第2讲-宇宙与天体

为使物体脱离天体的控制，其机械能必须满足 v≥0， (机械能为零时，物体达无限远)。 1 2 GMm 当脱离速度超过光速， V
2GM C R
2
mv
r
0
2GM R 3 M km 一切物体包括光均不能脱离该天体的束缚，于是得 R M s 到史瓦西半径: 2 C
叶邦角
一、 宇观物理若干问题
1. 哈勃定理
哈勃定律：美国天文学家哈勃注意到越暗弱的星系红移 越大，根据大量观测数据得出：v=Hr 其中v为退行速度，H为哈勃常数，其现时值为:
H 50千米 / 秒 百万秒差距
1. 哈勃常数H与时间有关：若与时间无关则退行速度将会 一直增大，而由于万有引力的作用退行速度应当减小 才对，推出矛盾. 考虑的时间范围很短时，H可视为定 值。 2. 宇宙年龄: 如果近似认为退行速度不随时间而改变， 那么表示星系从r＝0运动到现时位置的时间，所以宇宙 的年龄为： 1 r 10
v GM 2 R R
R, 球内 v 1 , 球外 R
2
——表明有不可 见质量存在
5. 光线弯曲与引力透镜
Gravitational Lensing in Abell 2218 Cluster
• 哈勃太空望远镜近期拍到一张照片，一颗遥远的 类星体被引力透镜分成了五个虚像。此外，这张 照片还展示了被引力透镜放大的珍贵星系，甚至 还包含了一颗超新星。
将引力公式代入
Mm G 3 r a r
除了将太阳质量 M 换成 M+m 以外，所有结果保持 不变。
A3 G ( M m) GM 2 2 T 4 4 2
( M m)m G r ma 3 r
即使是行星中质量 最大的木星
m 1 M
M m 1047 .35
由开普勒轨道定律，为了简便，可把行星轨道看 作圆形。这样，根据面积定律，行星应作匀速圆 周运动，只有向心加速度 a = v2/r , 其中 v 是行星 的速率；r 是圆轨道的半径。根据开普勒第三定 律： T∝ r3/2，而 v =2πr/T，故
v
r r
3/ 2
1 r
v 1 a= 2 r r
当光线逆着引力场方 向传播时，要发生光 谱线红移
二、 天体运行的基本规律 1.开普勒三大定律
•1.轨道定律：所有行星都沿着
椭圆轨道运行，太阳则位于这 些椭圆的一个焦点上。
•2. 面积定律：任何行星到太
阳的连线在相同的时间内扫过 相同的面积。 •3.周期定律: 任何行星绕太阳 运动的周期的平方与该行星的 椭圆轨道的半长轴的立方成正 比，即：T∝ a3/2
2
m F ma 2 r
Mm F G 2 r
重力加速度g的变化
重力加速度随高度的变化: 若物体静止在 距离地面高为h的高空
Mm mg ' G 2 ( R h)
M R2 g' G g 2 2 ( R h) ( R h)
重力加速度与纬度的关系:
' 2 G f f c f m R
2 3
T
Te
2
R / 8GM n
3
【例】一个质量为m, 带电量为q的点电荷开始固定 在一个无限大接地导体平面前方d处，无初速释放 ， 求点电荷到达导体板的时间？
【解】用电像法求出像电荷位置和大小， 点电荷受力为：
q F k 2 4x
2
2
Mm F G 2 x
M kq / 4Gm和m之间的万有引力
开普勒定律的修正
开普勒定律的使用条件：M>>m，两体运动。 对不满足M>>m的两体运动： 第一定律：两者绕质心做椭圆轨道运动； 第二定律：不变（角动量守恒仍成立） 第三定律：需修正！
【例】 对于太阳和某个行星构成的两体引力系统， 若考虑到行星质量不可忽略，开普勒三定律将作哪些 修正？
引入约化质量和行星相对太阳的加速度 Mm F a , 其中 M m
光线偏折角度
2GM sin 2 2 R c R

rg
当R rg时， sin

2
1,
【2009决赛试题】
根据广义相对论，光线在星体的引力场中会发生弯曲， 在包含引力中心的平面内是一条在引力中心附近微弯的曲 线，它距离引力中心最近的点称为光线的近日点。通过近 星点与引力中心的直线是光线的对称轴；若在光线所在的 平面内选择引力中心为平面极坐标（r, j)的原点，选取光 线的对称轴为坐标极轴,则光线方程为：
Sun
3、银河系的形状
20世纪初，我们现在所说的螺旋星系被称为“螺旋 星云”，大多数天文学家认为，这些气体云是与我们 所处的银河系星关联。1924年哈勃测量了仙女座星系 的距离，“大星云”右（M31），发现它的距离要比 银河系的直径大。这意味着的M 31，不属于银河系， 它甚至比银河系大。
Edwin P. Hubble (1889-1953)
【解】如图所示，O为白矮星，光线 左右对称， 左边a<0, 右边a>0,近星 点坐标为rm,j，有：
a GM / c rm
2
若白矮星到地球的距离为d，则近似 地有：
s 2rm / d
2
地球观察者的坐标为，,r=d, j /2
a GM / 2c d
2
rm 2GMd / c
T 4 3 a G ( M m)
2 2
md t T / 2 2 kq 2 4Gm 2
3
• 对电子 ，
2
e 1.6 10
29
19
C , m 9.110 kg
2 73
31
kq 10
, Gm 10
3
md t T / 2 2 2 kq
2. 从开普勒定律导出万有引力公式
G P m 2 R地 cos 2
2 R地
g
0.003
重力为地球引力和惯性离心力的 合力。重力随纬度改变而改变。
–太空பைடு நூலகம்宇航员失重
–重力场中的自由落体-飞机在空中自由下落
地球内部的重力加速度
• 均匀带电球体内外的电场分布
r 3q qr E内 3 2 4 0 R r 4 0 R 3 1 q E外 4 0 r 2 1
既然星系乊间存在万有引力，为什么银河系不会 在引力作用下塌缩？ 【例】质量为M的一个质点在一条绳子上，并被限 制在一个水平面上运动，当绳子长度由r0缩短到r 时， 需做多少功？
Mr0 v0 Mvr v0 r0 v r
1 2 r0 2 A Ek Ek 0 mv0 ( ) 1 2 r
m 9.55 10 4 M
【例】质量为m的质点分别静止于正n边形的每一个 顶点上， （1）如图为n=6的情况。如果只考虑各个质点之间 的万有引力作用，整个系统将如何运动？ （2）n=2,3,10时要经过多长时间才会相撞？
【解】根据对称性和初始条件，所有质点均以相同 的非均匀加速度向中心运动。整个过程系统 的形状保持不变。 其中一个质点所受的力为：
2
s 8GM / c d
2
M
cd
2 2 s
8G
2.07 10 kg
30
日全食时观测恒星视位置与恒星实际位置 比较，可测得光线偏折角。
预言值： 1.75
实测值： 1919年 1975年
1.70 0.10
1.761 0.016
1998年3月英国用“默林”射电望远镜和哈勃太 空望远镜观测到完整的引力透镜成象“爱因斯 坦环”
• 半径为R的圆形轨道周期为Tc，则：
Mm 2 2 R3 G 2 mR( ) Tc 2 R Tc GM
从初始位置R坍缩成到中心所需 时间，可以看成是半长轴为R/2 的椭圆（半短轴为零）轨道周 期Te的一半.
Te R / 2 Tc R
c rm 2 1010 光年 H
4. 宇宙的中心或处处皆为中心：哈勃定律表明星 系的退行速度与距我们的距离成正比，这似乎 表明我们所在的银河系是宇宙的中心。但这种 说法其实是错误的。 由运动的相对性，我们不难发现，无论在 什么星系上观察，其他星系都在以它为中心后 退。
假设宇宙在星系O0上，根据哈勃定 律，星系P（位矢为r0）的速度为 v0=Hr0, 若在星系O上观察，设O0O＝d， 则星系O0相对于星系O的退行速 度为：v=Hd 星系P相对于O的速度为: v=v0-u=Hr-Hd=Hr O亦为宇宙中心。
引力透镜的原 理示意图。遥 远类星体发出 的光线，在从 星系团引力场 中经过时，会 发生偏折，沿 着不同的路线 抵达我们这里 ，因此哈勃望 远镜可以看到 同一个类星体 的五个不同的 影像
光线弯曲
爱因斯坦预言 (1907): 光在引力场中弯曲
光线弯曲
当光束通过引力场时，根据等 效原理，它的轨道应当弯曲。 1919年日全蚀期间，国际考察 团对此进行了考察，考察人员 在日蚀时刻拍摄了星空的照片 ，然后将这些照片与没有太阳 时这同一部分星空的照片相比 较，发现星的位置移动了。这 就证实了爱因斯坦关于光束从 太阳近旁通过时要发生偏移的 预言(角度偏移约1.75″)。

H

v
2 10 ( years)
哈勃定律 星系退行速度随距离线性增加
Farther Galaxies move away from us faster
Closer Galaxies move away from us
3.宇宙的空间尺度估计：如果认为最远处的星 系以光速退行，则最远处星系的距离为：退 行那么该星系你我们的距离为：
宇宙并无中心或者说处处皆是中心。
2. 黑洞
历史上，法国物理学家拉普拉斯曾预言：“一个质 量如250个太阳，而直径为地球的发光恒星，由于 其引力的作用，将不允许任何光线离开它。
黑洞的估算
取无限远处引力势能为零。质量m，速度 v的物体与 质量M的均匀天体相距r 时具有的引力势能 ， GMm Ep r
m2 F (r ) G 2 r 1 4sin( k n) k 1
n 1
合力指向中心， 可以看成是圆 心存在一个质点， 其质量为：
m Mn 4 1 sin( k n) k 1
n 1
要使用修正的开普勒第三 定律吗？ 不需要，因为本题的虚拟 质量是不动的，质心！
M 2 0.25, M 3 0.58, M 4 0.96,, M10 3.86
6. 引力红移
每个星系都穿着骗人的外衣
设有一个永久的引力场，场强为g ，方向垂直向下，光源A和接收器 B的连线沿着重力场方向，相距为 l, A发射频率为uA的光， 由接受器 B接收。
v gl uB u A (1 ) u A (1 2 ) c c
当光源为B和接收器为A，则
gl u A uB (1 2 ) uB c
• 若地球密度均匀分布
“可见，角动量守恒对径向运动相当于一个排斥力， 使其不至于收缩！”-------康德《天体演化论》
4. 暗物质
宇宙成分分配
和谐宇宙模型的重要特点 是“三个代表”重要思想。
重子：4％ 暗物质：22％ 暗能量：74％
寡头：4％ 中产阶级：22％ 无产阶级：74％
暗物质存在证据
开普勒运动规律预言大半径处旋转速度会下降， 而实际测量到星系的旋转曲线都比较平缓
GM / c 2 r a cos j a 2 (1 sin 2 j )
G为引力常数，M是新体质量，c是光速，a是常数 （a<1)。假设离地球80.0ly处有一星体，它在与地球连 线的中点有一白矮星，如果经过白矮星两则的光线对地 球上观察者所张的视角为1.80×10-7rad. 求白矮星的质 量。【G=6.673 × 10-11m3/(kg ·s2)】
光子的能量与频率关系： E = hu ( 其中 h = 6.7×10-34J· ) s 能量与质量的关系： E = mc2， 则光子具有动质量： m = hu/c2。
由于任何质量都受引力的作用，则当频率为u0光 子位于质量 Ms，半径为 Rs 的一个大星球表面附近 时，它的引力势能： Ep= - Ghu0 Ms /Rs c2 当光子从星球的低势能向地球的高势能运动时， 能量 E 要减小，相应的频率也降低。