试卷3答案

玉溪师范学院2004—2005学年下学期期末试卷答案及评分标准

《初等几何研究》试卷3

一、 填空题（本题共7题，每空3分，共24分）

1、20AH M =； 2

、； 3、61︒； 4、10； 5、3； 6

、 7

、,AB 的中点二、 计算题（本题共2题，每小题8分，共16分）

1、解：设平面α与β的交线为AC ，过H 作HD AC ⊥，连BD ，则由三垂线定理知

BD AC ⊥，于是30BDH ∠=︒.———3分

在Rt BHD ∆中，有2BD BH =————2分 在Rt BDA ∆中

sin 2BD

BAD BH AB ∠=

== 60.BAD ∴∠=︒———————————3分

2、解：在ABD ∆中，使用余弦定理，

22222257313

cos 1225714

AD BD AB AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯——2分

sin 1∠==——————————1分

因为A ∠与C ∠互补，所以A B C D 、、、共圆———1分 于是 11'∠=∠，245BDC ∠=∠=︒，——————2分 在ABC ∆中，使用正弦定理

sin 2sin 1BC AB ='∠∠ 3sin 45sin 1BC ⇒=∠，故BC =.————————2分

三、 证明题（本题共5题，第1、2小题每题8分，第3、4小题每题10分，第5小题12

分，共48分）

1、证明：在CDB ∆与CDA ∆中，

BD DA =，CD 公用，AC BC >

CDA CDB ∴∠>∠————————3分

在EDB ∆与EAD ∆中

BD DA =，ED 公用，CDA CDB ∠>∠ AE BE ∴>———————————3分

在BEA ∆中，因为AE BE >，所以.EBD EAD ∠>∠—————————2分

2、证明：根据梅涅劳定理，ADC ∆被直线BEF 所截，有

1DB CF AE

BC FA ED ⋅⋅=- 即35()1256CF CF

FA FA -⨯

⨯=-⇒=.————4分 BFC ∆被直线AED 所截，有

1BE FA CD

EF AC DB ⋅⋅=- 即12()133BE EF ⨯-⨯=-　， 2.CF

FA

=　—————4分

3、证明：设梯形ABCD 两腰的交点为O ，两对角线 的交点为G ，连OG ，设其与AD BC 、交于点E F 、， 下证：E 是AD 的中点，F 是BC 的中点.————2分

AE OA AD AG AE

BF OB BC GC FC

====， ,BF FC F ∴=是BC 的中点；————————5分

又

AE OE ED

BF OF FC

==， ,AE ED E ∴=是AD 的中点.—————————3分

4、证明 ：因为AE AB =，AE AB ⊥，AC AG =，AC AG ⊥，所以AEC ∆绕点按逆时针方向旋转90后即为ABG ∆.——————2

于是AEC ABG ∆≅∆，EC BG =.—————2分 在旋转下对应直线的夹角等于旋转角

从而 EC BG ⊥.———————————2分

又

H K M

、、分别是BE CG BC 、、的中点，

1//2MH EC ∴，1

//2

MK BG ——————3分

故,.MH MK MH MK =⊥———————1分

5、（1）探求——————————4分 假设点P 合于条件，即过点P 作定圆

()O r 的两切线PA PB 、，其夹角APB ∠为定

角，设为2α。连接OA OP 、，在Rt OAP ∆中，

sin sin OA r

OP αα

=

=（定值） 所以点P 在()sin r

O α上. （2）证明————————————6分 1°完备性（见探求过程） 2°纯粹性：在(

)sin r

O α

上任取一点P ， 则sin r

OP α

=

，过P 作定圆()O r 的两切线PA PB 、，则在Rt OAP ∆中， sin sin sin OA r

APO r OP

αα

∠===，

（α与APO ∠都是锐角） 22APO APB APO αα∴∠=⇒∠=∠=（定角），所以点P 合于条件.

由1°、2°知，点P 的轨迹是()sin r

O α

. （3）讨论—————————————2分

当0r >，090α<<时，轨迹为已知圆的同心圆.

四、作图题（本大题共1小题，12分）

（1）分析：假设ABC ∆已经作出，

BC a =，B β∠=，AC AB b c -=-.

延长AB 至D ，使BD b c =-， 连DC ，因知道DBC ∆的两边及夹角， 故可取为奠基三角形.————————4分

（2）作法：作DBC ∆，使BD b c =-，BC a =，2DBC d β∠=-，作DC 之中垂线交射线DB 于A ，则ABC ∆即为所求.————————3分

（3）证明：由作法知ABC ∆中，

BC a =，22(2)ABC d DBC d d ββ∠=-∠=--=，()AC AB AD AB AD AD BD BD b c -=-=--==-，

所以ABC ∆合于条件.————————————————3分

（4）讨论：本题有解的条件为0b c a ≤-<，解数为0或1.——————2分