试卷3答案

玉溪师范学院2004—2005学年下学期期末试卷答案及评分标准
《初等几何研究》试卷3
一、 填空题（本题共7题，每空3分，共24分）
1、20AH M =； 2
、； 3、61︒； 4、10； 5、3； 6
、 7
、,AB 的中点二、 计算题（本题共2题，每小题8分，共16分）
1、解：设平面α与β的交线为AC ，过H 作HD AC ⊥，连BD ，则由三垂线定理知
BD AC ⊥，于是30BDH ∠=︒.———3分
在Rt BHD ∆中，有2BD BH =————2分 在Rt BDA ∆中
sin 2BD
BAD BH AB ∠=
== 60.BAD ∴∠=︒———————————3分
2、解：在ABD ∆中，使用余弦定理，
22222257313
cos 1225714
AD BD AB AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯——2分
sin 1∠==——————————1分
因为A ∠与C ∠互补，所以A B C D 、、、共圆———1分 于是 11'∠=∠，245BDC ∠=∠=︒，——————2分 在ABC ∆中，使用正弦定理
sin 2sin 1BC AB ='∠∠ 3sin 45sin 1BC ⇒=∠，故BC =.————————2分
三、 证明题（本题共5题，第1、2小题每题8分，第3、4小题每题10分，第5小题12
分，共48分）
1、证明：在CDB ∆与CDA ∆中，
BD DA =，CD 公用，AC BC >
CDA CDB ∴∠>∠————————3分
在EDB ∆与EAD ∆中
BD DA =，ED 公用，CDA CDB ∠>∠ AE BE ∴>———————————3分
在BEA ∆中，因为AE BE >，所以.EBD EAD ∠>∠—————————2分
2、证明：根据梅涅劳定理，ADC ∆被直线BEF 所截，有
1DB CF AE
BC FA ED ⋅⋅=- 即35()1256CF CF
FA FA -⨯
⨯=-⇒=.————4分 BFC ∆被直线AED 所截，有
1BE FA CD
EF AC DB ⋅⋅=- 即12()133BE EF ⨯-⨯=-　， 2.CF
FA
=　—————4分
3、证明：设梯形ABCD 两腰的交点为O ，两对角线 的交点为G ，连OG ，设其与AD BC 、交于点E F 、， 下证：E 是AD 的中点，F 是BC 的中点.————2分
AE OA AD AG AE
BF OB BC GC FC
====， ,BF FC F ∴=是BC 的中点；————————5分
又
AE OE ED
BF OF FC
==， ,AE ED E ∴=是AD 的中点.—————————3分
4、证明 ：因为AE AB =，AE AB ⊥，AC AG =，AC AG ⊥，所以AEC ∆绕点按逆时针方向旋转90后即为ABG ∆.——————2
于是AEC ABG ∆≅∆，EC BG =.—————2分 在旋转下对应直线的夹角等于旋转角
从而 EC BG ⊥.———————————2分
又
H K M
、、分别是BE CG BC 、、的中点，
1//2MH EC ∴，1
//2
MK BG ——————3分
故,.MH MK MH MK =⊥———————1分
5、（1）探求——————————4分 假设点P 合于条件，即过点P 作定圆
()O r 的两切线PA PB 、，其夹角APB ∠为定
角，设为2α。

连接OA OP 、，在Rt OAP ∆中，
sin sin OA r
OP αα
=
=（定值） 所以点P 在()sin r
O α上. （2）证明————————————6分 1°完备性（见探求过程） 2°纯粹性：在(
)sin r
O α
上任取一点P ， 则sin r
OP α
=
，过P 作定圆()O r 的两切线PA PB 、，则在Rt OAP ∆中， sin sin sin OA r
APO r OP
αα
∠===，
（α与APO ∠都是锐角） 22APO APB APO αα∴∠=⇒∠=∠=（定角），所以点P 合于条件.
由1°、2°知，点P 的轨迹是()sin r
O α
. （3）讨论—————————————2分
当0r >，090α<<时，轨迹为已知圆的同心圆.
四、作图题（本大题共1小题，12分）
（1）分析：假设ABC ∆已经作出，
BC a =，B β∠=，AC AB b c -=-.
延长AB 至D ，使BD b c =-， 连DC ，因知道DBC ∆的两边及夹角， 故可取为奠基三角形.————————4分
（2）作法：作DBC ∆，使BD b c =-，BC a =，2DBC d β∠=-，作DC 之中垂线交射线DB 于A ，则ABC ∆即为所求.————————3分
（3）证明：由作法知ABC ∆中，
BC a =，22(2)ABC d DBC d d ββ∠=-∠=--=，()AC AB AD AB AD AD BD BD b c -=-=--==-，
所以ABC ∆合于条件.————————————————3分
（4）讨论：本题有解的条件为0b c a ≤-<，解数为0或1.——————2分。