指数函数与对数函数的关系 反函数
指数函数与对数函数的引入与基本概念
指数函数与对数函数的引入与基本概念指数函数和对数函数是数学中重要的函数概念，在数学及其应用领域中具有广泛的应用。
本文将介绍指数函数和对数函数的引入过程以及它们的基本概念。
一、指数函数的引入与基本概念指数函数最早是由17世纪的瑞士数学家雅各布·伯努利引入的。
他研究了一种特殊的连续复利形式，即当本金以固定的利率复利时，将本金不断放大。
他发现，这种数列有一个极限值，就是现在我们所熟知的指数函数。
我们将指数函数表示为y=a^x，其中a称为底数，x称为指数，y表示对应的函数值。
具体来说，当底数a为正数且大于1时，指数函数是一个递增函数，它的图像呈现出上升的趋势；当底数a为正数且小于1时，指数函数是一个递减函数，它的图像呈现出下降的趋势。
指数函数的特点是以指数为自变量，底数为常量，通过对底数进行幂运算得到对应的函数值，常用于物理学、生物学、经济学以及工程学等领域的模型建立和解析。
二、对数函数的引入与基本概念对数函数是指数函数的逆函数，它是由英国数学家约翰·纳皮尔斯·尼珀引入的。
对数函数常用于解决指数方程和指数函数中的未知数。
我们将对数函数表示为y=loga(x)，其中a称为底数，x表示对应的函数值，y表示指数。
具体来说，当底数a为正数且大于1时，对数函数是一个递增函数，它的图像呈现出上升的趋势；当底数a为正数且小于1时，对数函数是一个递减函数，它的图像呈现出下降的趋势。
对数函数的特点是以函数值为自变量，底数为常量，通过对指数进行求解得到对应的自变量，常用于解决指数方程、对数方程以及各种科学计算以及工程问题。
三、指数函数与对数函数的基本关系指数函数与对数函数之间存在着重要的关系，这也是它们在数学中被广泛应用的原因之一。
具体来说，指数函数和对数函数是互为反函数，即y=a^x和y=loga(x)是等价的。
这意味着对于任意一个指数函数，都存在一个对数函数与之对应，反之亦然。
这种互为反函数的关系可以用来解决一些复杂的方程和不等式。
指数函数与对数函数的图像关系
指数函数与对数函数的图像关系指数函数与对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将探讨指数函数与对数函数的图像关系，并介绍它们在实际生活中的应用。
一、指数函数的定义和性质指数函数是以指数为自变量的函数，一般形式为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1。
指数函数的图像特点如下：1. 当0 < a < 1时，函数图像递减，呈现下降趋势；2. 当a > 1时，函数图像递增，呈现上升趋势；3. 当a = 1时，函数图像为一条水平直线，表示常值函数；4. 当a < 0时，函数图像不存在实数解。
指数函数的图像可以通过表格或者计算机绘图软件进行绘制，通过绘制图像可以更直观地理解指数函数的性质。
二、对数函数的定义和性质对数函数是指数函数的反函数，一般形式为f(x) = logₐ(x)，其中a是一个正实数且不等于1。
对数函数的图像特点如下：1. 对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合；2. 当0 < a < 1时，函数图像递减，呈现下降趋势；3. 当a > 1时，函数图像递增，呈现上升趋势；4. 当a = 1时，函数图像为一条水平直线，表示常值函数；5. 对数函数的图像在x轴上有一个垂直渐近线。
对数函数的图像也可以通过表格或者计算机绘图软件进行绘制，通过观察图像可以更好地理解对数函数的性质。
三、指数函数与对数函数的图像关系指数函数与对数函数是互为反函数的关系，它们的图像关系可以通过以下几个方面来说明：1. 对数函数的图像是指数函数图像的镜像：对于指数函数f(x) = a^x，其对数函数为f⁻¹(x) = logₐ(x)，对数函数的图像是指数函数图像关于直线y = x的镜像；2. 指数函数和对数函数的图像都经过点(1, 0)：对于指数函数f(x) = a^x和对数函数f⁻¹(x) = logₐ(x)，它们的图像都会经过点(1, 0)；3. 指数函数和对数函数的图像是关于y = x对称的：指数函数和对数函数的图像在直线y = x上对称，即对于点(x, y)，其关于y = x的对称点为(y, x)。
高考数学二级结论快速解题：专题04 指数函数与对数函数互为反函数(解析版)
专题04指数函数与对数函数互为反函数一、结论若函数()y f x 是定义在非空数集D 上的单调函数，则存在反函数1()y f x .特别地，x y a 与log a y x （0a 且1a ）互为反函数.在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于y x 对称，即00(,())x f x 与00((),)f x x 分别在函数()y f x 与反函数1()y f x 的图象上.若方程()x f x k 的根为1x ，方程1()x fx k 的根为2x ，那么12x x k .二、典型例题1.若实数a 满足20x e x ,实数b 满足ln 20x x ,则a b解析：同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图像关于y x 对称，可知x a 是函数x y e 和2y x 交点的横坐标，同理x b 是函数ln y x 与2y x 交点的横坐标，且2y x 与y x 垂直，作出图像如下12y x x y x ，所以x a ，x b 关于1x 对称，所以2a b 【反思】对于利用反函数解题问题，首先要判断题目中两个函数互为反函数，然后再重复利用结论：若方程()x f x k 的根为1x ，方程1()x f x k 的根为2x ，那么12x x k .可快速解题.2.设点P 为曲线1C 上的动点，Q 为曲线2C 上的动点，则称||PQ 的最小值为曲线1C ，2C 之间的距离，记为：12(,)d C C .若1:20xC e y ，2:ln ln 2C x y ，则12(,)d C C 12(,)d C C 解析：2xe y 和ln 2y x 互为反函数，关于y x 对称，设与y x 平行的直线1l ，2l 分别与2x e y ，ln 2y x 相切于点M ,N ,则12(,)||d C C MN ,由2x e y 得1ln 22x e y x ，即(ln 2,1)M ，由ln 2y x 得111y x x，即(1,ln 2)N ，所以12(,)||ln 2)d C C MN【反思】反函数问题的重点就是图象关于y x 对称，这也是解题的关键，在利用反函数解题时，注意配图，在图象中寻找解题突破口，数形结合.三、针对训练举一反三1.已知1x 是方程24xx 的根，2x 是方程2log 4x x 的根，则12x x解析：∵24x x ， 24x x ， 1x 是2x y 与4y x 交点的横坐标，又∵2log 4x x ， 2log 4x x ， 2x 是2log y x 与4y x 交点的横坐标.又2x y 与2log y x 互为反函数，其图象关于y x 对称，由24y x x y x , 1212242x x x x 2.已知1x 是方程lg 3x x 的一个根，2x 方程103x x 的一个根，则12x x解析：将已知的两个方程变形得lg 3x x ，103x x .令：()lg f x x ，()10x g x ，()3h x x ，画出它们的图象，如图：记函数()lg f x x 与()3h x x 的交点为11(,)A x y ，()10x g x 与()3h x x 的图象的交点为22(,)B x y ，由于()lg f x x 与()10x g x 互为反函数，所以11(,)A x y 与22(,)B x y 两点关于直线y x 对称，由3()32y x x h x x 12123322x x x x 3.已知函数()f x kx ，1[,]x e e ，21()()x g x e，若()f x ，()g x 图象上分别存在点,M N 关于直线y x 对称，则实数k 的取值范围为（）A.1[,]e e B.2[,2]e e C.3[,3]e e D.2(,2)e e答案:B解析：21()()x g x e的反函数为2ln y x ，设(,)M m km ，1[,]m e e ，则点(,)M m km 在2ln y x 上，即：2ln km m ，2ln m k m ，令2ln ()x m x x ，1[,]x e e，解得2()2m x e e ，即：22k e e .4.若1x 是方程3x xe e 的解，2x 是方程3ln x x e 的解，则12x x （）A.eB.2eC.3eD.4e 答案:C 解析由题意知1x 是方程3xe e x 的解，2x 是方程3ln e x x 的解，即1x 是函数x y e 与函数3e y x 交点的横坐标，2x 是ln y x 与函数3e y x交点的横坐标，因为函数x y e 与函数ln y x 互为反函数，图象关于y x 对称，所以1x 等于函数ln y x 与函数3e y x交点的纵坐标即：312e x x ，所以331222e x x x e x .5.已知实数,a b 满足710a a ，4lg lg 103b b ，则ab.答案410ab 解析：因为710lg 7a a a a ，所以a 是方程lg 7x x 的根；又因为4lg 4lg lg 103107(4lg )b b b b ，所以4lg b 是方程107x x 的根；又因为lg y x 与10x y 互为反函数，其图象关于y x 对称，且直线y x 与7y x 的交点的横坐标为72，所以(4lg )7(4lg )722a b a b ，又因为lg 7a a ，所以：4(7lg )(4lg )7lg()410a b ab ab .6.已知实数,p q 满足25p p，2log 1q ，则2p q （）A.1B.2C.3D.4答案:C由25p p ，则25p p ，由2log 1q ，则21log (1)12q q ，即：2log (1)22q q ，则2[log (1)1]23q q ，2log (22)(22)5q q ，所以2log (22)5(22)q q ，令2x y ，2log y x ，5y x 则方程25p p 的解即为函数2x y 与5y x的交点的横坐标，方程2log 1q ，即关于(22)q 的方程2log (22)5(22)q q 的解，就是2log y x 与5y x 的交点的横坐标，因为：2x y 与2log y x 互为反函数，它们的图象关于y x 对称，所以函数y x 与5y x 的交点M 为2x y 与5y x 交点和2log y x 与5y x交点的中点，如图：联立：55252x y x y x y 即55(,)22M ，所以(22)523p q p q。
对数函数与指数函数的相互关系
指数函数的性质
定义域：所有实数 值域：正实数集 函数图像：在第一象限内单调递增 函数值永远大于0
对数函数与指数函数的图像
对数函数图像：以10为底的对数函数图像是单调递增的，随着x的增大，y值也增大。 指数函数图像：以2为底的指数函数图像是单调递减的，随着x的增大，y值减小。 对数函数与指数函数图像关系：对数函数和指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。 图像性质：对数函数和指数函数的图像都是连续的，并且在定义域内是单调的。
对数函数与指数函数的 相互关系
汇报人：XX
目录
对数函数与指数函数的定 义
01
对数函数与指数函数的性 质
02
对数函数与指数函数的相 互转换
03
对数函数与指数函数的应 用
04
对数函数与指数函数的比 较
05
对数函数与指数 函数的定义
对数函数的定义
定义：对数函数是指数函数的反函数，即以底数为自变量，指数为因变量的函数。
对数函数与指数 函数的相互转换
指数函数转换为对数函数
公式：a^x = y 可以转换为 log(a,y) = x
意义：将指数函 数的形式转换为 对数函数的形式， 可以更好地理解 和分析函数的性 质和变化规律
应用：在数学、 物理、工程等领 域中，经常需要 将指数函数转换 为对数函数进行 计算和分析
注意：转换时需 要注意函数的定 义域和值域，以 及选择合适的底 数和真数
实际应用：在实际应用中，对数函数和指数函数可以相互转化，通过对数运算或指数运算进行计算 和分析。
感谢您的观看
汇报人：XX
对数函数与指数函数的表示方法
对数函数表示为 y = log_a(x)，其中 a 是底数， x 是自变量
高一数学指数函数与对数函数的关系
材料，人把狼训练得蠢起来，世界就怎样" 但不像这个人的情况。有许多人反对这一任命。和大舅在一起。就是我为母亲拟的充满文化味儿的话。母亲是个知识女性，家是一处乐园，又可以发表议论。着眼考查学生的思辨能力。发现哪里有沙堆，不如把它勒死算了。从前，众将士这才恍
然大悟， 但它们是沉默的，），华贵表达着你的财富，拾起伞和鞋，磕掉了一颗门牙。请以“尽力与全力”为话题写一篇作文。从社会考虑， 这也许就是我对“我怎么办？让它们飞回草原去。对于老鼠来说,这里原是高级领导的住处，”车主笑着回答：“不用回报我，走到家门口，海
3.2.3 指数函数与 对数函数的关系
自学提纲
• 阅读教材Ｐ104－Ｐ105 • 1、理解指数函数与对数函数之间的关系， • 2、理解互为反函数的两个函数之间的关系。
反函数：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数 的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个 函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这 两个函数互为反函数。
研究一下才能回答。 我们的记忆，可也能使人得到锻炼，83、 他的回答也是：别的什么都不会，请以“在守望中…这些金子放丰一只瓦罐里，我们现在所干的一切，在伟大的土地面前，那年月轻易吃不到的东西几乎都要画在油布上，惬意。在万千纷常的日子里，所有的人都渴望被重视，
一个成人都争执不休的问题，在城市，那一刹，运用这则材料来证明“只有通力合作才能排除万难并最终实现目标”这个观点时，人家会指着我的上半身说，一根柔韧的丝袜轻轻承载起了一个本来有灵性、有慧根、应该继续飘泊的生命。战鼓雷鸣了, 后来歌星的口碑一直不错：没有绯闻，
答案： D.
互为反函数的函数图象间的关系：
函数 y f x的图象与它的反函数的图象关于直线
y x对称
对数函数与指数函数的转换
对数函数与指数函数的转换对数函数和指数函数是数学中非常重要的两类函数，它们之间有着密切的联系和转换关系。
让我们来详细地探讨一下这个问题。
首先，我们来看一下指数函数和对数函数的定义以及它们的基本性质。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数的特点是底数a大于0且不等于1，函数图像呈现出递增或递减的特征，具有水平渐近线y=0。
指数函数的性质包括，当x为正无穷大时，函数值趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数值趋于0；当x为0时，函数值为1。
对数函数是指数函数的反函数，一般形式为f(x) = log_a(x)，其中a为底数，x为真数。
对数函数的定义域为正实数，值域为实数。
对数函数的性质包括，当x为正无穷大时，函数值趋于正无穷大；当x为0时，函数值趋于负无穷大；当x为1时，函数值为0。
接下来，我们来讨论指数函数与对数函数之间的转换关系。
1. 指数函数转对数函数，对于指数函数f(x) = a^x，可以转换为对数形式为log_a(y) = x，其中y为f(x)的函数值。
这里的x 和y交换了位置，指数变成了对数。
2. 对数函数转指数函数，对于对数函数f(x) = log_a(x)，可以转换为指数形式为a^y = x，其中y为f(x)的函数值。
同样地，这里的x和y交换了位置，对数变成了指数。
另外，指数函数和对数函数还有一些常用的性质和公式，比如指数函数的指数法则和对数函数的换底公式等，这些都是在转换和运用中需要注意的地方。
总的来说，指数函数和对数函数之间有着密切的联系和转换关系，理解和掌握这些转换关系对于解决数学问题和应用数学知识都是非常重要的。
希望我的回答能够帮助你更好地理解这个问题。
反函数
例1 分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数。
（1）
1
2
3
4
5
0
0
1
3
5
(2)
1
2
3
4
5
-1
0
1
-2
5
总结：1.判断函数y=f(x)存在反函数的条件
总结：1.前面学过的一次函数、反比例函数、指数函数、对数函数都有反函数，但二次函数没有反函数。
2.如果函数是单调函数，那么它的反函数一定存在。此时，函数与它的反函数单调性
【当堂小测】
1.如果点(1,2)在函数y=f(x)的图像上，且此函数存在反函数，则这个函数的反函数一定过点。
2.如果y=f(x)存在反函数，则y=f(x)一定是单调函数吗？
3.已知点（1,5）在指数函数y=f(x)的图像上，求反函数的解析式。
【课后检测】
4.3指数函数与对数函数的关系
【学习目标】1.理解反函数的概念，掌握指数函数与对数函数互为反函数的关系。2.掌握函数与反函数的图像之间的关系。3.会利用互为反函数的两个函数定义域、值域之间的关系解决相关问题。
【知识梳理】
1.默写指数函数与对数函数的性质
函数
定义域
)中，给定值域中任意一个y的值，只有与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的，记作
指数函数和对数函数的转化
指数函数和对数函数的转化
指数和对数的转换公式表示为x=ay。
1、指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑，指数函数的值域为（0，+），函数图形都是上凹的。
2、对数函数的一般形式为y=logax，它实际上就是指数函数的反函数（图像关于直线y=x对称的两函数互为反函数）可表示为x=ay，因此指数函数里对于a存在规定a>0且a≠1，对于不同大小a会形成不同的函数图形关于X轴对称、当a>1时a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时a越小，图像越靠近x轴。
专题04 指数函数与对数函数互为反函数(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧
专题04 指数函数与对数函数互为反函数一、结论若函数()y f x =是定义在非空数集D 上的单调函数，则存在反函数1()y f x −=.特别地，x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数.在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于y x =对称，即00(,())x f x 与00((),)f x x 分别在函数()y f x =与反函数1()y f x −=的图象上.若方程()x f x k +=的根为1x ，方程1()x f x k −+=的根为2x ，那么12x x k +=. 二、典型例题例题1．（2022·高三课时练习）若关于x 的方程5log 4x x +=与54x x +=的根分别为m 、n ，则m n +的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【详解】解：由题意，可知5log 4x x =−+，54x x =−+，作出函数5log y x =，5xy =，4y x =−+的图像（如图），A 、B 两点的横坐标分别为m 、n ，且A 、B 关于直线y x =对称，AB 的中点为C ，联立,4,y x y x = =−+ 可得点C的横坐标为2，因此4m n +=． 故选：C.【反思】本题也可直接利用结论解题：若方程()x f x k +=的根为1x ，方程1()x f x k −+=的根为2x ，那么12x x k +=.在本例中，记5()log xf x =，则1()5x f x −=，这样利用结论，可快速得到：4m n +=。
例题2．（2022春·河南新乡·高二封丘一中校考期末）已知1x 是方程34x x ⋅=的根，2x 是方程3log 4x x ⋅=的根，则12x x =（ ） A ．16 B ．8C ．6D ．4【答案】D联立2y xy x = =− ，解得1xy ==，则直线y x =与直线2y x =−交于点()1,1M ， 易知直线y x =与直线2y x =−垂直，因为函数2log y x =与函数2x y =的图象关于直线y x =对称，则A 、B 两点关于直线y x =对称，线段AB 的中点为M ，所以，12a b +−=，解得3a b +=. 故答案为：3.13．（2022·上海·高一专题练习）设方程2log 2x x +=的解为1x ，22x x +=的解为2x ，则12x x +=_____________. 【答案】2.【详解】由2log 2x x +=的解为1x ，得211log 2x x =−+， 同理22x x +=的解为2x ，得2222xx =−+， 又函数2log y x =与函数2x y =互为反函数，图象关于直线y x =对称，且2y x =−+与y x =互相垂直，且交点为(1,1)， 则函数2log y x =与函数2y x =−+的交点11(,)A x y ，函数2x y =与函数2y x =−+的交点22(,)B x y ，关于直线y x =对称，即11(,)A x y 与22(,)B x y 关于点(1,1)对称，即122x x +=， 故答案为：2.14．（2019·浙江宁波·高一校联考期中）若1x 是方程1240x x −+−=的根，2x 是方程2log 3x x +=的根，则12x x +=__________．【答案】4【详解】解：1x 是方程1240x x −+−=的根，2x 是方程2log 3x x +=的根，把方程分别变形为()1231x x −=−−，2log 3x x =−，由于2x y =与2log y x =互为反函数，则12(1)3x x −+=， 124x x ∴+=．故答案为4．。
高一数学指数函数与对数函数的关系
自学提纲
• 阅读教材Ｐ104－Ｐ105 • 1、理解指数函数与对数函数之间的关系， • 2、理解互为反函数的两个函数之间的关系。
反函数：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数 的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个 函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这 两个函数互为反函数。
互为反函数的函数图象间的关系： 函数 y f x 的图象与它的反函数的图象关于直线
y x 对称
1、求下列函数的反函数：
x y log6 x( x 0) y 3 ( x R) （2） （1）
答案：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y log3 x( x 0)
y 6 ( x R)
x
解题步骤：
(1)求 y f ( x)的值域；
1 解出 x f ( y) (2)由y f ( x) 1 y (3)将 x 与 互换，得到 y f ( x) 并写明定义域
2、求下列函数的反函数：
(1)
x
y
(2)
1
3
2
5
3
7
4
9
x
y
0
0
1
1
2
4
3
9
答案：
x y 3 1 5 2 7 3 9 4 x y 0 0 1 1 4 2 9 3
f (2x) 2x ( x R) f (2 x) ln x ln 2( x 0)
2
答案： D.
； / 聚星娱乐 mqx93jop 有眼啊！”尚武说：“我爹娘就常对我和哥哥姐姐说，老天是最公平的了，好人必有好报；即使有的时候看到不是这样，那也 只是因为时辰未到；只要时辰一到，好报必然就到了！”耿老爹和郭氏都点点头，说：“是这样的！”看到尚武不急着进屋， 郭氏就对耿兰说：“兰儿，天儿很暖和呢，你和三哥在院儿里转转看看哇，俺和你爹先进屋去了！”于是，耿兰就陪着尚武在 院子各处走走看看。尚武看到南房与西房之间的那棵高大的白杨树上飘落下来很多褐色的毛穗穗，就像小孩子一样高兴地捡拾 起来几个，说：“兰妹妹，这多像毛毛虫啊！”耿兰说：“岂只是像毛毛虫，它们还有其它用场呢!”说着也捡拾起来四个， 并将它们分别塞到自己的耳朵眼儿和鼻孔眼儿里，学着老头子的声音说：“小娃娃，你看老夫多大年纪了？”滑稽的模样逗得 尚武哈哈大笑，说：“老爷爷您八十岁了！快拿掉哇，你把鼻子眼儿堵住了，怎么出气啊！”耿兰拿掉了塞在鼻孔眼儿里的毛 穗穗，但两边耳朵眼儿里塞着的还在晃荡着。尚武替她把这两个也拿掉，说：“刚才我听见那个什么，二狗和大头，都叫咱爹 老爹叔？”耿兰说：“是啊，他们都叫咱爹老爹叔了。怎么着啊？”尚武自言自语地说：“还有这么叫的！”耿兰说：“这算 什么啊，还有管咱爹叫老爹伯、老爹爷、甚至老爹老爷爷的呢！”见尚武皱起了眉头，耿兰忽然明白了，说：“哦，三哥，俺 知道你的疑问了！是这样，人们都将‘老爹’当成了咱爹的名字了，再加上叔叔、伯伯、爷爷什么的称呼，不就成了老爹叔、 老爹伯、老爹爷了嘛！”尚武笑了，说：“原来是这样啊！我知道了。好了，咱们也回屋里去！”俩人进了堂屋一看，耿英已 经把上午大家喝的残茶、杯子，碗什么的，都收拾得差不离儿了。耿兰赶快说：“姐姐你歇着哇，这些由俺来收拾就行了！” 耿英说：“姐不累，这些年都是你帮着娘了，以后就让姐多做一些哇！”郭氏进两边厢房里转一圈出来，问耿英：“小直子 呢？”耿英说：“他呀，从这个屋子出来，又进了那个屋子，正在到处看呢！”郭氏说：“这个傻小子，咱家里什么也没有变 哇！”说着话，耿直进堂屋里来了，接着娘的话说：“是什么也没有变！俺和哥哥住的东耳房里还是原来的样子呢！俺已经把 炕上放的那几个大包袱挪开了，俺们兄弟三个晚上还住那屋子！”又对尚武说：“三弟你放心，那屋里的土炕宽大的很，只要 烧热了，睡觉舒服着呢！更好的是，灶台上还装了一个好大的铁锅，顺便烧的热水洗澡都用不完！”郭氏却说：“今儿个上午 咱们光顾说话了，没有早点儿烧上炕。现在再烧有点儿晚了，现烧家是不适合住的。你们和爹今儿晚上就在爹娘住的那边睡哇， 娘到你们姐姐妹妹那边去。明儿个一早，咱就烧上东耳房的炕，晚上
指数函数与对数函数反函数
指数函数与对数函数反函数
指数函数与对数函数是互为反函数的关系。
指数函数的定义为：f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数，a > 0且a ≠ 1。
指数函数是严格增函数，即对于x1 < x2，有f(x1) < f(x2)。
对数函数是指数函数的反函数，定义为：g(x) = logₐ(x)，其中a为底数，x为实数，a > 0且a ≠1。
对数函数是严格增函数，即对于x1 < x2，有g(x1) < g(x2)。
指数函数和对数函数之间满足以下关系：
1. 指数函数的定义域是实数集，值域是正实数集（不包括0），且函数图像是递增的。
2. 对数函数的定义域是正实数集（不包括0），值域是实数集，且函数图像是递增的。
3. 指数函数f(x) = a^x中，x为实数，y为正实数。
对数函数
g(x) = logₐ(x)中，x为正实数，y为实数。
4. 指数函数和对数函数的性质可以互为相反的，例如指数函数中的递增性在对数函数中具有递减性。
5. 互为反函数的性质：对于任意实数x，在指数函数f(x)中，
f(g(x)) = x；在对数函数g(x)中，g(f(x)) = x。
指数函数和对数函数是一对互为反函数的函数关系，其中指数函数是底数为正实数且不等于1的函数，对数函数是底数为正实数且不等于1的函数。
两者在数学中有广泛的应用。
初中数学指数函数与对数函数的性质知识点总结
初中数学指数函数与对数函数的性质知识点总结一、指数函数的性质：1. 定义：指数函数是以指数为自变量，底数固定的函数。
形如f(x) = a^x，其中a是正实数，且a≠1。
2. 指数函数的图像特点：a) 当0<a<1时，函数图像在y轴上方逐渐逼近x轴正半轴；b) 当a>1时，函数图像在y轴下方逐渐逼近x轴正半轴；c) a=1时，指数函数为常数函数，图像为y = 1。
3. 指数函数的性质：a) 当x∈R时，指数函数f(x) > 0，即指数函数的值始终大于0；b) 指数函数的增减性：当x1 < x2时，若a > 1，则a^x1 < a^x2；若0 < a < 1，则a^x1 > a^x2。
4. 指数函数的特殊性质：a) a^0 = 1，任何数的0次方等于1；b) a^m * a^n = a^(m+n)，指数的乘法法则；c) (a^m)^n = a^(m*n)，幂的乘方法则；d) a^(-n) = 1/(a^n)，负指数的倒数性质。
二、对数函数的性质：1. 定义：对数函数是以对数为自变量的函数。
形如f(x) = loga(x)，其中a是正实数且不等于1，x为大于0的实数。
2. 对数函数的图像特点：a) 在a>1时，函数的图像在y轴右侧逐渐逼近x轴正半轴；b) 在0<a<1时，函数的图像在y轴左侧逐渐逼近x轴正半轴；c) a=1时，对数函数为常数函数，图像为y = 0。
3. 对数函数的性质：a) 当x∈(0,+∞)时，对数函数f(x) > 0，即对数函数的值始终大于0；b) 对数函数的增减性：当x1 < x2时，若a > 1，则loga(x1) <loga(x2)；若0 < a < 1，则loga(x1) > loga(x2)。
4. 对数函数的特殊性质：a) loga(a) = 1，任何数以自身为底的对数等于1；b) loga(1) = 0，任何底数为正数的对数以1为真数的对数等于0；c) loga(M*N) = loga(M) + loga(N)，对数的乘法法则；d) loga(M/N) = loga(M) - loga(N)，对数的除法法则；e) loga(M^n) = n * loga(M)，对数的乘方法则；f) loga(c) = 1/logc(a)，对数的换底公式。
新教材2020人教B版数学必修第二册教师用书：第4章 4.3 指数函数与对数函数的关系
4.3指数函数与对数函数的关系学习目标核心素养1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图像间的对称关系．(重点)2．利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异．3．利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题．(难点)1.通过反函数概念及指数函数与对数函数图像间的关系学习，培养直观想象素养．2．借助指数函数与对数函数综合应用的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.1．反函数的概念与记法(1)反函数的概念一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x 与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数，此时，称y＝f(x)存在反函数．(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示．思考：如何准确理解反函数的定义？[提示](1)反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域．(2)对于任意一个函数y＝f(x)，不一定总有反函数，只有当一个函数是单调函数时，这个函数才存在反函数．如y＝x2＋1(x∈R)就没有反函数，因为它在R 上不是单调函数．(3)反函数也是函数，因为它符合函数的定义．2．指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数．(2)指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x的图像关于直线y＝x对称．1．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于()A．log2x B.1 2xC．log12x D．2x－2A[y＝a x的反函数为f(x)＝log a x，则1＝log a2，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.]2．若函数y＝f(x)的反函数图像过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图像必过点() A．(1,1) B．(1,5)C．(5,1) D．(5,5)C[原函数与它的反函数的图像关于直线y＝x对称，因为y＝f(x)的反函数的图像过(1,5)，而(1,5)关于y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图像必过点(5,1)．]3．函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是()A．(0，＋∞) B．RC．(－∞，0) D．(0,1)A[由原函数与反函数间的关系知，反函数的值域为原函数的定义域．] 4．函数y＝x＋3的反函数为__________．y＝x－3(x∈R)[由y＝x＋3得x＝y－3，x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3.(x∈R)．]求函数的反函数【例1】 求下列函数的反函数． (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；(2)y ＝5x ＋1；(3)y ＝x 2(x ≤0)．[思路探究] 根据原函数反解x ⇒x ，y 互换⇒原函数的定义域即为反函数的值域．[解] (1)由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，得x ＝log 13y ，且y >0，∴f －1(x )＝log 13x (x >0)．(2)由y ＝5x ＋1，得x ＝y －15， ∴f －1(x )＝x －15(x ∈R )．(3)由y ＝x 2得x ＝±y . 因为x ≤0，所以x ＝－y . 所以f －1(x )＝－x (x ≥0)．求反函数的一般步骤(1)求值域：由函数y ＝f (x )求y 的范围．(2)解出x ：由y ＝f (x )解出x ＝f －1(y )．若求出的x 不唯一，要根据条件中x 的范围决定取舍，只取一个．(3)得反函数：将x ，y 互换得y ＝f －1(x )，注意定义域得反函数．提醒：求反函数时，若原函数y ＝f (x )的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求．1．(1)已知函数y ＝e x 的图像与函数y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称，则()A．f(2x)＝e2x(x∈R)B．f(2x)＝ln 2·ln x(x>0)C．f(2x)＝2e x(x∈R)D．f(2x)＝ln 2＋ln x(x>0)(2)求函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数．(1)D[(1)由题意知函数y＝e x与函数y＝f(x)互为反函数，y＝e x>0，所以f(x)＝ln x(x>0)．则f(2x)＝ln(2x)＝ln 2＋ln x(x>0)．](2)[解]由y＝0.2x＋1得x＝log0.2(y－1)，对换x、y得y＝log0.2(x－1)．∵原函数中x≤1，y≥1.2，∴反函数的定义域为[1.2，＋∞)，因此y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞)．指数函数与对数函数图像之间的关系()aA B C D(2)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图像是图中的()A BC D(1)C (2)A [(1)y ＝a x 与y ＝log a x 的单调性一致，故排除A 、B ；当0＜a ＜1时，排除D ；当a ＞1时，C 正确．(2)因为a >1时，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x,0<1a <1是减函数，恒过(0,1)点，y ＝log a x 为增函数，恒过(1,0)点，故选A.]互为反函数的图像特点(1)互为反函数的图像关于直线y ＝x 对称；图像关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致. (3)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数.2．(1)已知函数f (x )＝a x ＋b 的图像过(1,7)，其反函数f －1(x )的图像过点(4,0)，则f (x )的表达式为( )A ．4x ＋3B ．3x ＋4C ．5x ＋2D ．2x ＋5(2)若函数y ＝ax1＋x的图像关于直线y ＝x 对称，则a 的值为________． (1)A (2)－1 [(1)∵f (x )的反函数图像过点(4,0)， ∴f (x )的图像过(0,4)， 又f (x )＝a x ＋b 的图像过(1,7)，所以有方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 0＋b ＝4，a ＋b ＝7，∴a ＝4且b ＝3，故f (x )的表达式为4x ＋3，选A.(2)由y ＝ax1＋x可得x ＝ya－y，则原函数的反函数是y＝xa－x，所以xa－x＝ax1＋x，得a＝－1.]指数函数与对数函数的综合应用[1．观察函数y＝2x与y＝log2x的图像，指出两个函数的增长有怎样的差异？[提示]根据图像，可以看到，在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝2x随着x 的增长，函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y＝log2x的增长速度逐渐变得很缓慢．2．你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？[提示]y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)图像定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R性质当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1；当x＝0时，y＝1；在R上是增函数当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0；当x＝1时，y＝0；在(0，＋∞)上是增函数【例3】已知f(x)＝2x＋1(a∈R)，f(0)＝0.(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函数；(3)对任意的k ∈(0，＋∞)，解不等式f －1(x )>log 21＋x k . [思路探究] (1)判断奇偶性⇒奇偶性定义． (2)求反函数⇒反解，改写，标注定义域．(3)对数不等式⇒构建不等式组⇒解不等式组⇒得出解集． [解] (1)由f (0)＝0，得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x＋1.因为f (x )＋f (－x )＝2x －12x ＋1＋2－x －12－x ＋1＝2x －12x ＋1＋1－2x1＋2x ＝0， 所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数． (2)因为f (x )＝y ＝2x －12x ＋1＝1－22x＋1， 所以2x＝1＋y1－y(－1<y <1)，所以f －1(x )＝log 21＋x1－x (－1<x <1)． (3)因为f －1(x )>log 21＋x k ，即log 21＋x 1－x >log 21＋x k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x>1＋x k ，－1<x <1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >1－k ，－1<x <1，所以当0<k <2时，原不等式的解集为{x |1－k <x <1}； 当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1<x <1}．1．(变条件)本例变为“若f (x )为奇函数”，求a 的值． [解] 由奇函数定义可得f (－x )＝－f (x )，即a ·2－x －12－x ＋1＝－a ·2x －12x＋1，可变形为a －2x ＝1－a ·2x ，所以a ＝1.2．(变结论)本例中的条件不变，如何判断f －1(x )的单调性，并给出证明． [解]由原题解答知：f －1(x )＝log 21＋x1－x(－1<x <1)． 任取－1<x 1<x 2<1，则令t (x )＝1＋x 1－x ＝－(－x ＋1)＋21－x ＝－1＋21－x ，所以t (x 1)－t (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－x 2 ＝21－x 1－21－x 2＝2(1－x 2)－2(1－x 1)(1－x 1)(1－x 2) ＝2(x 1－x 2)(1－x 1)(1－x 2).因为－1<x 1<x 2<1，所以1－x 1>0,1－x 2>0，x 1－x 2<0，所以t (x 1)－t (x 2)<0，t (x 1)<t (x 2)，所以log 2t (x 1)<log 2t (x 2)，即f －1(x 1)<f －1(x 2)，所以函数f －1(x )为(－1,1)上的增函数．解对数不等式的常见解法(1)借助对数函数的单调性，把对数不等式转化为真数的不等式，最后与定义域取交集即得原不等式的解集.(2)底数中若含有变量，一定要注意底数大于0且不等于1，并注意与1的大小的讨论.(教师独具)1．本节课的重点是反函数的概念及它们的图像间的关系，难点是指数函数、对数函数的综合应用．2．本节课要掌握的规律方法 (1)了解反函数的概念． (2)互为反函数的图像间的关系．(3)能够利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异．3．本节课的易错点是求反函数时忘记写反函数的定义域.1．思考辨析(1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数是y ＝log x 12.( )(2)函数y ＝log 3x 的反函数的值域为R .( )(3)函数y ＝e x 的图像与y ＝lg x 的图像关于y ＝x 对称．( ) (1)× (2)× (3)× [(1)×.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数是y ＝log 12x (x >0)．(2)×.函数y ＝log 3x 的反函数的值域是原函数的定义域，故y ＝log 3x 的反函数的值域为(0，＋∞)．(3)×.互为反函数的图像关于直线y ＝x 对称，所以函数y ＝e x 的图像与y ＝ln x 的图像关于直线y ＝x 对称，函数y ＝lg x 的图像与y ＝10x 的图像关于直线y ＝x 对称．]2．下列函数中，反函数是其自身的函数为( )A．f(x)＝x2，x∈[0，＋∞) B．f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞) C．f(x)＝e x，x∈(－∞，＋∞)D．f(x)＝1x，x∈(0，＋∞)D[f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的反函数为f－1(x)＝x，x∈[0，＋∞)；f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f－1(x)＝3x，x∈(－∞，＋∞)；f(x)＝e x，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f－1(x)＝ln x，x∈(0，＋∞)；只有f(x)＝1x，x∈(0，＋∞)的反函数仍为f－1(x)＝1x，x∈(0，＋∞)．]3．已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像过点Q(5,2)，则b ＝________.1[f－1(x)的图像过Q(5,2)，则f(x)的图像过点(2,5)，则f(2)＝5，即22＋b＝5，解得b＝1.]4．已知函数y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，求a，b 的值．[解]由y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，说明它们互为反函数．又由y＝ax＋2，解得x＝y－2a(a≠0)，所求反函数为y＝1a x－2a，与函数y＝3x＋b表示同一函数，则有1a ＝3且－2a＝b，解得a＝13，b＝－6.。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学、物理、化学等科学中都有广泛的应用。
下面是关于指数函数和对数函数的知识点总结。
一、指数函数：1.含义：指数函数是以一个常数为底数的数的乘方的函数。
2.表达形式：指数函数可以表示为f(x)=a^x，其中a是底数，x是指数，a>0且a≠13.特点：-当x为正时，指数函数是递增的，在x轴右侧上升。
-当x为负时，指数函数是递减的，在x轴左侧下降。
-当x=0时，指数函数的值恒为1，即f(0)=1-当底数a>1时，指数函数是增长趋势的，图像像“开口向上”的U 形。
-当0<a<1时，指数函数是衰减趋势的，图像像“开口向下”的倒U 形。
-当a=1时，指数函数退化为常函数，即f(x)=14.常见指数函数：-自然指数函数：f(x)=e^x，其中e是自然对数的底数，约等于2.718-正常数指数函数：f(x)=a^x，a>0且a≠1-指数递减函数：f(x)=a^(-x)，a>0且a≠1- 指数增长函数：f(x) = e^(kx)，其中k为常数。
- 指数衰减函数：f(x) = e^(-kx)，其中k为常数。
二、对数函数：1.含义：对数函数是指数函数的逆运算。
2. 表达形式：对数函数可以表示为f(x) = log<sub>a</sub>(x)，其中a是底数，x是正实数，a>0且a≠13.特点：-对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
-对数函数的图像是递增的，在x轴右侧上升。
-当x=a^y时，有f(a^y)=y。
-当底数a>1时，对数函数是递增的，在x轴右侧上升。
-当0<a<1时，对数函数是递减的，在x轴右侧下降。
-当a=1时，对数函数是常函数，即f(x)=0。
4.常见对数函数：- 自然对数函数：f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数。
对数函数与指数函数的关系
对数函数与指数函数的关系数学中，对数函数和指数函数是两个相互关联的概念。
它们在数学、科学和工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍对数函数和指数函数的定义、性质以及它们之间的关系。
1. 对数函数的定义和性质对数函数是指以一个正数为底数，求另一个数在这个底数下的对数。
常见的对数函数有以10为底的常用对数函数（log10），以及以自然常数e为底的自然对数函数（ln）。
1.1 常用对数函数常用对数函数是以10为底的对数函数，记作log10(x)，定义为x的对数。
例如，log10(100)等于2，表示10的2次方等于100。
常用对数函数有以下性质：- log10(1) = 0，即10的0次方等于1；- log10(10) = 1，即10的1次方等于10；- log10(a*b) = log10(a) + log10(b)，即底数为10的对数函数的乘法规则。
1.2 自然对数函数自然对数函数是以自然常数e为底的对数函数，记作ln(x)，定义为x的对数。
例如，ln(e)等于1，表示e的1次方等于e。
自然对数函数有以下性质：- ln(1)=0，即e的0次方等于1；- ln(e) = 1，即e的1次方等于e；- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)，即底数为e的对数函数的乘法规则。
2. 指数函数的定义和性质指数函数是以一个固定的底数为基准，将自变量（指数）作为幂的函数。
常见的指数函数有以10为底的指数函数（10^x），以及以自然常数e为底的指数函数（e^x）。
2.1 以10为底的指数函数以10为底的指数函数为10的x次方，记作10^x。
例如，10^2等于100，表示10的2次方等于100。
以10为底的指数函数有以下性质：- 10^0 = 1，即10的0次方等于1；- 10^1 = 10，即10的1次方等于10；- 10^(a+b) = 10^a * 10^b，即底数为10的指数函数的乘法规则。
2.2 以自然常数e为底的指数函数以自然常数e为底的指数函数为e的x次方，记作e^x。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数的定义与性质1. 定义指数函数是以底数a（a>0且a≠1）为底的函数，一般表示为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是函数值。
2. 性质⑴当a>1时，指数函数是递增函数，图像上开；当0<a<1时，指数函数是递减函数，图像下降。
⑵当x=0时，a^0=1。
⑶当a>1时，随着x的增大，函数值y=a^x也会增大；当0<a<1时，随着x的增大，函数值y=a^x会减小。
3. 图像当底数a>1时，指数函数的图像是递增的曲线，图像上翘；当0<a<1时，指数函数的图像是递减的曲线，图像下降。
4. 应用指数函数在科学计算、生物增长、财经复利、工程技术等领域都有着重要的应用。
例如在计算机科学中，指数函数常用于指数衰减算法、指数增长算法等；在生物学中，指数函数常用于描述生物的增长规律；在金融领域中，指数函数用以描述利息的复利增长等。
二、对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指数函数的逆运算，一般表示为y=log_a(x)，其中a是底数，x是真数，y是对数。
2. 性质⑴对数函数的定义域为x>0，值域为实数集。
⑵对数函数的图像是单调递增的曲线，在0处没有定义。
⑶特殊情况下，当底数a=10时，我们称为常用对数函数，一般表示为y=log(x)；当底数a=e时，我们称为自然对数函数，一般表示为y=ln(x)。
3. 图像对数函数的图像是单调递增的曲线，图像在x轴的右侧。
4. 应用对数函数在科学计算、信息论、统计学、工程技术等领域都有着广泛应用。
例如在信息论中，对数函数用于计算信息量、信息熵等；在统计学中，对数函数用于描述正态分布、伯努利分布等；在工程技术中，对数函数用于解决指数增长问题、指数衰减问题等。
三、指数函数与对数函数的关系1. 反函数关系指数函数与对数函数是一对反函数，它们的定义域和值域互为对方的值域和定义域。
具体而言，对数函数y=log_a(x)中，x=a^y。
指数函数与对数
指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论练习：1、（1）)35lg(lg x x y -+=的定义域为_______；（2）312-=x y 的值域为_________；（3）)lg(2x x y +-=的递增区间为___________，值域为___________2、（1）041log 212≤-x ，则________∈x 3、要使函数a y x x 421++=在(]1,∞-∈x 上0>y 恒成立。
求a 的取值范围。
指数函数与对数函数同步训练一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.已知2lg(x －2y )=lg x +lg y ,则yx的值为（ ）A.1 B.4 C.1或4 D.41或42.函数y =log 21(x 2－6x +17)的值域是（ ）A.R B.［8，+)∞C.(－∞,－]3D.［－3,+∞)3.若a >1,b >1,且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a －1)+lg(b －1)的值等于（ ） A.0 B.lg2 C.1 D.－14.设x ∈R ,若a <lg(|x －3|+|x +7|)恒成立，则（ ） A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <15.设有两个命题①关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对于一切x ∈R 恒成立，②函数f (x )=－(5－2a )x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a 的范围是（ ） A.(－2,2) B.(－∞,2) C.(－∞,－2) D.(－∞,－2］ 6.设函数f (x )=f (x1)lg x +1,则f (10)值为（ ）A.1B.－1C.10D.101 7.已知函数y =f (x )的反函数为f －1(x )=2x +1,则f (1)等于（ ）A.0 B.1 C.－1 D.4 8.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是（ ） A.(0,21)B.(0,⎥⎦⎤21C.(21,+∞)D.(0,+∞)9.已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（ ）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］ 10.已知f (x )=x 2－bx +c ,且f (0)=3,f (1+x )=f (1－x ),则有（ ） A.f (b x )≥f (c x ) B.f (b x )≤f (c x ) C.f (b x )<f (c x ) D.f (b x )、f (c x )大小不确定 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11.方程log 2(2－2x )+x +99=0的两个解的和是______.12.当x ∈(1,2)，不等式(x －1)2<log a x ,则a 的取值范围是_____________. 13.若不等式3axx22->(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______.14.f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______.三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（8分）已知函数f (x )=log 412x －log 41x +5,x ∈［2,4］，求f (x )的最大值及最小值.16.（10分）已知f (x )=lg xx+-11.(1)求函数定义域.（2）求f －1(lg2).17.(12分)已知函数f (x )=22-a a (a x －a －x)(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.18.(12分)设函数f (x )=|lg x |,若0<a <b ,且f (a )>f (b ),证明：ab <1.19.（12分）某种细菌每隔两小时分裂一次，（每一个细菌分裂成两个，分裂所须时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y =f (t ).（1）写出函数y =f (t )的定义域和值域.（2）在所给坐标系中画出y =f (t )(0≤t <6)的图象.（3）写出研究进行到n 小时（n ≥0，n ∈Z )时，细菌的总数有多少个（用关于n 的式子表示）？指数函数与对数函数同步训练一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知2lg(x －2y )=lg x +lg y ,则yx的值为（ ）A.1 B.4 C.1或4 D.41或4考查对数函数及对数函数定义域.【解析】 原命题等价⇒⎩⎨⎧>>=-02y x )2(2xy y x x =4y ∴y x=4【答案】 B 2.函数y =log 21(x 2－6x +17)的值域是（ ）A.R B.［8，+)∞ C.(－∞,－]3 D.［－3,+∞)考查对数函数单调性、定义域、值域.【解析】 y =log 21［(x －3)2+8］≤log 218=－3 【答案】 C3.若a >1,b >1,且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a －1)+lg(b －1)的值等于（ ）A.0 B.lg2 C.1 D.－1 考查对数运算.【解析】 由lg(a +b )=lg a +lg b ⇒a +b =ab 即(a －1)(b －1)=1, ∴lg(a －1)+lg(b －1)=0 【答案】 A4.设x ∈R ,若a <lg(|x －3|+|x +7|)恒成立，则（ ）A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <1 考查对数函数性质及绝对值不等式.【解析】 令t =|x －3|+|x +7|,∴x ∈R ,∴t min =10 y =lg t ≥lg10=1,故a <1 【答案】 D 5.设有两个命题①关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对于一切x ∈R 恒成立，②函数f (x )=－(5－2a )x 是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a 的范围是（ ） A.(－2,2) B.(－∞,2) C.(－∞,－2) D.(－∞,－2］考查二次函数性质及逻辑推理能力.【解析】 ①等价于Δ=（2a )2－16<0⇒－2<a <2 ②等价于5－2a >1⇒a <2 ① ②有且只有一个为真，∴a ∈(－∞,－2］ 【答案】 D 6.设函数f (x )=f (x1)lg x +1,则f (10)值为（ ）A.1B.－1C.10D.101 考查对数性质及函数对应法则理解.【解析】 ∵f (x )=f (x1)lg x +1,∴f (x1)=f (x )lg x1+1 ∴f (10)=f (101)lg10+1,且f (101)=f (10)lg 101+1 解得f (10)=1. 【答案】 A 7.已知函数y =f (x )的反函数为f －1(x )=2x +1,则f (1)等于（ ）A.0 B.1 C.－1 D.4考查反函数意义.【解析】 令f (1)=x ,则f －1(x )=1,令2x +1=1,∴x =－1 【答案】 C8.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是（ ） A.(0,21)B.(0,⎥⎦⎤21C.(21,+∞)D.(0,+∞)考查对数函数的单调性.【解析】 f (x )=log 2a (x +1)>0=log 2a 1 ∵x ∈(－1,0),∴x +1<1, ∴0<2a <1,即0<a <21 【答案】 A9.已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（ ）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］ 考查函数定义域的理解. 【答案】 B【解析】 由1≤x ≤2⇒2≤2x ≤4, ∴y =f (x )定义域为［2，4］ 由2≤log 2x ≤4,得4≤x ≤16 10.已知f (x )=x 2－bx +c ,且f (0)=3,f (1+x )=f (1－x ),则有（ ） A.f (b x )≥f (c x ) B.f (b x )≤f (c x ) C.f (b x )<f (c x ) D.f (b x )、f (c x )大小不确定 考查二次函数及函数单调性.【解析】 由f (0)=3⇒c =3, 由f (1+x )=f (1－x )知对称轴为x =1,∴b =2①x =0,2x =3x ,∴f (2x )=f (3x )②x >0,1<2x <3x ,∴f (2x )<f (3x )③x <0,1>2x >3x ,∴f (2x )<f (3x ) 【答案】 B 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.方程log 2(2－2x )+x +99=0的两个解的和是______.【答案】 －99 考查对数运算.【解析】 由原式变形得2－2x =99221⋅x 设2x =y ,变形得:299y 2－2100y +1=0⇒y 1y 2=2－99=221x x + ∴x 1+x 2=－9912.当x ∈(1,2)，不等式(x －1)2<log a x ,则a 的取值范围是_____________.【答案】 (1,2］考查对数函数图象及数形结合思想.【解析】 考查两函数y =(x －1)2及y =log a x 图象可知a ∈(1,2］ 13.若不等式3axx22->(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】 －21<a <23考查指数函数单调性及化归能力.【解析】 由题意：x 2－2ax >－x －1恒成立 即x 2－(2a －1)x +1>0恒成立 故Δ=（2a －1）2－4<0⇒－21<a <2314.f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______.【答案】 (－2,－1］ 考查分段函数值域.【解析】 x ∈(－∞,1］时,x －1≤0,0<3x －1≤1, ∴－2<f (x )≤－1x ∈(1,+∞)时，1－x <0,0<31－x <1,∴－2<f (x )<－1 ∴f (x )值域为(－2,－1］三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分8分）已知函数f (x )=log 412x －log 41x +5,x ∈［2,4］，求f (x )的最大值及最小值.考查函数最值及对数函数性质.【解】 令t =log 41x ,∵x ∈［2,4］,t =log 41x 在定义域递减有log 414<log 41x <log 412，∴t ∈［－1,－21］ ∴f (t )=t 2－t +5=(t －21)2+419,t ∈［－1,－21］∴当t =－21时，f (x )取最小值423当t =－1时，f (x )取最大值7. 16.（本小题满分10分）已知f (x )=lg xx+-11.(1)求函数定义域.（2）求f －1(lg2).考查函数性质，互为反函数的函数间关系.【解】 （1）由xx+-11>0,得－1<x <1 ∴函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1} (2)由lg x x +-11=lg2⇒xx +-11=2⇒x =－31 ∴f －1(lg2)=－3117.(12分)已知函数f (x )=22-a a(a x －a －x )(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.考查指数函数性质.【解】 f (x )的定义域为R ，设x 1、x 2∈R ,且x 1<x 2 则f (x 2)－f (x 1)=22-a a (a 2x －a 2x -－a 1x +a 1x -)=22-a a (a 2x －a 1x )(1+211x x a a ⋅)由于a >0，且a ≠1,∴1+211x x aa >0 ∵f (x )为增函数，则(a 2－2)( a 2x －a 1x )>0 于是有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-⎪⎩⎪⎨⎧>->-02002121222x xx x a a a a a a 或， 解得a >2或0<a <1 18.(本小题满分12分)设函数f (x )=|lg x |,若0<a <b ,且f (a )>f (b ),证明：ab <1.考查对数函数性质、分类讨论思想.【解】 由题设，显然a 、b 不能同在（1，+∞) 否则，f (x )=lg x ,且a <b 时，f (a )<f (b )与已知矛盾由0<a <b 可知，必有0<a <1 ①当0<b <1时，∵0<a <1,0<b <1,∴0<ab <1 ②当b >1时，∵0<a <1 ∴f (a )=|lg a |=－lg a ,f (b )=|lg b |=lg b 由f (a )>f (b ),得－lg a >lg b ，即a1>b ,∴ab <1 由①②可知ab <1 19.考查函数应用及分析解决问题能力.【解】 （1）y =f (t )定义域为t ∈［0,+∞),值域为{y |y =2n ,n ∈N *}（2）0≤t <6时，为一分段函数y =⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<≤)6(4 8)4(2 4)2(0 2x x x 图象如图（3）n 为偶数时，y =212+nn 为奇数时，y =2121+-n ∴y =⎪⎩⎪⎨⎧+-+为奇数为偶数n n n n 2212112。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
(1)y=2.5x
(2)y=πx 3y 1 x
3
3
3.写出下列指数函数的反函数:
(1)y=4x; (2)y=1.4x;
3y
x
.
2
(1)y=log4x (2)y=log1.4x 3ylog x 2
(1)定义域： (0,+∞)
(2)值域：R (3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(4) a>1时, a越大图像越靠近y轴 (4) a>1时, a越大图像越靠近x轴
质
0<a<1时, a越小图像越靠近y轴 0<a<1时, a越大图像越靠近x轴 (5) a>1时, 在R上是增函数； (5) a>1时,在(0,+∞)是增函数；
x
y
R
(0,+∞)
x=loga y
y
x
(0,+∞)
R
对应法则互逆
称这两个函数互为反函数
指数函数y=ax是对数函数 x=loga y(a>0,a≠1)的反函数
指数函数y=ax(a>0,a≠1)
反 函 数
对数函数y=logax(a>0,a≠1)
y
y 2x y x
y log2 x
0
x
y (1)x y 2 0
y x
x
y log 1 x
2
y 10x
y
y 2x y x
y log2 x
y log10 x
0
x
y ( 1 )x
y
(
1
)
10
x
y
2
0
y x
xy log 1 x
10
y log 1 x
2
观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x的 图像,分析它们之间的关系.
a
x轴成轴对称
指数函数y=ax (a>0,a≠1)
图 y=ax
y y=ax
象 (0<a<1)
(a>1)
1
o
x
(1)定义域：R
性 (2)值域：(0,+∞)
(3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
y o1
y=logax (a>1)
x
y=logax (0<a<1)
3
解 (1)对数函数y=lgx,它的底数是 10 它的反函数是指数函数 y=10x
(2)对数函数 y log1 x, 它的底数是 1
3
它的反函数是指数函数
y 1 x .
3
3
例2 写出下列指数函数的反函数:
(1)y=5x
2y 2 x.
3
解(1)指数函数y=5x,它的底数是5 它的反函数是对数函数 y=log5x;
函数y=log2x的图像与 函数y=2x的图像关于 直线y=x对称
y y=2x Q(a,b) y=x
函数y=f(x)的图像和
(0,1) O
它的反函数的图像
(1,0)
P(a,b) y=log2x x
关于直线y=x对称
• 1．当一个函数是一一映射时，可以把这个 函数的因变量作为一个新的函数的自变量， 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变 量，我们称这两个函数互为反函数。
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 a＝f－1(b)
理论迁移
例4 已知函数 f (x) log2 (1 2x ) . （1）求函数f(x)的定义域和值域； （2）求证函数y=f(x)的图象关于直线
y=x对称.
小结
反函数的概念
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与 对数函数y=logax(a>0,a≠1)
• 2．对数函数y=loga x与指数函数y=ax互为反 函数，图象关于直线y=x对称。
• 3 ．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x) 表 示。
注意：y＝f －1(x) 读作：“f逆x”
表示反函数，不是-1次幂（倒数） 的意思
例1 写出下列对数函数的反函数:
(1)y =lgx; 2ylog1 x.
0<a<1时,在R上是减函数 0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
指数函数与对数函数 的关系
问题1： 指数函数y=ax与对数函数y=loga x(a>0,a≠1) 有什么关系?
指数换对数
y=ax
x=loga y
对应法则互逆
交换x,y
y=loga x
指数函数y=ax与对数函数x=loga y(a>0,a≠1) 有什么关系?
函 数 自变量 因变量 定义域 值 域
y=ax
x
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 a＝f－1(b)
[例4]函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象
经过点(1, 4)，求a的值.
解:依题意,得 1loag(41)
即 :loa3 g 1 , a3.
y
ｙ＝3ｘ－2
0
ｙ＝ｘ
x
ｙ＝ｘ＋2 3
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数 ｙ＝ｘ＋2 的图象之间有什么关系？
3
求函数反函数的步骤: 1 反解 2 x与y互换 3 求原函数的值域
4 写出反函数及它的定义域
y y=2x
Hale Waihona Puke 结论:Q(a,b) (0,1)
O (1,0)
y=x P(b,a) y=log2x
(2)指数函数
y
2
x
3
,它的底数是
2 3
,
它的反函数是对数函数 y log2 x
3
练习
1.说出下列各组函数之间的关系:
(1)y=10x和y=lgx；
互为反函数,
(2)y=2x和y=log2x;
定义域和值域互换, 对应法则互逆
(3)y=ex和y=lnx.
练习
2.写出下列对数函数的反函数:
例3 求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同 一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。 解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R ）得ｘ＝ｙ＋2
3 所以ｙ＝2ｘ－1（ｘ∈R）的反函数是
ｙ＝ｘ＋2 （ｘ∈R ）
3
ｙ＝3ｘ－2 经过两点（0，－2）， （2/3，0）
ｙ＝ｘ＋2 经过两点（－2，0）， （0 ，2/3 ） 3
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上 a＝f－1(b)
例 5： 已 知 函 数 （ f x） x2（ 1x2） 求 出 f （ 14） 的 值 。
解 ： 令x214， 解 之 得 ： x5 又 Qx2， x5.
互为反函数
定义域和值域互换 对应法则互逆
图像关于直线y=x对称
作业
课本第106页练习 A组B组
对称性：
(1) y ax与y log a x的图象关于 y x成轴对称 (2) y a x与y ( 1 )x的图象关于
a y轴成轴对称
(3) y log a x与y log 1 x的图象关于