人教版高中数学《数学归纳法》教学案例

《数学归纳法》教学案例（第一课时）

一、设计思想：

根据新课程标准的基本理念-----倡导积极主动、勇于探索的学习方式，设置恰当的教学情景，并通过亲自动手做实验（多米诺骨牌实验），感受事实，发现本质，提高数学的学习兴趣，体会数学推理的严谨性，发展学生的数学思维能力。

二、教材分析：

本内容在选修2-2模块中的“推理与证明”这一章中，它的要求是：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。另外,数学归纳法内容抽象,思想新颖,通过对该部分的学习,对培养学生的逻辑思维能力与创新能力,全面提高学生的数学素质有十分重要的意义.

三、学情分析：

学生在此之前，已了解合情推理和演绎推理，并能用归纳和类比等进行简单的推理，他们虽然知道从特殊的几个事例推出一般结论不一定合理，但对如何为什么不一定明白。再就是数学归纳法原理的理解上有一定困难，这就要教师创设教学情景，让学生经历数学发现、实验、观察，共同交流合作，寻求解决问题的办法。

四、教学目标：

（1）知识与技能：了解“归纳法”和“数学归纳法”的原理；体会用数学归纳法证明的合理性；学会用“数学归纳法”证明的“两个步骤一个结论”的书写格式；初步掌握用“数学归纳法”证明简单的恒等式的方法。

（2）过程与方法：通过列举具体事例，亲自操作并仔细观察多米诺骨牌实验，发现数学归纳法的基本原理，将感性认识上升到理性认识，类比归纳出“数学归纳法”的基本步骤。

（3）情感、态度与价值观：培养大胆猜想，严格论证的辩证思维素质，感受数学推理的严谨性，培养学生对于数学内在美的感悟能力，提高学生学习数学的兴趣。

五、教学重点与难点：

（1）重点：对“数学归纳法”的原理的理解，明白“两步一结论的重要性”，特别是第一第二步的辨证关系的理解。

（2）难点：如何理解用“数学归纳法”证题的可靠性和有效性。

六、教学策略与手段：

数学实验法，引导发现法、感性体验法，学生合作交流、自主探索，再配合教师适时的引导、点拨、启发，从而使学生获得知识和能力上的发展。

七、课前准备：

学生看书，复习回忆等差数列和等比数列通项公式的推导过程；上网查找多米诺骨牌游戏的有关资料，并拷入优盘有待上课时老师选用。

教师准备教具：制作幻灯片，多米诺骨牌尽可能多一些，还有各种颜色的乒乓球若干，一个有盖纸盒。

八、教学过程设计：

教师提出问题：

大家还记得以前学等差数列的时候它的通项公式=n a ()d n a 11-+是怎样得到的吗? 我现展示给大家看：

d a a 011+=

d a d a a 1112+=+=

d a d a a 2123+=+=

d a d a a 3134+=+=

……

由此可知： ()d n a a n 11-+=（)*

∈N n （这是书上的写法）

师问：它是用什么方法得到的？（学生七嘴八舌议论开）

引入归纳法定义：

像这样，由特殊事例得到一般结论的推理方法叫做归纳法.即“由特殊到一般”的推理方法叫归纳法。

提出质疑：

同学们一直在用这通项公式,有没有谁对由这种归纳法得到的这一结论产生过怀疑? 我先给大家讲一个笑话：“从前，有个财主给他的儿子找了一个老师，第一天老师划了一横，说这是一个“一”字，第二天老师划了两横，说这是一个“二”字，到了第三天，财主儿子想今天老师一定会教“三”字，就预先在纸上划了三横，果然这天先生划了三横，说这是“三”字。于是财主儿子就得出了一个结论：第四天、第五天、……那一定是四横、五横……所以就对财主说：“爸爸，你用了着请老师了，我什么都会了。”于是财主很高兴，就把老师给辞退了。过了几天，财主要请一个姓万的亲戚吃饭，就叫儿子写请贴，可是等了半天，也不见儿子出来，财主就亲自到房间去催，只见儿子趴在地上，满头大汗，一见到财主就抱怨说：“什么不好姓，干么姓万，从大清早到现在，我才划了五百多横呢？”

这虽然是一则笑话，可财主的儿子怎么会得出“第四天、第五天、……那一定是四横、五横……”的结论呢？这里用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的。

因此，由归纳法得出的结论有可能是错误的，上面就是一个例子。

请问：现在你们会怀疑由归纳法得出的等差数列通项公式的正确性吗？

思考几个问题：

问题1、我这里有一个有盖纸盒（上有一个只能放进手的孔），里面装了若干10个乒乓球，

第一次拿出一个黄色球展示给学生看，第二次、第三次、第四次都拿出的是黄色球， 于是我说，第五次我拿出的也肯定是黄色球。

问题 2：数列{n a }的通项公式为22)55(+-=n n a n ,经计算

1,1,1,14321====a a a a ，于是，推测数列{n a }的通项公式为：n a ＝(n 2-5n+5)2＝1 问题3：数列为{2,4,8,16}，则它的通项公式为n a =2n (n ≤4，n ∈*N )

问题4：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和

为3•180°，于是有：凸n 边形的内角和为(n-2) • 180°。

师问：以上四个结论正确吗？为什么? （1错，2错，3对、4对）

（学法：让学生分小组（前后四人）展开讨论，三分钟后再请部分小组代表说出讨论结果。对第3小题，学生说对的，初中学过。那我问初中证明过吗？它一定正确吗？为什么？这时候学生茫然了？难道这也会有问题吗？激起了学生强烈的求知欲望，有的学生就迫不及待的想知道是怎么证的。我说，且慢，等上完这堂课你们自己就会证明了。） 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点？（学生思考并回答） 共同点：它们用的都是归纳法，即“由特殊到一般”的推理方法

不同点：问题1、2仅仅是对n 的允许值中的部分值进行了验证，问题3则是对n 的所有取值进行了验证。

这样，归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法。(板书两个定义)

请问，你对上面财主儿子识字所进行的推理方法有何说法？是哪一种归纳法？他的结论正确吗？是什么导致了他结论不正确呢？（是因为他用的是不完全归纳法，他只考察了部分对象，部分不能代替全部。）

问：完全归纳法得到的结论，是否一定是正确的？(正确)

不完全归纳法得到的结论，是否一定是正确的？（不一定）

你们能各举一个例子吗？生活中的，试一试。（大家议论开了）

既然用不完全归纳法得出的一般性结论不一定是正确的，它只是一种猜想、推测或估计，所得结论有可能是正确的，也可能是错误的。如果你说结论是错误的，可举反例去说明；如果你说结论是正确的，有理论作支持吗？你有什么理由说明或证明它的正确性？如上面的等差数列通项公式及三角形内角和公式，我们是由不完全归纳法得出的结论，它的