第九章 线性系统的状态空间分析与综合
第九章线性系统的状态空间综合法
1
Sb AbR31C1 R3C2
R31C1R31C1R11C1R32C 11C2 R31C2R31C2R21C2R32C 11C2
当 R 1R 2,且 C 1C 2时， rankS=2=n，系统可控 当R 1R 2,且 C 1C 2时， rankS=1<n，系统不可控
由电路图可知：R1R2,C 时1，C2 x1 x2 即不能通过u使x1,x2到达任意状态。
对于 1 有5：
5 1 0 0 0 1
ran 1kIA Bran0 0k
5 0
10 5 1
1 0
1 04
0 0 5 5 2 0
对于 1 有：5
5 1 0 0 0 1
ran 1IkABran 0 0 k5 1 0 50Fra bibliotek11 0
1 04
0 0 5 5 2 0
满足PBH判据充要条件，所以该系统可控。
其中：W (0,t) t1eAtBT B eATtdt——格拉姆矩阵 0
显然，用此判据需要求eAt，再求积分。通常只用于理论分析、证明。
2）秩判据
（A,B）状态完全可控 可控性矩阵S满秩 。
其中：S B A A 2 B B A n 1 B
即当 rank(S)=n （满秩），则系统完全可控 。
例9-3 判断已知系统的可控性。
x 1 1 x20 x3 0
3 2 1
2x1 2 0x21 3x3 1
1 11u u12
解：可控性判别阵为:
S BAA B 2 B
2 1 33 22 55 44
1
1
22
22
44
44
1 1 22 22 44 44
可见，rankS=2<3，系统不可控。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
状态空间分析法教程文件
第9章 线性系统的状态空间分析与综合重点与难点一、基本概念1．线性系统的状态空间描述（1）状态空间概念状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。
状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。
状态向量 以状态变量为元素构成的向量。
状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。
系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。
状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。
输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。
状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。
线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示：⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x & (9.1) （2）状态空间表达式的建立。
系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。
（3）状态空间表达式的线性变换及规范化。
描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。
某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。
状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。
利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。
满秩线性变换不改变系统的固有特性。
根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。
（4）线性定常系统状态方程解。
状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数Ate ）及其性质：(9.8)i ． I =)0(φii ．A t t A t )()()(φφφ==& iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+iv. )()(1t t -=-φφv. )()]([kt t k φφ=vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )ex p()ex p(11非奇异P P At PAPt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法：拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2）级数展开法ΛΛ+++++=k k At t A k t A At I e !12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4）非齐次状态方程式（9.1）求解⎰-+=tBu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6)传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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胡寿松《自动控制原理》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解2
6-2 设单位反馈 统 开环 函 为
试设计 联 前校正装置， 统满
（1） 角裕度r≥45°；
（2） 单位
入下 态 差
下 标：
（3）截止频率ωc≥7.5rad／s。
解： 开环
取
则开环 函 为：
令
，解得校正前
rad/s
则校正前 角裕度为：
不 合题 要求，
前校正。
取
rad/s，可得：
，可得：
则 前校正环节 校正后 统开环 其 角裕度为
统性能得：
3．某 反馈 统开环 函
合要求。
（1）求 统 角裕度 幅 裕度。
（2） 角裕度
联 前校正 联滞后校正 主要特点。为 统
，试分 统应
联 前校正还 联滞后校正?
[
技 2009 ]
解：（1）求截止频率与
裕度：
求幅 裕度：
（2）要 节 校正。
统 角裕度
，
前校正，则需要校正环
不合
前校正，可以
联滞后
为 习重点， 此，本 分也就没
考 题。
第二部分 课后习题
第6章 线性系统的校正方法
6-1 设 单位反馈 火炮
统，其开环 函 为
若要求 统最 2°，试求：
出速度为12°/s， 出位置
许 差小
（1） 满 上 幅 裕度；
标 最小K ，计 该K 下 统
角裕度
（2） 前
前校正网络
计 校正后 统 能影。
角裕度 幅 裕度，
解：（1） 题可
则 统 特征表 式为
统特征 为：
令
，则
则
可得：
所以 统 状态 应为
（2）求 统 出范 最小 刻t
第九章-线性系统的状态空间综合法PPT课件
③对线性定常系统，在[t0，t1]上考虑与在[0，t1-t0]上考虑是等价的，即
可控性与t0无关。
④系统可控 系统状态完全可控
若存在不可控状态（一个或多个）则系统不完全可控； ⑤终端状态x(t1)=0，即取状态空间的原点。
4
第4页/共82页
4）状态可达与系统可达
对系统： x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) t Tt
sI A B 0 1 0 11 00
0 0 1 00 11 0 0 5 22 00
对于 1 有2 ： 0
0 1 0 0 0 1
rank 1I A
B rank 0
0
0 0
1 0 1 0 4 0 1 0 1
0 0 5 0 2 0
16
第16页/共82页
对于 1 有：5
5 1 0 0 0 1
该系统是完全可控的.
20
第20页/共82页
③设 为1 5重特征根，有如下约当型
1 1
1 1
AJ
1 1
1 55
B
BB43
B5 5p
结论：只要
B3
B
4
行线性无关,系统状态完全可控。
B5
B3
即
rankB4
行
数
系统状态完全可控。
B5
注：输入的维数p>λi所对应的约当块的块数时，系统可能可控；
当 R1 R2 ,且C1 C2 时， rankS=2=n，系统可控 当R1 R2 ,且C1 C2 时， rankS=1<n，系统不可控 由电路图可知： R1 R2时,C，1 C2 x1 x2
即不能通过u使x1,x2到达任意状态。
iL
R3 R1
第9章线性系统的状态空间分析与综合PPT课件
b 0u (n)
b 1u (n1)
*
b
n
1
u
bnu
选在取由状包态含变状量态的变原量则的: n个微 分x 2 议 x程1 构h 1成u 的系
统状态议程解中任何一个微 x 分n 议x n程 1 均h n不 1 u 含有
作用函数的导数项。
X AX BU
x1 y b 0u
y CX DU
掌握和运用可控性判据和可观性判据。
*
4
基本要求
⑤ 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控
系统进行可控性分解。
⑥ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,
熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状 态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点 配置和观测器极点配置。
⑦ 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的
条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行 稳定性分析。
*
5
状态空间方法基础
• 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析
单输入、单输出系统。
• 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。
采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁 明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。
*
6
一、状态空间的基本概念
状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
x 2
y (2)
x 1 x 2
所以
x
2
x3
x
3
x1
2x 2
3x3
r
X AX Br
*
19
0 1 0
0
其中
A
0
0
1
B
0
- 1 - 2 - 3
1
C 1 0 0
线形系统的状态空间分析与综合
y(t)C(t)x(t)
的可观测性。输出响应成为
y(t)C (t) (t,t0)x0
下面给出系统可观测性的有关定义。
系统完全可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻
t0 Tt ，存在一个有限时刻t1Tt,t1t0，对于所有
，
系统的t输t出0,t1 能惟一确定状态向量 的初值，则称系统
不可控。 PBH秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条
件是，对矩阵 A的所有特征值 i(i1,2, ,n)，
ra in A kB n ; i1,2, ,n
均成立，或等价地表示为 ra s I A n B k n , s C
即(sIA)和 B是左互质的。
其中 (t,t0)为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程，
可得输出响应为
若定y ( 义t) C ( t) ( t,t0 ) x 0 C ( t) ( t,) B () u () d D ( t) u ( t)
y (t) y (t) C (t) (t,)B ()u ()d D (t)u (t)
在
内是y (完t ) 全可观测的，简称可观x(测t0 )。如果对于一切
系统t0都,t1是 可观测的，则称系统在
内完全可观测。 t1 t0
t0,
11
二、 线性系统的可控性与可观测性（11）
系统不可观测： 对于线性时变系统，如果取定初始时
刻t0 Tt，存在一个有限时刻t1Tt,t1t0，对于所有
其中，A (t)B ,(t)C ,(t)和 D (t)分别为 (n n )(n , p )(q , n ) 和 (q p )
的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程
《自动控制原理》系统数学描述的两种基本类型
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描述系 统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描 述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状 态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多 变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控 制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。
线性系统的状态空间分析与综合
ɺ x(t ) = f [x(t ), u(t ), t ]
x(t k +1 ) = f [x(t k ), u(t k ), t k ]
6、输出方程 描述系统输出变量与状态变量和输入变量之间函数 关系的代数方程组。 关系的代数方程组。
y (t ) = g[x(t ), u(t ), t ]
y (
9、线性系统 f 系统状态空间表达式中， 均是线性函数。 系统状态空间表达式中， 和 g 均是线性函数。
10、 10、线性系统的状态空间表达式 状态方程为一阶向量线性微分方程或一阶向量线性 差分方程，输出方程是向量代数方程。 差分方程，输出方程是向量代数方程。
ɺ x(t ) = A(t )x(t ) + B(t )u(t ) y (t ) = C (t )x(t ) + D(t )u(t )
9.1 9.2 9.3 9.4
线性系统的状态空间描述 线性系统的可控性与可观测性 李雅普诺夫稳定性分析 线性定常系统的反馈结构及状态 观测器
9.1线性系统的状态空间描述 9.1线性系统的状态空间描述 一、系统数学描述的两种基本类型
系统外部描述：输入-输出描述。 系统外部描述：输入-输出描述。 系统内部描述：状态空间描述，对系统的 系统内部描述：状态空间描述， 一种完全描述，表征系统所有动力学特征。 一种完全描述，表征系统所有动力学特征。
7、状态空间表达式 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式。 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式。
ɺ x(t ) = f [x(t ), u(t ), t ] y (t ) = g[x(t ), u(t ), t ]
x(t k +1 ) = f [x(t k ), u(t k ), t k ] y (t k ) = g[x(t k ), u(t k ), t k ]
线性系统的状态综合
的差异来判断原系统的稳定性。这种方法需要找到合适的参考系统。
03
频域分析法
对于线性时变系统，可以通过傅里叶变换等方法将其转换到频域进行分
析。通过观察系统频率响应的特性来判断系统的稳定性。这种方法适用
于具有周期性变化系数的线性时变系统。
05
线性系统的状态综合方法
状态反馈控制
状态反馈控制器的设计
控制器参数优化
线性系统的状态综合
目
CONTENCT
录
• 引言 • 线性系统的状态空间描述 • 线性系统的能控性和能观性 • 线性系统的稳定性分析 • 线性系统的状态综合方法 • 线性系统状态综合的应用实例
01
引言
线性系统的基本概念
线性系统定义
线性系统是指其输出与输入之间满足线性叠加原理 的系统，即输出的变化量与输入的变化量成正比。
优化设计
基于状态综合结果，对机械系统的 结构、参数和控制策略进行优化设 计，提高系统的动态性能和稳定性。
电力系统状态综合
1 2 3
稳态分析
通过测量电力系统的电压、电流和功率等参数， 分析系统的稳态特性，评估系统的供电质量和稳 定性。
暂态过程分析
利用状态综合技术对电力系统的暂态过程进行建 模和分析，研究系统在故障、切换和操作等情况 下的动态行为。
在实际应用中，通常希望一个系统既具有能控性又 具有能观性，这样可以更好地对系统进行状态综合 和控制设计。
04
线性系统的稳定性分析
稳定性的定义和分类
稳Hale Waihona Puke 性定义系统受到扰动后，能够恢复到原来的 平衡状态或者趋近于另一个新的平衡 状态的能力。
稳定性分类
根据系统受到扰动后的表现，可分为 渐近稳定、临界稳定（或中立稳定） 和不稳定三类。
线性系统的状态空间分析法
第九章线性系统的状态空间分析法一、教学目的和要求通过学习，了解系统状态空间描述常用的基本概念，掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。
二、重点状态空间分析的常用概念，根据系统机理建立状态空间表达式方法。
三、教学内容：以“经典控制的不足”为切入点引进线性系统的状态空间分析与综合。
1、系统数学描述的两种基本方法一种是外部描述。
一种是内部描述。
对比举例2、系统描述中常用的基本概念输入和输出、松弛性、因果性、线性、时不变形3、系统状态空间描述常用的基本概念状态和状态变量、状态向量、状态空间、状态轨迹、状态方程、输出方程、状态空间表达式、自制系统、线性系统、线性系统的状态空间表达式、线性定常系统、线性系统的结构图、状态空间分析法。
将概念讲解、举例、对比来加深理解。
4、举例熟悉对概念理解5、根据系统机理建立状态空间表达式方法步骤：①确定输入输出向量；②根据系统机理（电学、力学等）建立系统方程；③选择状态变量，根据方程建立状态方程；④列写输出方程；⑤将状态方程、输出方程变换为向量—矩阵形式。
举例：RLC网络（单输入-单输出）；机械位移系统（双输入-三输出）第一节 线性系统的状态空间描述一、教学目的和要求掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。
二、重点由传递函数建立状态空间表达式 三、教学内容：1、由系统微分方程建立状态空间表达式方法（单输入-单输出） （1）系统输入量中不含倒数项。
()(1)(2)12100...n n n n n y a y a y a y a y uβ∙----+++++=式中y ,u 分别为系统的输出、输入量；0110,,...,,n a a a β-是由系统特性确定的常数。
由于给定n 个初值1(0),(0),...(0)yn y y - 及t ≧0的u （t ）时，可唯一确定t>0时系统得的行为，可选取n 个状态变量为(1),,...,12n x y x y x y n -===，故上式可化为12231 (011210)x xx xxx nn x a x a x a x un n n y xβ∙∙∙∙∙∙∙===-=----+-=再将上式写成向量-矩阵形式，并画出状态变量图。
10第九章线性系统状态空间分析
选择状态变量如下：
x1 y1 (1) x y 1 x1 2 ( 2) 2 x y x 3 1 xn y1( n 1) x n 1
1 x2 x x 2 x3 x n 1 xn n a0 x1 a1 x2 ... an 1 xn u (t ) x
9.2 线性系统状态空间基础
整理成状态空间表达式，得：
1 x 1 0 x1 0 C ui (t ) 1 R x2 1 / L 2 x L L x1 Y [1 0] x 2 1 0 0 C X ui (t ) 或简写成： X 1 R 1 / L L L Y [1 0] X
9.2 线性系统状态空间基础
（1）式和（2）式已经化成没有零点/极点的形 式，分别进行拉氏变换得：
(1) y1( n ) an1 y1( n1) ... a1 y1(1) a0 y1 u (t ) 1 y1( n1) bn 2 y1( n2) ... b1 y1(1) b0 y1 (2) z (t ) bn
9.2 线性系统状态空间基础
9.2.2 状态空间的实现
【例9-1】如下图所示的RLC电路，输入是 ui (t )，输出 是 u0 (t )。试建立该电路的状态空间表达式。
i (t )
R L
解：根据基尔霍夫电压定律、 电流定律，得
C
ui (t )
u0 (t )
di(t ) L R * i (t ) u0 (t ) ui (t ) dt i (t ) C du0 (t ) dt
《现代控制理论》线性系统的状态空间描述
关键：选取输出量导数为状态变量
【例】
设系统
u
y
y
y
y
6
7
41
6
=
+
+
+
&
&
&
&
&
&
解:
选择状态变量
令：
3.从微分方程出发
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
则:
b. 系统输入量中含有导数
原则：使状态方程不含u的导数。
系统输入量中含有导数
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
由上式求导得：
整理得：
则：
续
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
注 意：这种方法不适用。 可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。
注 意
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
【例】
状态空间表达式为：
【例】 已知状态转移矩阵为
，试求
和A。
拉氏反变换，有
则
【例】试求状态方程的解。
，初始条件为
解：
拉氏变换法例题
线性定常连续系统状态方程的解
则：
三、 状态转移矩阵的性质 [要求熟练掌握]
证明：
有
成立
状态转移矩阵的性质
线性定常连续系统状态方程的解
5.
6.
7.
证明：
续
线性定常连续系统状态方程的解
其中：
（2）可观测标准型状态空间表达式为：
其中：
可观测标准形例题
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
线性系统的状态空间分析与综合
线性系统的状态空间分析与综合第九章线性系统的状态空间分析与综合⼀、教学⽬的与要求：通过本章内容的学习，使学⽣建⽴起状态变量和状态空间的概念，掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法，状态空间表达式的线性变换，状态完全能控或状态完全能观测的定义，及其多种判据⽅法，状态转移矩阵的求法，传递函数矩阵与状态空间表达式的关系。
⼆、授课主要内容：1．线性系统的状态空间描述2．线性系统的可控性与可观测性3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器（详细内容见讲稿）三、重点、难点及对学⽣的要求（掌握、熟悉、了解、⾃学）1.重点掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法与其他数学描述（微分⽅程、传递函数矩阵）之间的关系。
2.掌握采⽤状态空间表述的系统运动分析⽅法，状态转移矩阵的概念和求解。
3.掌握系统基本性质——能控性和能观测性的定义、有关判据及两种性质之间的对偶性。
4.理解状态空间表达式在线性变换下的性质，对于完全能控或能观测系统，构造能控、能观测标准形的线性变换⽅法，对于不完全能控或不完全能观测系统，基于能控性或能观测性的结构分解⽅法。
5.掌握单变量系统的状态反馈极点配置和全维状态观测器设计⽅法，理解分离定理，带状态观测器的状态反馈控制系统的设计。
重点掌握线性系统的状态空间描述和求解，线性系统的可控性与可观测性及状态反馈与状态观测器。
四、主要外语词汇线性系统 linear system状态空间 state space状态⽅程 state equation状态向量 state vector传递函数矩阵 translation function matrix状态转换矩阵 state-transition matrix可观测标准形 observational standard model可控标准形 manipulative standard model李亚普诺夫⽅程Lyaponov equation状态观测器 state observation machine对偶原理 principle of duality五、辅助教学情况（见课件）六、复习思考题1．什么是系统的状态空间模型？状态空间模型中的状态变量、输⼊变量、输出变量各指什么？2．通过机理分析法建⽴系统状态空间模型的主要步骤有哪些？3．何为多变量系统？如何⽤传递矩阵来描述多变量系统的动态特性？在多变量系统中，环节串联、并联、反馈连接时，如何求取总的传递矩阵？4．试简述数学模型各种表达式之间的对应关系。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态空间表达式的建立
+ (b0 − an−1hn−1 − an−2hn−2 −− a1h1 − a0h0 )u
选择 h0 , h1, hn−1 ，使得上式中u的各阶导
的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导
数项，可以选择如下的一组状态变量。
设
bn
0
，选取： x1 = y − h0u
xi = xi−1 − hi−1u， i = 2,3,, n
其中h0, h1, , hn−1是n个待定系数
x• • •
xi = xi−1 − hi−1u • • •
x1
+
1 L
u ( t)
x2 0
y=0
x1
1
x2
令 x=x 1x2T 为状态向量
则： x • =−
R−
L
1 L
x+
1
L u ( t)
1 c
0
0
y=0 1 x
补充：
• 由（A,B,C,D) 画状态变量图 • 由电路→基本方程→状态变量图→(A,B,C,D) • 状态变量选取不唯一 • D0的解释 • 充放电过程的解释 • 状态方程的稳态求解
（1）求其状态空间表达式 （2）画出其状态变量图
解：选 x1 = y
.
x2 = y
..
x3 = y
则： x1 = x2 x2 = x3
x3 = −6x1 − 8x2 − 5x3 + 3u
y = x1
状态空间表达式为
线性系统的状态空间分析法
e(t)
1/L
x1
x1 x2
x2
e0 (t )
1/C
-R/L -1/LC
解法2.
选取 则有
x1 i
x2 idt
x 1
R L
x1
1 LC
x2
1 L
e(t)
x 2 x1
x 1
x
2
1RL
1
LC 0
b0 - an
- an-1
-a2
x1
-
a1
x
2
xn
x1
b0u bn
bn-1
b1
x2
xn
在 一 般 情 况 下b0 0则 得 到
x1
y bn
bn-1
b1
x2
xn
y cx
输出方程
0 1 0 0
A
0
0 1 0
- a n
an1
a1
0
B
0
1
系统矩阵
输入矩阵
C [1 00] 输出矩阵
状态变量图
u
+
Xn
Xn-1
-a1 -a2
-an-1
X2
X1=y
-an
例1.设控制系统的运动方程为 y(2) 3 y 2 y u
试写出该系统的状态空间表达式。方框图如下：
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, 均有 y HQ u Q Hu Q y
a a a
则称系统是定常的。 二 状态空间的基本概念 1.状态:表征系统运动的信息和行为。 2.状态变量：完全表征系统运动状态的最小一组变量。 3.状态向量：
x(t ) [ x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )]
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对
t 0 时刻松弛的系统： y[t ,) Hu[t ,)
0 0
对初始松弛的系统：
y( ,) Hu( ,)
3.因果性:若系统在t时刻的输出仅取决于在t时刻之前输入， 而与t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性。 对具有因果性的松弛系统：
y an1 y
( n)
( n1)
an2 y
( n 2)
a1 y a0 y 0u
y, u－输入/ 输出 ,
a0 , a1 ,an1 , 0已知
y(0), y(0), y ( n1) (0),u(t )(t t0 )给定
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淮阴工学院 电子信息工程系 Nhomakorabeau
例 设
y 5 8y 6 y 3u y
求（A，B，C，D） 解：选
x1 y
x2 y
x3 y
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.
..
则：
x1 x2
x2 x3
x3 6x1 8x2 5x3 3u
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1.定义： 设
x Ax Bu
.
若存在一分段连续控制向量u(t)，能在
内将系统从任意状态
[t0 t f ]
x(t0 )
,转移到任意终态
x(t f )
，则该系统完全可控．
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说明：任意初态 x(t0 )
零终态
x (状态空间中任一点),
x(tk 1 ) f ( x, u, tk ) y(tk ) g ( x, u, tk )
f,g-线性函数 线性系统
线性时变系统
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t )
x(t f ) ＝０
能控
零初态
x(t0 ) 0
任意终态 x (t f
)x
能达
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2. 定理1
设
x Ax Bu
状态完全可控的充要条件是能控性矩阵： Sc B AB An 1 B 的秩为n B AB An 1B n 即： rankSc rank
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为系统两状态变量，则原方程可化成
di x 1 dt
R t ) x 1x 1u ( 2 1 L L L
x 1x 2 c 1
( y x ut c ) 2
写成矩阵—向量的形式为：
x 1
R L
1 L
x 1
1 L u ( t )
x 2
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控制理论必须回答的三个问题： （1）系统能否被控制？可控性有多大？ （2）如何克服系统结构的不确定性及干扰带来 的影响？ （3）如何实现满足要求的控制策略？ 现代控制理论的主要研究方向: （1）线性系统理论 研究线性系统在输入作用下状态运动过程规律，揭示系统 的结构性质、动态行为之间的关系。 主要内容： 状态空间描述、能控性、能观性和稳定性、状态反馈、状 态观测器设计等。
y(t ) Hu(,t ] , t
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4.线性:一个松弛系统,当且仅当对任何输入
u1和u2 及任意常数 , 均有 H (u1 u2 ) Hu1 Hu2 (可加性), H (u1 ) H (u1 ) (齐次性),则该系统称为
由输入u(t )[t0 , ]
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t 0 是松弛的。
u1 u2 up
y1
System
u u1 , u 2 u p
y y1 , y 2 y q
y2 yq
T
T
y Hu H 算子，H : u y G
在
t 0 不存储能量：
瞬时系统 无记忆系统
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9.1线性系统的状态空间描述
一
线性系统的数学描述 系统描述中常用的基本概念
传递函数 系统的内部描述 状态空间描述
系统的外部描述
状态方程 输出方程
1.输入、输出描述
2.松弛性:若系统的输出 唯一确定,则称系统在
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y(t )(t t0 )
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0 0 b 0 0
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C 1 0 0
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0
a
1
a
2na
1 n
a
y
1
x
1 S
2
x 1 nx
1 S
n
x
1 S
n
x
0
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状态变量结构图
线性定常系统 线性定常离散系统
x Ax Bu, y Cx Du
x(k 1) Gx(k ) Hu(k )
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(tk kT , T 采样周期）y(k ) Cx(k ) Du(k )
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结构图 8.状态变量结构图线性连续系统状态变量
T
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4.状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组 成的n维空间.
5.状态方程：
一阶微分方程 x u 一阶差分方程
x y 代数方程 u
x(t ) f [ x(t ), u(t ), t ], x(tk 1 ) f [ x(tk ),u(tk ),tk ]
第九章 线性系统的状态空间分析与综合
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本章主要内容:
1.线性系统的状态空间描述; 2.线性系统的可控性与可观测性; 3.线性系统的稳定性分析.
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现代控制理论的发展概况: 现代控制理论是随着计算机技术、航空航天技术的迅 速发展而发展起来的。 a.特点 研究对象：多输入、多输出系统，线性、定常或时变、 离散系统。 解决方法：状态空间法（时域方法）。 数学工具：线性代数、微分方程。 b.主要标志 1958年，R. E.Kalman采用状态空间法分析系统，提出 能控性、能观性、Kalman 滤波概念 1961年，庞特里亚金证明了最优控制中的极大值原理。 1965年，R.Bellman提出了寻求最优控制的动态规划 方法。
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b. 自校正自适应控制 （Self-Turning Adaptive Control) （4）系统辨识 建立系统动态模型的方法：根据系统的输入输出的试 验数据，从一类给定的模型中确定一个被研究系统本质特 征等价的模型，并确定其模型的结构和参数。
（5）最佳滤波理论（最佳估计器） 当系统中存在随机干扰和环境噪声时，其综合必须应 用概率和统计方法进行。即：已知系统数学模型，通过输 入输出数据的测量，利用统计方法对系统状态估计。 Kalman 滤波器.
y x1
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状态空间表达式为
1 0 x1 0 x1 0 x 0 x 0u 2 0 1 2 x3 6 8 5 x3 3
线性的，否则为非线性。
5.定常性（时不变性）:
1)定义:
Qa-位移算子
u (t ) Qau(t ) u(t )
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u(t )
y(t )
t
u (t )
y (t )
t
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t
t
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2)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意 实数
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1 0 x1 0 0 x 0 1 2 x A 0 0 xn 1 0 a0 a1 a2 xn
0 0 1 an 1
y x1
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状态空间表达式为：
x1 x 2
0 1 k b m m
x1 0 x 1 u 2 m
x1 y 1 0 x2
例 求图示RLC回路的状态空间表达式
选取：
x1 y, x2 y,, xn y x1 x2
x2 x3 xn1 xn
( n1)
xn a0 x1 a1 x1 an 1 xn 0u y x1
状态空间表达式：
x Ax bu y Cu
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y(t)
位移
b
m b kyu(t ) y y
令
x1 y x2 y