1 数学-南京市2014届高三考前冲刺训练(南京市教研室) 数学

【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．
6．已知双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为．【答案】 － ＝1．
【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝klog2x(k为常数，
(1)求证：AE//面DBC；
(2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC．
证明(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足．
因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC＝BC，DO面DBC，
所以DO⊥面ABC．
又AE⊥面ABC，则AE//DO．
又AE 面DBC，DO面DBC，故AE//面DBC．
(2)由（1）知DO⊥面ABC，AB面ABC，所以DO⊥AB．
2．如图：梯形ABCD中，AB//CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若 · ＝－12，则 · ＝． 【答案】0．
【提示】以 ， 为基底，则 ＝ ＋ ， ＝ － ，
则 · ＝ 2－ · － 2＝4－8cos∠BAD－12＝－12，
所以cos∠BAD＝ ，则∠BAD＝60o，
则 · ＝ ·( － )＝ ·( － )＝ 2－ · ＝4－4＝0．
【答案】16．
【提示】设{an}的公差为d，由a12＝ a5＞0得a1＝－ d，d＞0，所以an＝(n－ )d，
从而可知1≤n≤16时，an＞0，n≥17时，an＜0．
从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，
故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．
于是有1≤2(a－c)－2(b－c)≤2，即1≤ ≤2．设x＝2b－c，y＝2a－c，
则有x＋y≤2，x2≤y≤2x2，x＞0，y＞0， ＝y－x．
在平面直角坐标系xOy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设y－x＝t．
如图，当直线y－x＝t与曲线y＝x2相切时，t最小．
此时令y′＝2x＝1，解得x＝ ，于是y＝ ，所以tmin＝ － ＝－ ．
因为A∈(0，π)，则A＋ ∈( ， )，则A＋ ＝ ，则A＝ ．
(2)因为a//b，所以 cosA· sinB＝sinA·cosB，则tanA＝3tanB．
由于A、B为三角形内角，则A、B只能均为锐角，即tanA＞0，tanB＞0．
tan(A－B)＝ ＝ ＝ ≤ ＝ ，
当且仅当 ＝3tanB时，B＝ 取“＝”号．
【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知 ＝ π，且 ·2πr·l＝2 π，解得l＝2，r＝ ，所以圆锥高h＝1，则体积V＝ πr2h＝π．
【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．
5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________．【答案】x＋y－2＝0．
又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC平面DBC，则AB⊥面DBC．
因为DC面DBC，所以AB⊥DC．
又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB面ABD，则DC⊥面ABD．
又AD面ABD，故可得AD⊥DC．
【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第(2)问通过线面垂直证线线垂直问题．
故A1A2＝AN2＋A1N2，从而可得∠A1NA＝90o，即A1N⊥AC．
在三角形ABC中，AB＝2，AC＝2 ，BC＝4，
则BC2＝AB2＋AC2，从而可得∠BAC=90o，即AB⊥AC．
又MN//AB，则AC⊥MN．
因为MN∩A1N＝N，MN面A1B1MN，A1N面A1B1MN，
所以AC⊥平面A1B1MN．
又B为三角形内角，则B＝ ．
因为cosA＝ ，且A为三角形内角，则sinA＝ ，
故sinC＝sin(B＋A)＝sin( ＋A)＝ cosA＋ sinA＝ ．
(2)解法一 因为sinA＝3sinC，由正弦定理可得a＝3c．
由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2accosB，则7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1，则a＝3．
当直线过点A时，t最大．由 解得A( ， )，
所以tmax＝ － ＝ ．
因此 的取值范围是[－ ， ]．
【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．
9．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的取值集合是．【答案】{ ， }．
【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具有一定的综合性．
12．三角形ABC中，三内角为A、B、C，a＝( cosA，sinA)，b＝(cosB， sinB)，c＝(1，－1)．
(1)若a·c＝1，求角A的大小；
(2)若a//b，求当A－B取最大时，A的值．
解(1)a·c＝ cosA－sinA＝2cos(A＋ )＝1，则cos(A＋ )＝ ．
又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得q＝ ．
综上所述，q＝ ．
【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．
*10．数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，设Sn为{bn}的前n项和．若a12＝ a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值等于___________．
又AC平面A1ACC1，所以平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．
【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力．立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点．关注以算代证的方法．
15．某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入的x万元之间满足：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②x∈(0， ]，其中m是常数．若x＝ 时，y＝a3．
面积S＝ acsinB＝ ．
解法二由sinA＝3sinC得sin(C＋B)＝3sinC，即sin(C＋ )＝3sinC，则 sinC＋ cosC＝3sinC，
即 cosC＝ sinC，故可得tanC＝ ．
又C为三角形的内角，则sinC＝ ．
由正弦定理知 ＝ ，则c＝1．
又sinA＝3sinC＝ ，故面积S＝ bcsinA＝ ．
③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．
其中正确的是___________．（填写正确命题序号）【答案】①④．
【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，面，面面位置关系及空间想象能力．
4．圆锥的侧面展开图是圆心角为 π，面积为2 π的扇形，则圆锥的体积是____．【答案π．
又A－B∈(－ ， )，则A－B的最大值为 ，此时A＝ ．
所以，当A－B的最大时，A＝ ．
【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值．
13．如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．
14．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在面ABC中，AB＝2 ，BC＝4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N．
(1)求证：N为AC中点；
(2)平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．
解(1)由题意，平面ABC//平面A1B1C1，
【提示】因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{an}的公差为d，则
1若删去a2，则由2a3＝a1＋a4得2a1q ＝a1＋a1q ，即2q ＝1＋q ，
整理得q (q－1)＝(q－1)(q＋1)．
又q≠1，则可得q ＝q＋1，又q＞0解得q＝ ；
2若删去a3，则由2a2＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q ，即2q＝1＋q ，整理得q(q－1)(q＋1)＝q－1．
南京市2014届高三数学综合题
一、填空题
1．已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0， ]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为．【答案】{ ， ，1}．
【提示】由题意知， 即 ，其中k Z，则k＝ 或k＝ 或k＝1．
【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等．
0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD为矩形，则k的值是___________．【答案】 ．
【提示】设A(t，2 log2t)(t＞1)，则B(t2，2 log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2klog2t)，则有log2t＝2klog2t，
平面A1B1M与平面ABC交于直线MN，与平面A1B1C1交于直线A1B1，所以MN//A1B1．
因为AB//A1B1，所以MN//AB，所以 ＝ ．
因为M为AB的中点，所以 ＝1，所以N为AC中点．
(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．
在三角形A1AN中，AN＝1，AA1＝2，由余弦定理得A1N＝ ，
(1)求产品增加值y关于x的表达式；
(2)求产品增加值y的最大值及相应的x的值．
解：(1)设y＝f(x)＝k(a－x)x2，因为当x＝ 时，y＝a3，所以k＝8，
所以f(x)＝8(a－x)x2，x∈(0， ]．