y )
i 1 n
C[ ( X (i) X )( X (i) X )]C CAxC
i 1
Ty2 n(n 1)(Y y )Ay1(Y y )
n(n 1)(X )C[CAxC]1C( X )
n(n 1)(X ) Ax1( X ) Tx2
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
其中非中心参数为
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
3-2 设X～Nn(μ,σ2In), A，B为n阶对称阵 .若AB ＝0 ,证明X′AX与X′BX相互独立.
证明的思路：记rk(A)=r. 因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得
Γ ′AΓ=diag(λ1,…,λr 0,..,0)
总T体x2X的样n本(n均值1)向(X量和 离差) A阵x,1则( X由性 质)1有
~ T 2 ( p, n 1).
令 Y(i) CX (i) d (i 1,..., n)
其中C是pp非退化常数矩阵，d是p1常向量。
Y(i) ~ N p (C d则, CC) (i 1,2,..., n)
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验
应用多元统计分析
第三章习题解答
第三章 多元正态总厚体德 参精业数求的实假创设新 检验
3-1 设X～Nn(μ,σ2In), A为对称幂等阵
,且rk(A)=r(r≤n),证明
证明 因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的
特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正 交阵Γ(其列向量ri为相应特征向量)，使
第三章 多元正态总厚德体精业参求数实 的创新检验