利用初中数学知识证明蝴蝶定理
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利用初中数学知识证明蝴蝶定理
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容:圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。
蝴蝶定理(Butterfly theorem)出现过许多优美奇特的解法,其中最早的,应首推霍纳在职1815年所给出的证法。至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它给予出的是面积证法,其中应用了面积公式:S=1/2BC·sinA。1985年,在河南省《数学教师》创刊号上,杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题,载文向国内介绍蝴蝶定理,从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
这里介绍一种利用初中数学知识证明蝴蝶定理的方法。
过O作OE,OF垂直AD,BC于点E,F,连接ME,MF,OX,OY,OM。
∵∠OEX=∠OMX=90°
∴O,E,X,M四点共圆
∴∠XOM=∠XEM
同理可证∠YOM=∠YFM
∵∠A=∠C,∠D=∠B
∴△ADM∽△CBM
∵ME,MF是对应边上的中线
∴△MED∽△MFB
∴∠XEM=∠YMF
∴∠XOM=∠YOM
又∵∠OMX=∠OMY=90°,OM是公共边∴△OMX≌△OMY
∴M为XY之中点