济南大学大学物理2习题课2 振动与波动讲解

知识 点
一、简谐振动的特征与定义
1、动力学特征： F kx
d2 dt
x
2


2
x

0
2、运动学特征： x Acos(t )
v A sin( t ) a A2 cos(t )
2x
3、能量特征
动能：
Ek

1 mv 2 2

1 mA 2 2 sin2 (t
Ep

1 2
kx2
（E）3/4
答：E
3、两个同方向，同频率的简谐运动，振幅均为A，若
合成振幅也为A，则两分振动的初相位差为
A 6 C2 3
B 3 D 2
答：C
A A2 A2 2AAcos(2 1)

cos(2

1)


1 2

2

1

2
3
4、一质点在OX轴上的A、B之间作简谐运动，O为平衡
（A） 2
（B） 1
（C） 1 2 （D） 1/2
k m 2
T

2


T

1 2
T
2k 2k
k’
2 2k x kx k 4k
答：D
2、一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，
其动能为总能量的
（A） 1/2
（C）
3 2
（B） 1 2 （D） 1/4
答：C
8、设有两列相干波，在同一介质中沿同一方向传播，
其波源A、B相距 32 ，当A在波峰时，B恰在波谷，两 波的振幅分别为A1和A2，若介质不吸收波的能量，则
两列波在点相遇P时,该处质点的振幅为
u
P
A
AA1 A2 C A12 A22
B
32
B A1 A2
p
（2
x
x3 x1
x2
O
.
t
x2:把x1向前平移/3， x3:把x1向后平移/3
12、已知一简谐振动 x 5cos 8t ，若计时起 点提前0.5s,其振动式如何变化？试画4出以上计时起点
改变前和改变后t=0时的旋转矢量图。使初相位为零，
则计时起点应提前或推迟多少？
解：
1x
k1 2k
机械振动是产生机械波的必要条件,机械振动在 弹性介质中传播便形成了机械波。机械波的本质是大 量质点的机械振动,波动是振动形式的传播,是振动能量 的传播,是振动相位的传播。
波源的振动决定机械波的周期,频率和振动速度, 弹性介质的性质决定波传播的速度。
孤立振动的质点机械能守恒,参与波动的质点机械能 不守恒,不停地进行着能量传递。
2k k 0,1,2,...
A A1 A2
2k 1 k 0,1,2,... A A1 A2
四、 简谐振动的合成
2、同方向频率相近的两个简谐运动的合成
拍频： 2 1
3、两个相互垂直同频率的简谐运动：椭圆
4、两个相互垂直不同频率的简谐运动：李萨如图


A

t+ A
t=0
· t+
x o x x0
X
x = A cos( t + )
例1 已知简谐运动曲线x-t如图所示，写出运动方程。
解：由图可知
x/m
0.10
A

0.10m,T

7 3

1 3

2s
0
15 36
4
3
11 7 6
3
2 s1
-0.05 -0.10
T

5 cos 8t

0.5

4


5
cos8t

4


4

(2)应提前 8t

4
t
32
t=0
/4
t’=0 -4+ /4
x
13、一简谐振动初相位为零，在哪些时刻物 体的动能和势能相等？
sin t 2 2
t 2n或t 3 2n
2
)
势能：
1 Ep 2
特点：机械能守恒
4、简谐运动的定义
kx 2 1 kA2 2
E Ek E
cos2 (t
p

1 2
kA2


)
（1）在弹性力作用下的运动；
（2）满足微分方程
d2x dt 2

2
x

0
的运动，2 是由系统
本身性质决定的物理量。（普遍）
（3）满足 x Acos(t ) 的运动。
cos2.5

t

x 0.2



2
m
Y/cm
3.0
10
. O
20
X/cm
10、下图为一平面简谐波在t=0时的波形图，波沿Ox轴
正向传播，波速u=20m/s.写出点P点Q处质点的振动方程
Y/m
0.2
P
u
O
10 20
40
X/m
Q
A 0.2m T 2.0s
2
cos2 t 1
4
EP cos2 t 1
E
4
Ek 1 1 3 E 44
P15 二、1 解：
（1） vm A
T

2


2
vm
4.19s
A
（2） am 2 A vm 4.5102 m / s2
（3） 2
t/s
T
= 2/3
x 0.10 cost 2
-A / 2
3
X
四、 简谐振动的合成
1、两个同方向同频率简谐运动的合成
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tg A1 sin 1 A2 sin 2
A1 cos1 A2 cos2
x

)


0
]
y( x, t)

A cos [ 2
(x

ut ) 0 ]
七、描述波的几何方法及图线方法
1、几何表示法
波线（射线）、波面（同相面）、波前（波阵面）
Y
u
A
A/2
2、图线表示法
0
1
-A
X(m)
选择、填空
1、一物体悬挂在一质量可忽略的弹簧下端，使物体略有偏移， 测得其振动周期为T，然后将弹簧分割为两半，并联地悬挂同一 物体，再使物体略有位移，测得其周期为T’，则T’/T为
10t

1 3

P17 二、1 解：
12
0

1 3



1 3

t 0.667s
P17 二、2 解：
0 2 3
56 2 T 24 s
2 T
5
2 5
T 12
x

0.1cos

5 t
12

2
3

P18 3 解：
五、描述波动的物理量
周期：T 由波源决定 波速：u 由介质决定
波长： uT
2 2
T
六、平面简谐波的波函数（波动方程）
y( x, t)

Acos[ (t

x u
)


0
]
y( x, t)

Acos[2 ( t
T

x

)


0
]
y( x, t)

Acos[2 (t

后的弹簧下面,问分割前后两个弹簧振子的振动频率是否一样?其
关系如何? k不是材料常数,它来自百度文库弹簧本身的性质
(材料,形状,大小等)决定.
若把一个弹簧均分二段,则每段弹簧的劲度系数是2k.
l
F k x 单位长度的伸长量为x / l
F
l1
F
k1 F / l1( x / l) kl / l1
位置，质点每秒钟往返三次，若分别以X1和X2为起始位 置，箭头表示起始时的运动方向，则它们的振动方程为
A
x1
O
x2
B
1cm 1cm
2cm
T

1 3
s
2 T 6
x1

2
cos 6t


4 3

cm
x2

2 cos 6t


1
3
cm
5、质点做简谐运动如图所示，振动方程为
x 0.02cos 1.5t 12
P15 二、2 解：
（1） k m 10 s1
T 2 0.63s
（2）
由A
x02


v0

2

得


1 3

v0 A2 x02 1.3m / s
（3）
x
15102 cos


（2）
y0

A cos


t
t

x u


1 2


P20 二、2解：
（1）
y0

3 102
cos 4

t

x 20

（2）
t



4

t

x5 20


4

t

x 20



y0

3102
cos
4

4
k 0,1, 2......
P22 三、解：
P22 三、解：
P22 三、解：
P22 三、解：
P22 三、解：
P22 三、解：
P22 三、解：
P22 三、解：
P22 三、解：
P22 三、解：
振动问题
9-1 弹簧的劲度系数k是材料常数吗?若把一个弹簧均分二段,则每
段弹簧的劲度系数还是k吗?将一质量为m的物体分别挂在分割前

t

x 20




P22 三、解： 4 x
合振幅最大
cos cos 4 x 1

4 x 2k x 1 k k 0,1, 2......

2
合振幅最小
cos cos 4 x 1
4 x 2k 1 x 2k 1
u
40m
2
T
Y/m
0.2
P
O
10 20
u
40 Q
Y/m
Q
0.2 2.0
X/m O
1.0
t/s
P
t 3 2
8

3
4
p


4
yp 0.2 cos t 4
yQ 0.2cost
11、三个频率和振幅都相同的简谐振动，设x1的图形如 图差，x32与x11的 相32位 差。试作2 出1它们32 的图，形x3与x1的相位
2013.5
基本要求
机械振动
一、掌握描述简谐运动的各物理量（特别是相位）的
物理意义及各量间的关系。 二、掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并
会用于简谐运动规律的讨论和分析。
三、掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的
微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运
动方程，并理解其物理意义。
二、描写简谐振动的物理量 1、振幅 A
2、周期、频率和角频率 T , ,
3、相位和初相位 t
2 2
T
A
x0 2
v0

2


x2


v
2


arctg( v0 ) x0
1 2
mv02

12 kx02

12 mv2

1 2
k
x2
同除以12k x02
v02
2

x2
v2
2
2k k 0,1,2,... 两振动相位相同，步调一致
2k 1 k 0,1,2,... 两振动相位相反，步调相反
三、描述简谐 运动的方法
1、数学方法 2、几何方法 （旋转矢量法）
3、图线方法
四、理解同方向、同频率的简谐运动的合成规律，了解
拍和相互垂直简谐运动合成的特点。 五、了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律。
机械波 一、掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系。 二、理解机械波产生的条件。掌握由已知质点的简谐运
动方程得出平面简谐波的波函数的方法。理解波函 数的物理意义。
线索与联系
x
0.1
.5
-1 O 1 3
7
t
x 0.1cos t
4 4
6、有两个简谐振动，曲线如图所示，振动A的相位比
振动B的相位 落后 ， A B 2 x
A
B
. O
t
7、有一横波在时刻t的波形沿Ox轴负方向传播，则在
该时刻
y
B
u
C
A
O D
x
（A）质点A沿Oy轴负方向运动 （B）质点B沿Ox轴负方向运动 （C）质点C沿Oy轴负方向运动 （D）质点D沿Oy轴正方向运动
4
4
t 1 nT或t 3 nT
8
8
n 0.1.2..... n 0.1.2.....
14、当振动位移为其振幅一半时，在系统的总能 量中动能占多大比例？势能占多大比例？
x Acost
cost 1
1
2
P18 二、解：
x2 3102 cos 4t 2 3
x 2102 cos 4t 3
1

1 3

2 2 3
P20 二、1解：
（1） y Acost
1
2
y0

A cos

t

t

1 2
1） 2π
r2 r1

D A12 A22 2kπ, k 0,1,2,3,...
答：A
9、实线表示t=0时的波形图,虚线表示t=0.1s时的波形图,
该波的角频率为 2.5s1 ；周期为T 0.8s ；波速
为 u 0.2ms1 ；波函数为
y

3102