弧度和角度的换算

1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的， 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 圆弧 不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的， 弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。 但都对应同一个圆心角。
π
180
=
5π . 8
8π 化成度。 例2. 把 化成度。 5
解：1rad= (
180
π
)°
8π 8π 180 = ×( )° 5 5 π
= 288°
填写下表： 例3. 填写下表：
角度 弧度 角度 弧度 角度 弧度 0° 30°
π 6
5π 6
45°
π
4
60°
π
3
90°
π
2
120°
2π 3
0
3π 4
3. 弧度制与角度制相比： 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 弧度制是以“弧度” 单位的度量角的单 位制，角度制是以“ 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制； 弧度 弧度≠1º 单位制；1弧度 º； 弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 ） 弧度 1 心角的大小， 心角的大小，而1度是圆周 度是圆周 的所对的圆心 360 角的大小； 角的大小；
135° 150° 180° 210° 225° 240°
π
270° 300° 315° 330° 360°
3π 2
2π
扇形AOB中， AB 所对的圆心角是 ， 所对的圆心角是60º， 例4. 扇形 中 半径是50米，求 半径是 米 米）。 解：因为60º= 3 ,所以 因为 所以 π l=α·r= 3×50≈52.5 . 的长约为52.5米. 答： AB 的长约为 米
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。 结论：可以用圆的半径作单位去度量角。 2.定义： 定义： 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 弧 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 所对的圆心角叫做 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度的角，弧度记作 。 度量角的制度叫做弧度制。 度量角的制度叫做弧度制。 弧度制 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 今后在用弧度制表示角的时候， 可以略去不写 或rad可以略去不写。 可以略去不写。
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 ）弧度制是十进制， 数表示，而角度制是六十进制； 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 ）以弧度和度为单位的角， 半径无关的定值。 半径无关的定值。
l 4.公式：α = 公式： 公式 ， r
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的 表示的是在半径为 的圆中，弧长为 的 的圆中 。 弧所对的圆心角是αrad。
1.1.2 弧度制和 弧度制与角度制的换算
在初中几何里，我们学习过角的度量， 在初中几何里，我们学习过角的度量， 1度的角是怎样定义的呢？ 度的角是怎样定义的呢？ 度的角是怎样定义的呢
1 度的角。 周角的 为1度的角。 度的角 360
这种用1º 这种用 º角作单位来度量角的制度叫做 单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。 弧度制。 他学科中常用的度量角的制度 弧度制
360(π − 1)
π
)º
2
扇形面积是 (π − 1)R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
º30′化成弧度 精确到0.001)； 例1. （1) 把112º30 化成弧度 精确到 º30 化成弧度(精确到 ； 表示）。 化成弧度（ （2）把112º30′化成弧度（用π表示）。 ） 化成弧度 解： （1）112º30′=112.5º， ） ，
1° =
π
180
≈ 0.0175
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad. × 所以 (2) 112º30′=112.5× ×
5 合 − 36 π
已知一半径为R的扇形 的扇形， 例7. 已知一半径为 的扇形，它的周长等于 所在圆的周长， 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？ 合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－ 所以扇形的中心角是2(π－ 所以扇形的中心角是 －1) rad. 合(
π
180
rad ≈ 0.01745rad
o
180 o o 1 rad = ≈ 57.30 = 57 18' π
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式： 用弧度制表示弧长及扇形面积公式： 弧长 公式 弧长公式： ① 弧长公式： l = r ⋅ α
l 由公式： 由公式：α = ⇒ l = r ⋅ α r
nπr 简单. 比公式 l = 简单 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 等于弧所对的圆心角 的绝对值与半径的积. 的绝对值与半径的积
1 ② 扇形面积公式 S = lR 2
其中l是扇形弧长， 是圆的半径 是圆的半径。 其中 是扇形弧长，R是圆的半径。 是扇形弧长 证明：设扇形所对的圆心角为 证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则 ，
正角的弧度数是正数， ③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
l 的弧度数的绝对值: ④角α的弧度数的绝对值 α = r
为弧长， 为半径） （l为弧长，r为半径） 为弧长 为半径
⑤ ∵ 360°=2π rad ，∴180°=π rad ° π ° π ∴ 1°= °
π
的长l（精确到0.1 的长 （精确到 AB
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的 在半径为 的圆中， º 的圆中 弧长为 中心角等于 ，面积为2R2的扇形的 面积为 弧度。 弧度。
4 ：（1） 根据l=αR，得 解：（ ）240º= π ，根据 ， 3
4 l = πR 3 1 2 1 （2）根据 ）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
所以 α=4.
与角－ 的终边相同， 例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 与角 的终边相同 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 ＿＿＿， 弧度 解：－1825º=－5×360º－25º， ：－ － × － ， 所以与角－ 的终边相同， 所以与角－1825º的终边相同，且绝对值 的终边相同 最小的角是－ 最小的角是－25º.
AB A′B′ = =定值， 定值， 定值 r r′
弧长为l，半径 为 ， 设α=nº， AB 弧长为 ，半径OA为r， º
2π r l 2π , = n⋅ 则 l = n⋅ ， 360 r 360 可以看出， 可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的 半径，表示弧长与半径的 比值跟半径无关，只与 的 比值跟半径无关，只与α的 跟半径无关 大小有关。 大小有关。
n 1 2 S =πR ⋅ = R ⋅α 360 2
2
又 αR=l，所以 ，
1 S = lR 2
证明2：因为圆心角为 证明 ：因为圆心角为1 rad的扇形面积是 的扇形面积是
π R2 1 2 = R 2π 2
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 而弧长为 的扇形的圆心角的大小是 R rad.
1 所以它的面积是 S = lR 2
5. 弧度制与角度制的换算 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º ① 用角度制和弧度制度量角，零角既是 º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和 又是 角 弧度数是不同的. 弧度数是不同的 平角、周角的弧度数： ② 平角、周角的弧度数： 平角=π 平角 π rad、周角 π rad. 、周角=2π