利用初中数学知识证明蝴蝶定理

利用初中数学知识证明蝴蝶定理

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

蝴蝶定理(Butterfly theorem)出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2BC·sinA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

这里介绍一种利用初中数学知识证明蝴蝶定理的方法。

过O作OE，OF垂直AD，BC于点E，F，连接ME，MF，OX，OY，OM。

∵∠OEX=∠OMX=90°

∴O，E,X,M四点共圆

∴∠XOM=∠XEM

同理可证∠YOM=∠YFM

∵∠A=∠C,∠D=∠B

∴△ADM∽△CBM

∵ME,MF是对应边上的中线

∴△MED∽△MFB

∴∠XEM=∠YMF

∴∠XOM=∠YOM

又∵∠OMX=∠OMY=90°，OM是公共边∴△OMX≌△OMY

∴M为XY之中点