变力做功问题的讨论
变力做功问题归类例析
变力做功问题归类例析山东省高密市第一中学 孙洲元功是高中物理学中重要的概念，它体现了力对物体的作用在空间上的积累过程，是学生形成能量观念的重要基础概念。
因为求功的公式cos W Fl θ=在计算功时要求力F 是恒量，在做功的过程中，F 的大小、方向都不能有变化，如果力F 是变力，则不能直接用公式cos W Fl θ=求功。
在实际解题时经常遇到求解变力做功的问题，下面介绍几种求变力做的常用方法。
一、利用平均力求变力的功当遇到力的方向不发生改变，而力的大小随位移发生线性变化类的问题时，可以先计算出力的平均值，之后再把平均值当作整个过程的恒力，再运用cos W Fl θ=求解．例题1：如图所示，光滑的水平面上，轻质弹簧一端与竖直墙连接，另一端固定一个质量为m 的小物体，弹簧劲度系数为k ，系统处于静止状态。
现在用水平力F 缓慢拉动物体，使物体沿水平向右运动了位移s 。
已知弹簧在弹性限度内，求此过程中水平拉力F 对物体所做的功。
分析与解：缓缓拉动物体前进，可认为物体处于动态平衡状态，则拉力F 的大小等于弹簧弹力kx(x 为弹簧伸长量、大小等于物体的运动位移s)，即F=kx ，显然弹力为变力。
同时注意到F 与x 成正比，开始压缩时弹力为零，位移为s 时弹力为ks 。
弹力的平均值为02ksF +=，因为拉力做的功与弹力做的功相等，所以拉力F 的功为20122ks W s ks +=⋅=。
答案：212W ks =例题2：如图所示，长为L 的铁链放在水平桌面上，桌面的高度也为L ，当铁链有L/4处在桌面外面时，铁链恰好可以由静止开始下滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计链条与桌子边角上的摩擦，求铁链A 端落地时的速度为多大？分析与解：设当链条B 端刚到达地面时链条的速度为v ，此过程中有重力做功和摩擦力做功，重力做功是指落到桌面外的链条的重力做的功，这个重力是变化的，开始时大小为4mg，当链条落地时重力的大小为mg ，平均力为58mg 。
常见的变力做功情况及求解方法
第２５卷中小学实验与装备２０１５年第６期５５㊀实验试题解析常见的变力做功情况及求解方法山东省淄博市周村区实验中学(２５５３００)㊀郭㊀磊㊀㊀在高中物理教材中,应用恒力对物体做功的物理模型推导出功的计算式为:W ＝F S c o s α.如果力的大小是变化的,那么公式中的F 就无法取值;如果力的方向是变化的,公式中的角α就无法取值,因而此公式只适用于恒力做功问题.而对于变力做功情况在高中物理中又经常出现,学生在解决这一方面问题时往往无从下手.那么如何使这一复杂问题简单化,变成应用高中物理知识就可以解决的问题呢?下面通过实例分析介绍总结几种解决变力做功的常用方法.１㊀微元法思想当物体在变力作用下做曲线运动时,可用微元法将曲线分成无限个微小段,每一小段可认为恒力做功,总功即为各个小段做功的代数和.如图１所示,有一台小型石磨,某人用大小恒为F ,方向始终与磨杆垂直的力推磨.假设施力点到固定转轴的距离为L ,在使磨转动一周的过程中,推力做了多少功?解析:由于力F 方向不断变化,因此是一个变力做功问题,如果将运动轨迹分成无限个微小段ΔS １,ΔS ２,ΔS ３ ,每一小段曲线近似看为直线,力F 的方向也近似与这一小段的轨迹重合,则每一小段均可看作恒力做功过程.图１㊀推石磨做功应用恒力做功的计算式可求出各小段推力做的功:W １＝F ΔS １,W ２＝F ΔS ２,W ３＝F ΔS ３ 则转动一周过程中推力做的功为:W ＝W １＋W ２＋W ３＋ ＝F (ΔS １＋ΔS ２＋ΔS ３＋ )＝２F πL .２㊀力的平均值法当力的大小随位移成线性关系时,可先求出力对位移的平均值 F ＝F １＋F ２２,再由W ＝ F L c o s α计算变力做的功.如弹簧的弹力做功问题.如图２所示,劲度系数为k 的轻质弹簧一端固定在墙上,另一端连接一质量为m 的滑块,静止在光滑水平面上O 点处,现将滑块从位置O 拉到最大位移x 处由静止释放,滑块向左运动了S (S ＜x ),求释放滑块后弹簧弹力所做的功.图２㊀弹簧拉滑块做功解析:弹簧对滑块的弹力与弹簧的形变量成线性关系,可先求出弹力的平均值为:F＝k x ＋k (x －S )２然后用力的平均值乘以位移即得到此过程中弹簧变力做的功:W ＝ F S ＝k x S －１２k S２３㊀动能定理法动能定理求变力做功是非常方便的,但是必须知道初㊁末两个状态的物体的速度,以及在中间过程中分别有哪些力对物体做功,各做了多少功.如图３所示,把一个质量为m 的小球系在轻绳的一端,轻绳的另一端穿过光滑木板的小孔,且受到竖直向下的拉力作用.当拉力大小为F １时,小球在光滑木板平面上做半径为R １的匀速圆周运动;今将拉力逐渐增大为F ２时,小球仍在光滑木板平面上做匀速圆周运动,但运动半径变为R ２.求５６㊀中小学实验与装备２０１５年第６期第２５卷在此过程中拉力对小球做了多少功?图３㊀轻绳做功解析:根据题意,此题中F 是一个变力,不能直接用公式W ＝F S c o s α来求解力F 所做的功.但根据F ＝m v ２R,可以分别求出初㊁末两个状态小球具有的动能.F １＝m v ２１R １⇒１２F １R １＝１２m v ２１F ２＝m v ２２R ２⇒１２F ２R ２＝１２m v ２２根据动能定理:W 合＝ΔE k .(此题中拉力做功为合力功).W 拉＝１２m v ２２－１２m v ２１＝１２F ２R ２－１２F １R １.４㊀应用公式W ＝P t 求解当机车以恒定功率工作时,在时间t 内,牵引力做的功W ＝P t .质量为m 的机车,以恒定功率从静止开始启动,所受阻力是车重的k 倍,机车经过时间t 速度达到最大值v m ,求机车在这段时间内牵引力所做的功.解析:机车以恒定功率启动,从静止开始到最大速度的过程中,所受阻力不变,但牵引力是变力,因此,机车的牵引力做功不能直接用公式W ＝F S c o s α来求解,但可用公式W ＝P t 来计算.根据题意,机车所受阻力f ＝k m g ,且当机车速度达到最大值时,F 牵＝f .所以机车的功率为:P ＝F 牵v m a x ＝f v m a x ＝k m g v m a x .根据W ＝P t ,机车在这段时间内牵引力所做的功为:W 牵＝P t ＝k m g v m t .５㊀F －S 图像法在F －S 图像中,图线与坐标轴围成的面积在数值上表示力F 在相应的位移上对物体做的功.这一点对变力做功问题也同样适用.㊀㊀如图４所示,一个劲度系数为k 的轻弹簧,一端固定在墙壁上,在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长,求在弹簧由原长开始到伸长量为x １过程中拉力所做的功.如果继续拉弹簧,在弹簧的伸长量由x １增大到x ２的过程中,拉力又做了多少功?图４㊀弹簧做功解析:在拉弹簧的过程中,拉力大小始终等于弹簧弹力的大小,根据胡克定律可知,拉力F ＝k x.图５㊀图像作出F －x 关系图像,如图５所示,由图可知әA O x １的面积在数值上等于把弹簧拉伸了x １过程中拉力所做的功.即:W １＝１２k x １x １＝１２k x ２１.梯形A x １x ２B 的面积在数值上等于弹簧伸长量由x １增大到x ２过程中拉力所做的功.即:W ２＝１２(k x １＋k x ２)(x ２－x １)＝１２k (x ２２－x ２１).６㊀结语物理思维方法是物理知识的精髓,是知识转化为能力的桥梁.以上所举的４个例题,都是求变力做功比较常见的题型.在什么情况下用什么方法来处理,都需要探究和总结.在教学中,我们应注重物理思维和物理方法的教育,使学生学会学习㊁学会应用,学会创新,这样才能 活化 和 深化 物理知识,才能开拓思维空间,进一步提高思维能力和解题能力.收稿日期:２０１５－１０－１４。
初中物理竞赛变力做功问题
• 5.（慈溪中学2006年保送生招生考试科学） 如图所示，质量m=2.0kg的小铁块静止于水 平导轨AB的A端，导轨及支架ABCD总质量 M=4.0kg，形状及尺寸已在图中注明，该支 架只可以绕着过D点的转动轴在图示竖直平 面内转动。为简便起见，可将导轨及支架 ABCD所受的重力看作集中作用于图中的O 点。现用一沿导轨的拉力F通过细线拉铁块 ，假定铁块起动后立即以0.1m/s的速度匀速 运动，此时拉力F=10N。
• 则转一周中各个小元段做功的代数和为 • W=F×2πR=10×2πJ=20πJ=62.8J • 故B正确.
• 应用此法,要注意理解力的特点,即力的大小不变且力的方 向始终与运动方向相同或相反.
• 注意掌握结论:功等于力与路程的乘积.
• 练习:在水平面上,有一弯曲的槽道AB,槽道由半径 分别为R/2和R的两个半圆构成,如图所示.现用大 小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B 点,若拉力F的方向始终与小球运动方向一致,则此
变力做功问题的 处理方法
麻城博达学校八年级学部 谌受柏
1
•
恒力(做功过程中力的大小、 方向都不变)
问题,初中阶段直接应用公式W = Fs来求解,高
中阶段应用公式 W = Fscosα来求解。 变力(力的
大小、 方向在做功过程中发生了变化) 做功问
题,就很难套用公式了,而且初中教材对该类问
题没有任何提及。 然而,在初中物理竞赛试题中,
sin30= 0.5 can30=0.866) （2）当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角θ从
30°变为60°的过程中，推力F做的功W为 多少？
• 例2 (2012·华师一附) 学校教室朝正南窗 的
变力做功问题的求解方法
变力做功问题的求解方法1. 变力的概念嘿，大家好，今天咱们聊聊“变力做功”这个话题，听起来是不是有点高大上？其实它跟我们日常生活的联系可大了去了。
先来简单定义一下，变力就是力的大小或方向随时间而变化的力。
比如说，当你用力推一辆车子，刚开始可能得使出吃奶的劲，但当车子动起来了，你的力量就可以稍微放松点。
想象一下，如果你在推车的过程中，车子因为摩擦或者地势的变化而受到不同的力影响，这时候的力就是变力啦。
1.1 变力的例子再来，咱们举几个生活中的例子吧。
比如说，弹簧。
你把一根弹簧拉长，弹簧的拉力是不断变化的，越拉越长，力越大。
还有啊，骑自行车的时候，坡度越陡，你得使出的劲儿就越大，这也是变力的一个表现。
看到这里，是不是觉得变力其实离我们并不远呢？1.2 变力的特性那么，变力的特性是什么呢？其实，变力通常是个曲线的变化，而不是简单的直线。
所以，处理起来就需要我们更聪明一些，不能用简单的公式了事。
咱们需要对这些变化进行分析，找出一个最优的方法来计算做功。
说白了，变力的路子可不是那么好走的，但只要用心，总能找到办法！2. 变力做功的计算方法好了，咱们进入重点——变力做功的计算方法。
首先，要搞清楚的是，做功这个概念，简单来说，就是力作用在物体上，并使其移动的过程。
要计算变力做功，我们得用到积分的概念。
听起来有点复杂，但其实就是把力在不同位置的大小结合起来，最终得到一个总的“功”。
2.1 积分的运用这里咱们可以这样想象：把一条路分成很多小段，每一段上的力都是不同的，计算每一小段的功，最后加起来就好了。
就像你去超市买东西，最后结账的时候，把每一件的价格加起来就行了。
哎，这样说是不是更简单明了？2.2 常用公式当然，在这个过程中，还有一些常用的公式和技巧。
比如，假设力是一个关于位置的函数，可以写成 (F(x))。
那么，功的计算公式就变成了： (W = int F(x)dx)。
你看，这个公式也不复杂吧？只要你明白变力的变化规律，代入进去就行了！3. 实际应用与案例最后，咱们来聊聊这个知识的实际应用。
专题变力做功问题
图象法
适用各种变力做功
假如我们已知F-S图象或根据题意能够作出F-S
图象（用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表
示物体在力的方向上的位移S ），我们就可以利用
“面积法”来求此变力做的功，因此F-S图象也叫示
功图
例４、静置于光滑水平面上坐标原点处的小物
块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动
（如图2甲所示），拉力F随物块所在位置坐
F 2R
平均力法
适用力的方向不变
如果力的方向不变，力的大小随位移按线性规律 变化时，即力满足Ｆ＝ｋｓ＋ｂ的形式时，我们可用 平均力替代这个变力而恒力做功的公式计算。
例３、一辆汽车质量为 1105 kg，从静止开始
运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大 小与车前进的距离是线性关系且， 其中 是车所受阻力，当该车前进100m时， 求牵引力对汽车做了多少功？
由于力的大小不变而方向时刻改变，我们可以将
圆弧无限分割成n小段分别为 S1、S２、Sn，
在每一小段位移中力F可以看作恒力，而弧长也可以 看作直线长，因此，力F在整个过程中做的功等于力F 在各小段位移过程中做功的代数和，故有：
W F S1 F S2 F Sn F (S1 S2 Sn )
标x的变化关系（如图乙所示），图线为半
圆．则小物块运动到x0的过程中拉力F做的功
为（
）
例题分析
F
O
x0
x
F
图2－甲
Fm
O
A0
C 4 Fm x0
图2乙
x0
x
B
1 2
Fm
x0
D
4
x0 2
答案：C
例５、长度为 l ，质量为m的均匀绳，一段置于水
变力做功的几种求解方法
变力做功的几种求解方法作者：王世臣来源：《读写算》2011年第08期【摘要】《机械能》一章的教学中，经常涉及变力做功的问题，当F是变力时，该怎样求功呢？本文就如何求变力做功谈一点体会。
【关键词】变力做功恒力做功动能定理在《机械能》一章的教学中，经常涉及变力做功的问题，而有些同学老是想着用公式W=Fscosα来求解，在求功公式W=Fscosα中，F是恒力，即在做功过程中，F的大小、方向都不变。
当F是变力时，该怎样求功呢？下面本人就如何求变力做功谈一点体会。
1. 转化为恒力做功在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，于是可以用W=Fscosα求解。
例1. 如图1所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。
开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。
已知图1中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT对物体所做的功。
图1【解析】拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。
由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。
由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移为：所以绳对物体做功：2.用动能定理或功能关系求解求解变力做功的方法很多，而用动能定理求是最常用的方法之一。
例2.如图所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为5 cm的粗糙半球内表面由静止开始下滑，到达最低点C时的速度为8m/s，求物体从A到C的过程中，摩擦力所做的功是多少？（g 取10m/s2）【解析】物体由A滑到C的过程中，根据牛顿第二定律：N-mgcosθ=m所以N= mgcosθ+ m由此可看出弹力N是个变力，而由于摩擦力=μN=μ（mgcosθ+m），摩擦力也是个变力，而此力所做的功显然不能用公式W=Fscosα来做，但我们用动能定理却很方便的将之求出。
变力做功的探讨
变力做功的探讨1：如图1，某人用大小不变的力F 转动半径为R 的圆盘，但力的方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做的功。
解：在转动的过程中，力F 的方向上课变化，但每一瞬时力F 总是与该时刻的速度同向，那么F 在每一瞬时就与转盘转过的极小位移s ∆同向，因此无数的瞬时的极小位移n s s s s ∆⋯⋯∆∆∆，321,,，都与F 同向。
在转动的过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做的功的代数和，有：FRs s s s F s F s F s F s F W n n π2)(321321=∆+⋯⋯+∆+∆+∆=∆+⋯⋯+∆+∆+∆=2：如图3，定滑轮至滑块的高度为H ，已知细绳的拉力为F 牛（恒定），滑块沿水平面由A 点前进s 米至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为γ和β。
求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
3、用细绳通过定滑轮把质量为m 的物体匀速提起。
人从细绳成竖直方向开始，沿水平面前进s ，使细绳偏转θ角，如图所示。
4、质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。
假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大？5质量为m 的汽车在平直公路上以初速度v 0开始匀加速行驶，经时间t 前进距离s 后，速度达最大值v m ，设在这段过程中发动机的功率恒为P ，汽车所受阻力恒为f ，则在这段时间内发动机所做的功为：A 、PtB 、fv M tC 、fs+mv m 2/2D 、mv m 2/2-mv 02/2+fs （答案：ABD ）6：一辆汽车质量为800千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。
其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为：F=100x+f 0，f 0是车所受的阻力。
当车前进20米时，牵引力做的功是多少？（g=10m/s 2 ）五、用图象法求解变力做功7长度为l ，质量为m 的均匀绳，一段置于水平的光滑桌面上，另一段垂于桌面下，长为a ，求从绳开始下滑到绳全部离开桌面，重力所做的功。
上海高中物理——变力做功问题的解法
/jy-s315/ 高中物理上海高中物理——变力做功问题的解法高中物理教材利用恒力对物体做功的物理模型推导出功的计算式。
如果力的大小是变化的，那么公式中的F就无法取值；如果力的方向是变化的，公式中角就无法取值。
因此其公式仅适用于恒力做功过程，而对于变力做功问题又经常出现，那我们该如何求解呢？本文现就计算变力所做功的方法及到底采用哪种方法进行求解作如下阐述。
一、将变力处理成恒力将变力处理成恒力的方法，一般只在力的大小一直不变，而力的方向遵循某种规律的时候才用。
例1如图1所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。
假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？解析：由于力F方向不断变化，因此是一个变力做功问题，如果将推力作点的轨迹分成无限多小段，每一段曲线近似为直线，力F的方向也近似与这一小段的轨迹重合，则每小段均可看作恒力做功过程。
运用恒力作功的计算式求出各小段推力做的功：．则转动一周过程中推力做的功：。
二、力的平均值法通过求力的平均值，然后求变力的平均力做功的方法，一般是用于力的大小与位移成一维线性关系的直线运动中。
例2如图2所示，劲度系数为的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为的滑块，静止在光滑水平面上O点处，现将滑块从位置O拉到最大位移处由静止释放，滑块向左运动了s米（）．求释放滑块后弹簧弹力所做的功。
/jy-s315/ 高中物理解析：弹簧对滑块的弹力与弹簧的形变量成正比，求出弹力的平均值为：用力的平均值乘以位移即得到变力的功：。
三、动能定理法动能定理求变力的功是非常方便的，但是必须知道始末两个状态的物体的速度，以及在中间过程中分别有那些力对物体做功，各做了多少功。
例3如图3所示，质量为的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的倍，它与转轴相距R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块开始在转台上滑动，在物块由静止到开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为多少？解析：由题意知物块即将滑动时受到的摩擦力为，设此时物块运动的速度为，则有，于是有。
五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ）A ．0B ．021x F m C ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．图2Fx 0FxF•Ox 0图2－甲图2乙三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是： A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KB D ．E KC <2E KB【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
(完整版)五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
变力做功的八种解题方法
变力做功的八种解题方法变力做功是物理学中的一个重要概念，它涉及到动力学、机械能等多个方面。
在解题的过程中，我们需要掌握一些基本方法和技巧，才能较好地理解和运用这个概念。
本文将分享八种解决变力做功题目的方法，希望能对读者有所帮助。
1. 确定物体受力情况在解决变力做功的题目时，首先需要明确物体所受的所有力，包括内力和外力。
内力指物体内部各部分之间的相互作用力，外力则来自外部物体对其施加的力。
只有明确物体所受的力，才能准确地计算力的大小和方向，从而得到正确的结果。
2. 确定物体所受的力的性质与确定物体所受的力相对应的是，需要明确物体所受的力的性质，包括弹性、摩擦、重力等。
其中，弹性力可以通过胡克定律进行计算；摩擦力可以通过静摩擦和动摩擦进行分析；重力则是必须考虑的一个因素。
明确物体所受的力的性质有助于我们理解变力做功的本质。
3. 计算变力对物体的功对于变力做功的问题，我们需要计算变力对物体所做的功。
这个计算过程需要确定力的大小和运动路径，通常会用到积分法进行计算。
计算这一步骤是变力做功问题的核心，也是最复杂的部分。
4. 利用能量守恒原理在某些情况下，使用能量守恒原理可以更简洁地解决变力做功的问题。
能量守恒原理的基本思想是系统能量的总和在过程中保持不变。
因此，我们只需要计算物体在开始和结束时的能量，通过守恒原理求出变化的能量，即可得到变力所做的功。
5. 利用动量守恒原理和能量守恒原理类似，动量守恒原理也可以用来解决变力做功问题。
动量守恒原理的基本思想是，在系统内部各物体间的相互作用力作用下，系统内各物体的动量之和在过程中保持不变。
通过利用动量守恒原理，我们可以求出物体在变力作用下的速度变化，从而计算出变力所做的功。
6. 利用万有引力定律在涉及到天体运动的变力做功问题中，我们需要利用万有引力定律。
万有引力定律指出，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
因此，我们可以利用万有引力定律计算行星的速度变化，进而计算出行星所受的变力所做的功。
变力做功
4、图象法
【分析与解】由公式:F=103x+f 由此函数作出F-x图如下： ，可以作出F-x图，
该图线与横轴围成的面积就是变力F做的功 牵引力F的表达式为：F＝103x＋f 汽车所受阻力为：f=0.05mg=0.5×105N 当x1＝0m时，F1＝0.5×105 N 当x2＝100m时，F2＝1.5×105 N F1 F2 7 W ( x2 x1 ) 1.0 10 J 2
1、转变研究对象法
【分析与解】绳对物体的作用 力T的方向变化，大小等于F， 是变力，但可以等效转化为恒 力F做功，即绳对物体的作用力 T做功等于恒力F做功。
o T h
D
根据物体位移s，求恒力F的作用点C的位移sC， 较简单的做法是设滑轮到滑块的高度为h，根据题 图中的几何关系计算如下
h h sC OA OB sin sin
二、变力的方向不变，大小变化
例3、一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂在 O点，小球在水平力F作用下，从P点缓慢移动到Q 点，此时绳与竖直方向的偏角为θ，如图所示，则 力F所做的功为（ ） A．mgLcosθ B．mgL(1－cosθ) θ C．FLsinθ D．FLθ
3、动能定理法
【分析与解】因小球运动过程中处于动 态平衡状态，故过程中F的方向不变，其 值在增大，是变力, F对小球做的功不等 于FLsinθ 。所以F对小球做的功可根据 动能定理计算。
变
力
做
功
黄口中学
王宇凌
大家已经知道用W=Flcosθ计算功，但 它的作用力F 须为恒力，而在解题过程中， 我们经常会遇到计算变力做功的问题，这 时就不能直接用这个公式计算。那么我们 怎样计算变力做功呢？ 下面我们分三种情况来讨论这个问题
如何看待变力做功
的定 值 电阻并 联 后 接 到 该 电路 中 ， 如 图 ７所 示 ， 则 此 灯泡 的实 际工作 电压 和 电流是 多少 ？ 分析 找 出现在 电源 满 足 的 Ｕ － Ｉ关 系 ， 由闭合 电
（ 作 者 单位 ： 江 苏省 扬 州 中学）
３２
ａ和 ． 求 滑块 由 Ａ 点 运
动到 Ｂ 点 过 程 中 ， 绳 的
图２
ｒ 数理 化
拉 力对 滑块 所做 的功 ．
析
绳作 用 在 物 体 上 的 力 是 一 个 大 小 不 变 但 方 向不 断改 变 的力 ， 直 接 求 该 力 所 做 的功 不 易
◇
江苏
孙 治国
在做功 的求 解过 程 中 ， 同学们 平 常熟 悉 的都 是恒
力做 功 ， 而 对 变力 做 功 问题 常 常 在 学 习 中 比较 困惑 ， 容 易形成 难点 ． 而变 力做 功 问题 又 是物 理 学 习 中不 可 回避 的一 个 重 点 ． 本 文 就 对 此 类 问 题 的解 答 进 行 分 析， 以期 能与 大家进 行交 流．
ｒ Ｔ Ｄ
３ Ｏ ２ ５ ２ ０ １ ５ １ Ｏ Ｏ ５ Ｏ
路 欧姆定 律得 一ｕ＋ （ Ｊ ＋ ） Ｒ， 变形 得 ｕ一 ｌ ： ｋ ｏ ・
Ｄ Ｄ
一
Ｉ ， 即 Ｕ一２ —４ １ ， 因此 相 当于灯 泡 与 一 电 动
Ｗ３ 一 ｍ ｇ Ｚ ３， … ， Ｗ 一 ｍ ｇ Ｚ ．
所以， 在滑块 沿水 平 圆轨道 匀 速运 动 一 周 的过 程 中拉 力所 做 的功 为
１ ２ Ｕ
Ｗ —Ｗ １ ＋ Ｗ ＋Ｗ 。 ＋ … ＋Ｗ ＝ ＝ ＝
求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法变力做功是指力的大小和方向在作功过程中发生变化的情况。
下面将介绍十种常见的变力做功的方法。
1.拉力做功：当一个物体被施加拉力时，拉力在作功过程中的大小和方向都是持续变化的。
通常情况下，拉力的大小会逐渐增加，直到物体被拉到目标位置。
这个过程中拉力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
2.推力做功：推力做功与拉力做功类似，只不过是力的方向相反。
当一个物体被施加推力时，推力也会在作功过程中发生变化，直到物体被推到目标位置。
推力所做的功也等于力的大小乘以物体的位移。
3.弹力做功：当一个物体被施加弹性势能时，弹力会在作功过程中发生变化。
例如，当拉伸弹簧时，弹簧的劲度系数会导致拉力的大小随着弹簧的伸长而增加。
弹力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
4.阻力做功：当一个物体受到空气阻力或其他形式的阻力时，阻力会在作功过程中发生变化。
通常情况下，阻力的大小与物体的速度成正比。
因此，在物体运动时，阻力所做的功等于力的大小乘以物体的速度与位移之积。
5.重力做功：当一个物体被抬高或下落时，重力会在作功过程中发生变化。
抬高物体时，重力的大小会减小，而下落时则会增大。
重力所做的功等于力的大小乘以物体的高度。
6.磨擦力做功：当一个物体受到摩擦力时，摩擦力会在作功过程中发生变化。
通常情况下，摩擦力的大小与物体的接触面积和物体间的粗糙程度有关。
磨擦力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
7.引力做功：当一个物体受到另一个物体的引力作用时，引力会在作功过程中发生变化。
例如，当地球绕太阳运动时，引力的大小会随着地球到太阳的距离的变化而变化。
引力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
8.中心力做功：中心力是指作用在物体上的力总是指向物体的中心。
例如，当一个物体沿着圆形轨道运动时，中心力会在作功过程中发生变化，因为物体距离中心的距离在变化。
中心力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
9.引力做功：引力做功是指一个物体由于受到其他物体的引力而发生位移时，引力所做的功。
一轮复习课变力做功的求解说课(改1)
一轮复习课“变力做功的求解”说课（改1）各位老师，大家好，我是肖后冬，很高兴能在淘师湾这个平台，和大家进行交流。
为了体现尊重学生的主体地位，达到让学生充分有效、积极思考的目的，我从教学目标的确立到教学过程的设计都做了一些尝试，下面结合这节课说一下我对这节课上课前的预想和上课后的反思。
首先是课前的教材分析。
一、教材分析本节课的内容来自“机械能”的第一个单元。
在高考考纲中，机械能主题下有四项内容，考纲对这四项内容的要求均为Ⅱ级，这在整个高中物理中是仅有的，可见其重要性。
四项内容中，动能定理是高中物理中应用最广泛的规律之一。
要熟练运用动能定理，首先要过求解做功的门槛。
从近年高考来看，虽然定量计算变力做功较少，但定性分析却比较常见。
所以，各地调研考试涉及变力做功的题目经常出现，且是整套试题中难度和区分度最大的题目之一。
例如最近进行的荆州市高三一调的选择题最后一题，是一个非典型的求变力做功问题，如果教师只帮助学生总结几个结论，学生是无法应对这种问题的。
所以，我认为，学生有必要了解求解变力做功的核心思想，了解从核心思想出发，得出各种变力做功方法的过程。
这样，学生才能不局限于那几个结论，才能灵活运用所学知识，解决这类问题。
二、教学目标知识与技能目标：首先，要理解功的概念与恒力做功公式中各物理量的确切含义；然后以“微元”思想为核心，构建恒力做功与变力做功统一的知识体系；最后，能在学习、生活的具体问题中，熟练运用这些知识解决问题。
过程与方法目标：(1)学生在教师设置的三个似是而非的做功问题的引导下，产生深入研究本课题的兴趣；(2)能够根据恒力做功的知识和一些物理事实的初步认识，在若干问题的引导下，理解“微元”思想，进行逻辑推理，得出正确的结论。
(3)能运用图象进行表达、分析，方便求解做功问题，提升应用数学处理物理问题的能力。
情感、态度、价值观目标：本课中，学生经历了这样一个问题，按已有的方法去解决，结论似乎近在眼前，却因为数学水平的限制，无法得出具体结果；换个思路，迂回求解，马上豁然开朗。
探讨变力做功问题
（ ｐａ ｔ ｎ ｆ Ｐｈ ｓ ｃ ｎ ｎ ｏ ｍａ ｉｎ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ ，Ｓ ａ ｇ ｉ ｒ ｌＣｏ ｌｇ ，Ｓ ａ ｇ ｉ ， Ｄｅ ｒ ｍｅ ｔｏ ｙ ｉ ｓ ａ ｄ Ｉｆ ｒ ｔｏ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ ｈ ｎ ｑ ｕ Ｎｏ ｍａ ｌ ｅ ｈ ｎ ｑ ｕ ｅ ４７ ０ ０， ｎ ￣） ６ ０ Ｈｅ ａ
第４ 期
李 莉： 探讨变力做功问题
大为 ｌ ＋Ｎ力作下动 此间； 小 ０ １） 的用运， 期力对 （ ）的 ｝（ 求
质 所 功 点 做的 ．
功 Ａ 为ｄ ，
肚 １ 胯
９
由 上 可 看出， 理 类问 关 是 何 用 以 例子 以 处 这 题的 键 如 利
分．
解： 体 微 移ｄ 在这 程中 所 元 微 分的 想和 将 力 位 积 转 为 时 的 设物 发生 小位 ｘ 段过 力 做的 积 思 方法 变 对 移的 分 化 对 间 积 ，
，
段 位 中，可以 作 恒 所 元 为ｄ＝ 元 移 力 看 是 力，做的 功 Ｗ
—
，Байду номын сангаас 利
Ｕ
， ａｘ
用 等 学 知 ，个 程 进 全 移 积 Ｉ ・ 高 数 的 识整 过 再 行 位 的 分 ＝ Ｆ ．
．
但 实 问 种 样， 大 可以 位 函 是， 际 题多 多 力的 小 是 置的 数，
Ａ ｂｓ ｒ ｔ Ｆｏ ｏ ａｎ ｆ ｃｔ ｒ ｔ ｒ ａ ｅ ｏ ｃ ． ｔ ｏ ｅｍ ｆ ｖ ｒ ａ ｅ ｏ ｃｅ ａ ｔ ｎｇ ｉ ｔ ｍ — ｔ ａｃ ： ｒｔ ｏ ｍ ｙ ａ ｏ ｓ ｏ ｖａ ｉ ｂｌ ｆ ｒ ｅ ｈｅ ｐｒ ｂｌ ｏ ａ ｉ ｂｌ ｆ ｒ ｃ ｉ ｓ ｈｅ ｄｉ ｃ ｔ ｆ ｃ ｃ ａ ｉ ｎ ｆ ａ ｔ ｎｇ．Ｉ ｒ ｒ ｔ ｎｄ ｕｌ ｙ ｏ ａｌ ｕｌ ｔ ｏ ｏ ｃ ｉ ｎ ｏ ｄｅ ｏ ｆ ｉ ｏｕｔ ｓ ｌ ｉ ｎｓ ｆ ｏｍ ａｒ ｏ ａ ｔ ｒ ｆ ａ ｔ ｎｇ ｃ ｎｇｉ ， ｏ ｕｔ ｏ ｒ ｖ ｉ ｕｓ ｆ ｃ ｏ ｓ ｏ ｃ ｉ ｈａ ｎｇ ｔ ｓ ｐａ ｈｉ ｐｅ ｅ ｅ ｓ ｔ ｉ ｐｌ ｌ ｒ ｆ ｃ ｉ ｎ ｎｄ ｒ ｐｒ ｓ ｎｔ ｈｅ ｓ ｍ ｅ ｃ ａ ｉ ａｔ ｏ ａ ｉ ａｎａ ｙｓ ｓ ｂｙ ｔ ｏｍ ｂｉ ｔ ｏ ｏ ｌ ｉ ｈｅ ｃ ｎａ ｉ ｎ ｆ ｐｈｙ ｉ ａ ｈｅ ｒ ｎｄ ｓｃ ｌ ｔ ｏｙ ａ ｅ ｍ ｐｌ ｆ ｃ ｔ ｏ Ｓ ａ ｔ ｐｒ ｉ ａ ｕｓ ｆ ｒ ｆ ｒ ｃｅ ｆ ｒ ｕｎｄｅｒ ｔ ｘｅ ｉ ａ ｉ ｎ Ｏ ｓ ｏ ｉ ｏｖ ｄｅ ｅ ｕｌ ｅ ｅ ｅｎ ｏ ｓ ａｎｄｉ ｎｇ ａｎｄ ｅ ｏ ｕｔｏｎ ｏ ｈｉ ｐｒ ｂ－ ｒ ｓ ｌ ｉ ｔ ｔ ｓ ｏ
平均力法求变力做功的条件
平均力法求变力做功的条件平均力法是物理学中求解变力做功的常用方法之一。
变力做功是指力在物体上施加作用力的过程中，力的大小和方向会发生变化，从而导致物体在运动过程中所受到的总功不同。
平均力法可以有效地解决这个问题，下面将详细介绍平均力法求解变力做功的条件。
条件一：力的大小和方向发生变化在实际运动过程中，物体所受的力往往会发生变化，力的大小和方向也可能会发生改变。
例如，一个初始静止的物体受到一个拉力，随着时间的推移，拉力的大小会逐渐减小，直到物体停止运动。
在这个过程中，拉力的大小和方向都是在发生变化的。
条件二：力的变化是连续的平均力法只适用于力的变化是连续的情况。
也就是说，力的大小和方向的变化是平滑的，没有突变或者跳跃的现象。
如果力的变化是不连续的，那么平均力法就不能有效地求解变力做功了。
条件三：物体的质量不变平均力法假设物体的质量不变，这是因为在求解变力做功时，物体的质量并不影响力所做的功。
因此，平均力法只需考虑力的大小和方向的变化即可。
条件四：力的变化是匀速的平均力法还假设力的变化是匀速的，也就是说，力的大小和方向的变化是在相同的时间内完成的。
这个条件可以简化求解的过程，因为在匀速的情况下，力的平均值可以通过力的初末值求得。
条件五：力的方向不断变化在物体受到力的作用时，力的方向往往也会发生变化。
平均力法假设力的方向是不断变化的，这个条件也是平均力法能够求解变力做功的重要条件之一。
总结平均力法是求解变力做功的有效方法，但是在应用平均力法时，需要注意力的大小和方向的变化必须是连续的、匀速的，并且物体的质量不变。
此外，力的方向也应该是不断变化的。
只有满足这些条件，平均力法才能够准确地计算出变力所做的功。
关于功的几个问题再讨论
四、一对作用力与反作用力做功情况探讨
1、一对相互作用力可以同时做正功
S
N
S
N
2、一对相互作用力可以同时做负功
S
N
S
N
F
F
3、一个做正功，一个做负功
S
N
S
N
F
4、一个做正功，一个不做功
S
N
S
N
小结一：一对相互作用力做功特点 1、一对相互作用力可以同时做正功， 2、一对相互作用力也可以同时做负功， 3、一对相互作用力也可以一个做正功，一个做负功， 4、一对相互作用力也可以一个做正功， 一个不做功， 5、一对相互作用力也可以一个做负功， 一个不做功，
3、在曲线运动中判断力做功的正负，看F与V的夹角
一只小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行 驶，下图为雪橇受到的牵引力F及摩擦力F1的示意图(O为圆 心)，关于各力做功下列说法正确的是( ) A．牵引力F做正功 B．摩擦力F1做负功 C．F与F1的合力做正功 D．F与F1的合力不做功
二、关于变力做功的求解方法
如图所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动的过程中， A、B之间有相互作用的力，则对力做功的情况的下列说法中正 确的是( ) A．A、B都克服摩擦力做功 B．AB间弹力对A、B都不做功 C．摩擦力对B做负功，对A不做功 D．弹力对A不做功，对B做正功
质量为M的长木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑 块以某一速度沿木块表面从A点滑至B点，在木板上前进了l ， 同时木板前进了x，如图所示。若滑块与木板间的动摩擦因 数为μ，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？
注意2：一对滑动摩擦力做功的代数和不为0， 且和为负值。
6、一对相互作用力也可以都不做功，
变力做功问题
变力做功问题作者：吴云坤来源：《青年文学家》2009年第19期摘要:变力做功问题是个难点,如果力不是一个恒定的常量,在计算力所做功的时候就不能直接用功的计算式,本文利用功率、功能关系、平均力三个方面求解变力做功的问题,通过实例讲解总结变力功的几种方法。
关键词:变力做功位移能量图像作者简介:吴云坤,男,云南省江川县人,学士,工作单位:云南省玉溪市第一中学高中物理组。
初高中物理教材中关于力对物体做功的基本定义式为:W=Fscosθ。
或者(式中θ表示力与位移之间的夹角)。
在没有学习微积分之前我们只能用于解答恒力做功的问题。
可是在实际问题中变力做功的问题经常遇到,这里给出三种求解变力做功的方法:方法一:利用功率求解(W=Pt)功率公式W=Pt中没有要求恒力条件,所以只要给出功率与过程经历的时间都可以用该公式求解。
做的功属于变力做功的问题,不可用公式W=Fs求解。
而W=Pt公式则不管是否为恒力做功都可以。
由功率公式W=Pt,可以求解牵引力所做的功。
方法二:利用功能关系功能关系解答问题的好处是不用关心中间的过程,只要找准初末状态确定的能量值。
中间过程所有力(变力或者恒力)对物体做的功就等于做功过程初末状态的能量差。
在例1中我们对汽车运用动能定理:方法三:平均力求解(W=Fs)对于力F的大小改变的首要条件是均匀改变,而力F的改变联系的参量一般有两个,时间t 和位移s。
讨论一、力F的大小随位移s均匀变化之,我们用图像法讨论。
作出F-s图像如图。
分析:功的公式W=Fs一般适用于恒力做功,对于变力做功我们可以采用微元法处理,我们把位移s平均分成n等分。
设每一分为s0。
可见n越大s0就越小。
在每一个单元中,s0越小,直角梯形就越接近矩形,所以s0越小,则在一个单元中的力F0就可以看作常力。
在每一个单元的力做功可写成:W0=F0.S0。
依次可写出每一个单元中力做的功:整个过程的力F做的功为所有单元的位移s0内做功的总和:当力的大小随着位移均匀变化时,变力做功可以用力的平均值与位移的乘积计算边里做的功。
物理-2.4.1变力做功
变力做功
如图，一个质量为m木块，放在倾角为α的斜面上，当斜面
与木块保持相对静止，沿水平方向向左匀速移动距离L的过
程中，作用在木块上的各个力分别做功多少？合力做功又是
多少？
V
FN
α
α
L
)α
mg
Ff
粗糙水平面上，用绳子系一小球做半径为R的圆周运动，小球质
量为m，与桌面间的动摩擦因数为μ,则小球经过1/4圆周的时间
第二次钉钉子时对钉子做的功与第一次相同，则第二次钉子进
入木板的深度是？
一对平衡力做功的关系
一对相互作用力的功的关系讨论：
正正、负负、零零、正负、正零、负零
一对相互作用力等大反向、但位移关系
不确定，做功情况也不确定。
摩擦力做功的讨论：
——正功、负功、不做功
一对静摩擦力做功的情况
一对滑动摩擦力做功的情况
下滑的过程中,物体受到的哪些力？各力是否做功？是做正
功还是做负功？
N
S
mg
如图所示，水平路面上有一辆汽车以加速度 向前
加速行驶，车厢中有一个质量为 的人正用恒力
向前推车厢，人始终相对于车静止，在车行驶距离
的过程中，下列说法正确的是( )
A. 人对车做的功为 +
B. 人对车做的功为
斜面滑动摩擦力特点：
如图所示，同一物体分别沿斜面AO、BO、CO自斜面顶点由静
止开始下滑，该物体与各斜面间的动摩擦因数均相同，在滑行
过程中克服摩擦力做功分别为WA、WB和WC，则
A．WA>WB>WC
B．WA＝WB>WC
C．WA>WB＝WC
D．WA＝WB＝WC
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解决变力做功问题的方法
在求功公式αcos FS W =中，F 是恒力，即在做功过程中，F 的大小、方向都不变。
当F 是变力时，该怎样求功呢？
1. 转化为恒力做功
在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，于是可以用W Fl =cos α求解。
例1. 如图1所示，某人用大小不变的力F 拉着放在光滑水平面上的物体。
开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F 作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。
已知图1中的高度是h ，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力F T 对物体所做的功。
图1
分析：拉力F T 在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。
由题意可知，人对绳做的功等于拉力F T 对物体做的功，且人对绳的拉力F 是恒力，于是问题转化为求恒力做功。
由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F 的作用点的位移为：
∆s s s h =-=-⎛⎝ ⎫⎭
⎪1211sin sin αβ 所以绳对物体做功：
W W F s Fh T F ===-⎛⎝ ⎫⎭
⎪·∆11sin sin αβ
2. 用动能定理
动能定理表达式为W E k 外=∆，其中W 外是所有外力做功的代数和，△E k 是物体动能的增量。
如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的功均能求出，那么用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
例2. 如图2所示，质量m kg =1的物体从轨道上的A 点由静止下滑，轨道AB 是弯曲的，且A 点高出B 点h m =08.。
物体到达B 点时的速度为2m s /，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。
图2
分析：物体由A 运动到B 的过程中共受到三个力作用：重力G 、支持力F N 和摩擦力F f 。
由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力。
但支持力时刻垂直于速度方向，故支持力不做功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功。
由动能定理W E k 外=∆，其中
W W W E mv mv G f
k B A 外=+=-∆1212
22 所以mgh W mv f B +=12
2 代入数据解得W J f =-584
.
3. 用W=Pt
利用此式可求出功率保持不变的情况下变力所做的功。
例3. 质量为5t 的汽车以恒定的输出功率75kW 在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s 内速度达到10m/s ，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。
分析：汽车的功率不变，根据P Fv =知，随着速度v 的增大，牵引力将变小，不能用W Fl =求功，但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功
J
J
Pt W F 53105.7101075⨯=⨯⨯==
再由动能定理得： W W mv f F +=
-1202 所以W mv W J f F =
-=-⨯12
51025 4. 用图象法
在F x -图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功。
例4. 放在地面上的木块与一劲度系数k N m =200/的轻弹簧相连。
现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x m 102=.时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x m 204=.的位移，求上述过程中拉力所做的功。
分析：由题意作出F x -图象如图3所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。
即
J J W 2040)4.06.0(2
1=⨯+⨯=
图3
5. 用平均值
当力的方向不变，而大小随位移线性．．
变化时(即Ｆ＝ｋｓ＋ｂ)，可先求出力的算术平均值，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。
例5. 要把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。
问此钉子全部进入木板需要打击几次？
分析：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。
钉子在整个过程中受到的平均阻力为：
F kl kl =+=022
钉子克服阻力做的功为：
W Fl kl F ==12
2 设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：
E nE kl 总==0212
所以n kl E =2
2
6. 用功能原理
除系统内重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于系统机械能的增量。
若只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即为机械能守恒定律）。
例6. 如图4所示，将一个质量为m ，长为a ，宽为b 的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？
图4
分析：在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用W Fl =cos α求解。
该过程中，物体要经历图4所示的状态，当矩形对角线竖直时，物体重心高度最大，重心变化为：
()
∆h a b b =+-1
222 由功能原理可知W E E P k 外=+∆∆
当∆E k =0时，W 外最小，为：
()
W E mg h mg a b b p 外===
+-∆∆1222。
7. 用W=PV 一般用来求解液体或气体做功的情况，P 为压强，V 为液体或气体推进体积，其实该公式来源于功的计算式，设压强P 的作用面积为S ，推进的距离为L ，则压力PS 作用距离L 时的功为PSL 即PV 。
例7、成年人正常心跳每分钟约75次，一次血液循环中左心室的血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值为1.37×104pa ，左、右心室收缩时射出的血量约为70mL ，右心室对肺动脉的压力约为左心室的1/5，据此估算心脏工作的平均功率。