2章基本函数小结

由图象可以知道函数y＝log2|x|的单调减区间是(－∞，0)，单调 增区间是(0，＋∞)．
解：(1)因为0<0.65.1<1,5.10.6>1，log0.65.1<0， 所以5.10.6>0.65.1>log0.65.1.
(2)解法一：在同一坐标系中作出函数 y＝log7x 与 y＝log8x 的图 象，由底数变化对图象位置的影响知： log712>log812. lg12 log712 lg7 lg8 解法二： ＝ ＝ ＝log78>1. log812 lg12 lg7 lg8 ∵log812>0，∴log712>log812.
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
【例 3】 在 y＝2x， y＝log2x， y＝x 2 这三个函数中， 0<x 1<x 2<1 当 x1＋x 2 f(x1)＋f(x2) 时，使 f( )> 恒成立的函数的个数是( 2 2 A．0 C．2 B．1 D．3 )
对应学生用书P75 一、指数式与对数式的运算 1．指数式的运算要注意根式与分数指数幂的互化，若化简的 式子是分式，要注意合理运用因式分解，以达到约分的目的；若化简 的式子是整式，通过因式分解，提取公因式，达到合并同类项的目 的．对于计算结果，如果题目以根式给出，则结果用根式的形式表 示；如果题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式 表示．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
本章小结
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
对应学生用书P75
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
答案：B
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
三、比较大小问题 比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要 应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数 值，然后利用该类函数的单调性进行比较．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
答案：3 温馨提示：分段函数中要特别注意x的范围，分段函数分段研 究．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
二、指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质 指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的基本初等函 数．它们的图象与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数y＝ ax，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象与性质都与a的取值有密切的 联系，幂函数y＝xα的图象与性质与α的取值有关，a，α变化时，函数 的图象与性质也随之改变，因此，在a，α的值不确定时，要对它们 进行分类讨论．
【例 6】 函数
4x－4(x≤1)， f(x)＝ 2 x －4x＋3(x>1)
的图象和函数 g(x)＝log2x
的图象的交点个数有( A．4 个 C．2 个
) B．3 个 D．1 个
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
解析：本题考查函数的图象及数形结合思想的应用．如下图所 示，由图象可知有3个，故选B.
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
2．对数式的运算要注意对数式与指数式的互化，熟练地应用 对数的三个运算性质，并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、 证明常用的技巧． 3．在解决此类问题时，要注意整体思想在运算中的应用．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
1 (2)y＝ 的单调减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，由(1)知 f(x)的单 x 调减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
【例9】 (1)画出函数y＝log2(x＋2)与y＝log2(x－2)的图象，并
指出两个图象之间的关系； (2)画出函数y＝log2|x|的图象，并根据图象指出它的单调区间． 思路分析：画函数图象是研究函数变化规律的重要手段，可利 用y＝log2x的图象进行变换．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
1．图象的平移变换 (1)水平平移：函数y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象 向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到． 如：将对数函数y＝log2x的图象向左平移2个单位，便得到函数y ＝log2(x＋2)的图象． (2)竖直平移：函数y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象 向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到． 如：将指数函数y＝x3的图象向下平移1个单位，便得到函数y＝ x3－1的图象．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
解：(1)函数y＝log2x的图象如果向右平移2个单位就得到y＝ log2(x－2)的图象；如果向左平移2个单位就得到y＝log2(x＋2)的图 象， ∴把y＝log2(x＋2)的图象向右平移4个单位得到y＝log2(x－2)的 图象(如下图所示)．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
四、图象的平移、对称变换 图象变换题因其集数形结合的数学思想、运动变化的观点于一 体，又考查了函数图象的画法和相关函数的性质，对于知识的内化、 数学能力的提升均起到促进的作用，故在教材乃至高考试题中均占有 重要的一席之地，不容小视．下面总结一些常见的图象变换规律，供 同学们参考．
【例 1】 (1) 3
化简下列各式：
3 3 3 a b÷ b a × a b；
lg 27＋lg8－lg 1000 (2) . lg1.2
思路分析：先将根式化为指数幂的形式，再利用有理数指数幂 的运算性质进行化简．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
【例 2】
设
2－x f(x)＝ log81x
x∈(－∞，1] 1 ，则满足 f(x)＝ 的 4 x∈(1，＋∞)
x 的值为________．
1 思路分析：将 代入到两段函数关系式中解 x，并注意所解得 x 4 是否在对应的范围内．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
思路分析：这里其实是函数的图象变换问题，可先从解析式的 变换出发，再作图．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
x＋2 1 1 解：(1)y＝ ⇒y＝1＋ ⇒y－1＝ ， x＋1 x＋1 x＋1 1 所以 f(x)可由 y＝ 先向左平移一个单位， 再向上平移一个单位得 x 到．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
【例 8】
x＋2 已知函数 f(x)＝ . x＋1
1 (1)试问：f(x)图象可由 y＝ 图象经过怎样的变换得到？并作出图 x 象． (2)指出 f(x)的单调区间．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
x1＋x2 解析：f( )> 2 f(x1)＋f(x2) 恒成立的图象是向上凸的，如右图所示， 2 故只有 y＝log2x 满足，故选 B.
答案：B
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
(2)当x≠0时，函数y＝log2|x|满足f(－x)＝ log2|－x|＝log2|x|＝f(x)， 所以y＝log2|x|是偶函数，它的图象关于y轴对称， 当x>0时，y＝log2x. 因此先画出y＝log2x(x>0)的图象为C1，再作出C1关于y轴对称的 图象C2，C1与C2构成函数y＝log2|x|的图象，如下图所示．
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
【例 5】 范围是( )
2 ＋a是奇函数， 设 f(x)＝lg 则使 1－x
f(x)<0 的 x 的取值
A．(－1,0) C．(－∞，0)
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
2．图象的对称变换 (1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称． (2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称． (3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称． (4)y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称． 如：对数函数y＝log2x的图象与指数函数y＝2x的图象关于直线y ＝x对称． (5)y＝f(|x|)的图象可将y＝f(x)(x≥0)的部分作出，再利用偶函数的 图象关于y轴对称，作出x<0的图象．
1－a2＝0 ∴ 2 a ＋4a＋3＝0
解得 a＝－1.
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
2 当 a＝－1 时，若 f(x)<0，则 0< －1<1， 1－x x＋1 ∴0< <1，∴－1<x<0.故选 A. 1－x
答案：A
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
B．(0,1) D．(－1,0)∪(1，＋∞)
人教A版必修一 新课标 人教 版必修一·新课标 数学 版必修一 新课标·数学
解析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ本题考查对数函数的性质． ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
2 2 ＋a＝－lg ＋a， ∴lg 1＋x 1－x
2 1 ∴ ＋a＝ ， 2 1＋x ＋a 1－x ∴(1－x2)a2＋4a＋x2＋3＝0， 即(1－a2)x2＋a2＋4a＋3＝0