灾情巡视路线的数学模型

最优

摘要 关键字 1问题重述

下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。

问题一：若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。

问题二：假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度v=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。

问题三：在上述关于T , t 和v 的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。

问题四：若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T ，t 和v 改变对最佳巡视路线的影响。

2问题假设与符号说明

2.1问题假设

假设一：假设在巡视过程中不考虑天气、故障等因素的影响 假设二：假设路线上的公路没有被洪水冲断，可以供巡视工作使用。 假设三：假设在巡视工程中，经过邻县村时，不做任何时间的耽搁。 2.2符号说明

G （V,E ）

赋权连通图；

i

G

赋权连通图的第i 个子图(1,2,)i = ，k

i

L 子图i G 中的最佳回路； i

C

最佳回路i L 的各边权之和 ij W 第i 个乡、村到第

j 个乡、村的距离(j 1,2,53)i = ，，

ij

X

某组从城市i 到城市j 时为1，无巡视组视为0

3问题分析

本题给出了某县的道路交通网络图，要求的是在不同条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线。这是一类图上的点的遍历性问题，也就是要用若干条闭链覆盖图上所有的顶点，并使某些指标达到最优。点的遍历性问题在图论中属于哈密顿问题和旅行推销员问题类似。如果巡视人员只分一组，巡视路线是指巡视人员从县政府O 出发，走遍各乡（镇）、村最后又回到县政府。我们可以把该题抽象为图论的赋权连通问题，即有一赋权无向连通图(,)G V E ，且O V ∈。两村之间的公路长度即为无向图的边权()w e 。寻找最佳巡视路线，即在图(,)G V E 中找到一条包含O 点的回路，它至少经过所有的顶点一次且使得总路程（总时间）最短。

针对问题一：如果将巡视人员分成三组，每组考察全县的一个区域，使所有乡（镇）、村都考察到，实际上就是将图(,)G V E 分为三个连通的子图i G ，且每个子图都与O 点相连，然后在每个子图中寻找到一条含O 点的最佳回路。针对三组巡视成员，需对该县分为三个区域。我们采用Prim 算法通过++C 编程求 出G 图的最小树形图，然后将树形图分成三个区域，最后，采用哈密顿回路法求解每个子图内的最佳巡视路线。 针对问题二：

完成巡视的时间应是各组巡视中最长的时间，要想提高巡视的效率则应尽量使各组的巡视时间接近，反映在G 图分块时应尽量均衡。 4数据的分析与处理

5问题一的解答

5.1模型一的准备

现要分三组巡视，则需要把图G 分成三个子图(1,2,3)i G i =，在每个子图i G 中寻

找最佳回路(1,2,3)i L i

=。因为最小生成树中能包含图G 中所有的顶点E

，而且最小

树的边权是相邻两顶点间的距离，它描述了顶点之间的相近程度，故可以采用最小生成树进行分组。

本模型的主要思想是：首先采用Prim 算法得到G 图的最小生成树，然后基于最小生成树生成一个可行的巡视路线，求得路线的最优总路程为。

采用Prim 算法求解最小生成树步骤如下： （1）输入加权连通图G 的带权邻接矩阵((,))n n A a i j ⨯=；

（2）建立初始候选边表, B T

←∅；

（3）在候选边表中选出最短边(,),(,)u v T T u v ←⋃；

（4）调整候选边表B ；

n 条边。

（5）重复（2），（3），直到T含有1

根据Kraskal算法进行编程求解（具体程序见附录1），于是我们得到图G的最小生成树如图1。

图1

G并使得分解结果尽量均衡。由现对已得到的最小生成树进行分解，以获得三个子图

i

于在最小生成树上，边权接近可以近似认为均衡即各子图包含的顶点数应接近。因此，各个子图的顶点数应尽量接近17个，且遵循以下分解原则。

最小生成树分解原则：

G的顶点数尽可

(i)分解点为O点或尽可能地接近O点；（ii）分解所得的三个子图

i

G与点O的最能地接近17个；（iii）尽量是分解所得的子图是连通图；（iv）尽量使子图

i

短路上的点在该子图内，且尽量使各子图的点在子图内部形成环路。

依据以上分解原则得到的分解结果如图2。

图2

然后，采用哈密顿回路法求解每个子图内的最佳巡视路线。寻找最佳巡视路线实际上就是在赋权图中寻找最优的哈密顿圈，包含图G 的每个顶点的圈陈为哈密顿圈。于是问题就可以转化为：现已知三个子图内乡、村与乡、村之间的距离，从县镇府O 出发，经过子图内的所有乡、村，最后又回到点O 。

5.2模型一的建立 5.2.1确定目标函数

由题中所给出的问题条件，分析出这是3个售货员寻求最佳旅行回路的问题。把县、乡、村所在地堪称借点，根据路线图可以构造一个赋权网络图[,,]G N E W =,其中

}{}{}

{

0,1,2...52,(,),,(,),N E i j i j N W w i j i j N ==∈=∈.

根据图论中的结论，最佳售货员回路问题可转化为最佳汉密尔顿()

H am ilton 回路的问题。在图G 的基础上构建三个子图i G ，于是在G 中寻求最佳回路的问题即在i

G 中寻找最佳()H am ilton 回路的问题，于是决策变量定义为:

1 0 ij x ⎧=⎨⎩，选

择从城市i 到城市j ，否

则;