零件参数设计的数学模型

零件参数设计的数学模型

指导老师数学建模教练组

李俊（热9501）罗建梅（热9502）王震宇（供9502）

摘要：本文基于Y偏离Y0 造成的损失和零件成本，根据原设计给定的标定值和容差，使用网格法和随机搜索法,利用计算机编程计算产品分别为正品、次品、废品时的概率，进而分析产品是正品、次品、废品的概率的稳定性，得到较为精确且合理的结果，最后求出原设计的总费用（损失费+成本费）为313.4万元。

本文通过分析参数x1,x2,…,x7对y的影响，在原设计的标定值附近找出一个使y在其附近的变化比较稳定的点，并使y=1.5，再利用计算机仿真实验，综合判断容差等级方案，确定出比较理想的标定值和容差等级方案：最后确定的方案比原设定节约费用271.2425万元。

一、问题的重述

一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行批量生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。

在进行零件参数设计时，由于零件组装产品的参数偏离预先设定的目标值，所以造成质量损失，偏离越大，损失越大；且零件的容差大小决定了其制造成本，容差设计的越小，成本越高。

有一种离子分离器某参数（记作Y)由7个零件的参数(记作X1 ,X2 , …X7)决定，经验公式为：

Y=174.42()()

.[.()]() .

./.

X X

X

X X

X

X

X

X

X X

1

5

3

21

085

4

2

056324

2

116

67

12621036

-

⨯

---

Y的目标值(记作Y0)为1.50。若Y偏离Y0±0.1时，产品为次品，质量损失1000(元)；若Y偏离Y0±0.3时，产品为废品，损失9000(元)。

零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值来表示，A等为±1%，B等为±5%，C等为±10%。7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本(元)如下表(符号/ 表示无此等级零件):

1

2

现进行成批生产,每批产量1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：

X 1=0.1，X 2=0.3，X 3=0.1，X 4=0.1，X 5=1.5，X 6=16，X 7=0.75；容差均取最便宜的等级。 综合考虑Y 偏离Y 0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数(包括标定值和容差)，并与原设计的总费用相比较。

二、模型假设及符号约定

模型假设

1．零件的总损失取决于各种类型的零件出现的概率； 2．零件的参数符合正态分布；

3．符合要求的零件只考虑自身成本，而不再考虑其它因素的影响。

符号约定

M 表示成批生产时每批产量的个数，此题为1000个；

a 表示产品为次品时的质量损失为1000元；

b 表示产品为废品时的质量损失为9000元； σI 表示第i 个零件参数对应的均方差；

μi 表示一批零件第i 个零件参数的平均值，即期望值； χi 表示第i 个零件（变量）的新值； R i 表示变量X i 对μi 的搜索区域； K d 表示区域缩减系数，其值正数；

r 表示[0，1]之间服从均匀分布的伪随机数； k 表示随机概率的分布系数，是个正奇数； z y 偏离y 0的绝对值； P y 偏离y 0造成的损失； P’ 表示零件的成本；

Q y 偏离y 0造成的损失和零件成本

三、问题的分析

由于标志产品性能的参数是由零件的参数所决定的。而零件的参数包括标定值和容

差两部分。如果将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值。那么，根据3σ原理，在其中的概率为：0.9974。显然，在此之外的概率为：0.0026。相比之下，在其之外的可以忽略不计。故此，在生产部门无特殊要求时，容差规定为均方差的3倍是合理的。由题意，我们还可以得到：容差与标定值的相对值可以判断容差的等级（进而可以确定零件的成本），即：

3

A 等：

3σμi

i

<01. B 等：0.1≤

3σμi

i

<0.3 C 等：

3σμi

i

≥03.

进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。此时要考虑到产品的损失和零件成本，而产品的损失和零件的成本都是由零件参数决定。所以，我们就先从产品的零件参数着手，逐步求优。

零件参数x 1,x 2,…,x 7对y 的影响由经验公式：

y x x x x x x x x x x x =⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫

⎭

⎪

⨯

--⎛⎝ ⎫

⎭⎪

⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎛⎝ ⎫⎭⎪-174421262103612321085

42056

3

24211667

......

来确定，因y 的目标值（记作y 0）为1.50。且已知：当y 偏离y 0±01.时，产品为次品，质量损失为1,000（元）；当y 偏离y 0±03.时，产品为废品，损失为9,000（元）

。可见，选定的标定值x 1,x 2,…,x 7使得y 的值接近1.5，且在（x 1,x 2,…,x 7）附近y 的取值稳定在1.5附近。所以，我们所设计零件参数，就要尽可能使产品为正品的数量多，次品的数量少、尽量使废品不出现，从而使得总费用（损失费+成本费）最小。

四、模型的建立

在原设计中，组成离子分离器的七个零件参数的标定值已知为：

X 1=0.1，X 2=0.3，X 3=0.1，X 4=0.1，X 5=1.5，X 6=16，X 7=0.75

将以上标定值代入公式：

y x x x x x x x x x x x =⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫

⎭

⎪

⨯

--⎛⎝ ⎫

⎭⎪

⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎛⎝ ⎫⎭⎪

-174421262103612321085

42056

3

24211667

......

得出： y =17255.

显然： y y -=-=017255

1502255...大于0.1且小于0.3 由y 的取值符合正态分布，可以看出在该标定值下，产品出现“次品”和“废品”的概率较大。

由于零件的容差均取最便宜的等级，故此，可得出七个零件参数可能的取值范围如下表：