介绍反证法及举例
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( 课本例5)
(自学课本例5)例2.求证： 2 是无理数.
证：假设 2是有理数，
2
∴ m = 2n
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n
∴ m = 2n
2 2
2
∴mLeabharlann Baidu2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k
2
2
∴n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为 什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - 那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎.
说谎者悖论
• M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是
反证法
故事引入
思维体会
介绍反证法 及举例 本课小结
练习1,2
反证法
阅读下面的故事 ,体会其中的推理: 《路边苦李》 古时候有个人叫王戎，7 岁那年的某一天和 小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得 把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王 戎站着没动。他说： “李子是苦的,我不吃。 ”小伙 伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。小伙伴问王 戎: “这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的 啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李 子早就没了！李子现在还那么多 ,所以啊,肯定李 子是苦的，不好吃!”
(1)用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设②归谬③结论
(2)用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与 假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等． (3)适宜使用反证法的情况: 正难则反! (1)结论以否定形式出现；(2)结论以“至多----,” ,“至 少---” 形式出现；(3)唯一性、存在性问题;(4)结论的反 面比原结论更具体更容易研究的命题。
所以假设不成立，2是有理数成立。
练习1,2
练习1.设0 < a, b, c < 1， 求证:(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于1/4
1 1 1 证：设(1 a)b > , (1 b)c > , (1 c)a > 4 4 4 1 ① 则三式相乘:(1a)b•(1b)c•(1c)a >
它的最简单的形式。
• 甲：这句话是错的。
• M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就
是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对
了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普
遍得多。
唐· 吉诃德悖论
• M：小说《唐· 吉诃德》里描写过一个国家．它有一条 奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问， 你来这里做什么？M：如果旅游者回答对了。一切都 好办。如果回答错了，他就要被绞死。 • M：一天，有个旅游者回答—— • 旅游者：我来这里是要被绞死。 • M：这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他 就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他 就说对了，就不应该绞死他。 • M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想 了好久，国王才说—— • 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。 我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
反证法证明命题的一般步骤如下 : 1.假设结论的反面成立 ; 反设
2.由这个假设 出发 , 经过正确的推理 , 归谬 ．． 导出矛盾; 推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3. 由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定 结论 命题的结论正确 .
举例(课本例4) ( 课本例5)
例1:用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦 不能互相平分。
你能举出一个类似故事《路边苦李》中的推理 的例子吗？
当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要 改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从“正面难 解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的 间接解法中的一种——反证法. (又比如课本的思考)
什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且 AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分. A O 证明： 假设弦AB、CD被P平分， 由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径 P 定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD， C 即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。 所以，弦AB、CD不被P平分。
已知 f ( x) x 2 px q ，求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有 1 一个不小于 。 2 1 分析：设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 ， 2 观察： f (1) 1 p q, f (2) 4 2 p q, f (3) 9 3 p q 得： f (1) 2 f (2) f (3) 2 所以 2= | f (1) 2 f (2) f (3) | ≤ | f (1) | 2 | f (2) | | f (3) | 1 1 1 < +2× + =2 这是不可能的，矛盾表明原结论成立。 2 2 2 解：略。说明： “至少”型命题常用反证法，由于其反面情况 也只有一种可能，所以属于归谬反证法。
64 2 (1 a ) a 1 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 0 (1 a )a ≤ 2 4 1 1 同理： (1 b)b ≤ (1 c )c ≤ 4 4 1
以上三式相乘:(1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 与①矛盾∴结论成立
幻灯片切换
方法小结: 1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. ⑴综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!) 由因导果:(已知) A B1 Bn B (结论)
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
⑵分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!) 执果索因:(结论) B B1 Bn A (已知)
a
C
F
1 求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 。 2
作业:课本 P 练习 1,2 102
1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点 O 在平面 内引直 P 线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC . 求证： PO . 证明：假设 PO 不垂直平面 。 A E 作 PH 并与平面 相交于 H， O H 此时 H、O 不重合，连结 OH。 F C B a 由 P 作 PE OA 于 E， PF OB 于 F，根据三垂线定理可知， HE OA ， HF OB .∵ POA POB ，PO 是公共边， ∴ Rt POE Rt POF ∴ OE OF 又 OH OH ∴ Rt OFH Rt OEH ∴ FOH EOH 因此，OH 是 AOB 的平分线。同理可证，OH 是 AOC 的平 分线。但是，OB 和 OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同 时是 AOB 和 AOC 的平分线，产生矛盾.∴ PO .
64
练习2
练习2.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0， abc > 0， 求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0
作业:课本 P 练习 1,2 102
选做作业: 1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点 O 在平面 内 引直线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC . 求证： PO . P
A E O H B
2.已知 f ( x ) x 2 px q ，
D
B
反证法是一种重要的数学思想方法，对于那些含有否 定词的命题， “至少”型命题、唯一性命题，尤为适宜。牛 顿说： “反证法是数学上最精良的武器之一 .” 这就充分肯 定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。 数学上很多有名的结论都是用反证法得证的. 比如说, 素数有无穷多个 , 2 是无理数的证明等.
(自学课本例5)例2.求证： 2 是无理数.
证：假设 2是有理数，
2
∴ m = 2n
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n
∴ m = 2n
2 2
2
∴mLeabharlann Baidu2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k
2
2
∴n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为 什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - 那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎.
说谎者悖论
• M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是
反证法
故事引入
思维体会
介绍反证法 及举例 本课小结
练习1,2
反证法
阅读下面的故事 ,体会其中的推理: 《路边苦李》 古时候有个人叫王戎，7 岁那年的某一天和 小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得 把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王 戎站着没动。他说： “李子是苦的,我不吃。 ”小伙 伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。小伙伴问王 戎: “这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的 啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李 子早就没了！李子现在还那么多 ,所以啊,肯定李 子是苦的，不好吃!”
(1)用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设②归谬③结论
(2)用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与 假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等． (3)适宜使用反证法的情况: 正难则反! (1)结论以否定形式出现；(2)结论以“至多----,” ,“至 少---” 形式出现；(3)唯一性、存在性问题;(4)结论的反 面比原结论更具体更容易研究的命题。
所以假设不成立，2是有理数成立。
练习1,2
练习1.设0 < a, b, c < 1， 求证:(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于1/4
1 1 1 证：设(1 a)b > , (1 b)c > , (1 c)a > 4 4 4 1 ① 则三式相乘:(1a)b•(1b)c•(1c)a >
它的最简单的形式。
• 甲：这句话是错的。
• M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就
是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对
了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普
遍得多。
唐· 吉诃德悖论
• M：小说《唐· 吉诃德》里描写过一个国家．它有一条 奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问， 你来这里做什么？M：如果旅游者回答对了。一切都 好办。如果回答错了，他就要被绞死。 • M：一天，有个旅游者回答—— • 旅游者：我来这里是要被绞死。 • M：这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他 就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他 就说对了，就不应该绞死他。 • M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想 了好久，国王才说—— • 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。 我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
反证法证明命题的一般步骤如下 : 1.假设结论的反面成立 ; 反设
2.由这个假设 出发 , 经过正确的推理 , 归谬 ．． 导出矛盾; 推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3. 由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定 结论 命题的结论正确 .
举例(课本例4) ( 课本例5)
例1:用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦 不能互相平分。
你能举出一个类似故事《路边苦李》中的推理 的例子吗？
当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要 改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从“正面难 解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的 间接解法中的一种——反证法. (又比如课本的思考)
什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且 AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分. A O 证明： 假设弦AB、CD被P平分， 由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径 P 定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD， C 即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。 所以，弦AB、CD不被P平分。
已知 f ( x) x 2 px q ，求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有 1 一个不小于 。 2 1 分析：设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 ， 2 观察： f (1) 1 p q, f (2) 4 2 p q, f (3) 9 3 p q 得： f (1) 2 f (2) f (3) 2 所以 2= | f (1) 2 f (2) f (3) | ≤ | f (1) | 2 | f (2) | | f (3) | 1 1 1 < +2× + =2 这是不可能的，矛盾表明原结论成立。 2 2 2 解：略。说明： “至少”型命题常用反证法，由于其反面情况 也只有一种可能，所以属于归谬反证法。
64 2 (1 a ) a 1 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 0 (1 a )a ≤ 2 4 1 1 同理： (1 b)b ≤ (1 c )c ≤ 4 4 1
以上三式相乘:(1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 与①矛盾∴结论成立
幻灯片切换
方法小结: 1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. ⑴综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!) 由因导果:(已知) A B1 Bn B (结论)
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
⑵分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!) 执果索因:(结论) B B1 Bn A (已知)
a
C
F
1 求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 。 2
作业:课本 P 练习 1,2 102
1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点 O 在平面 内引直 P 线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC . 求证： PO . 证明：假设 PO 不垂直平面 。 A E 作 PH 并与平面 相交于 H， O H 此时 H、O 不重合，连结 OH。 F C B a 由 P 作 PE OA 于 E， PF OB 于 F，根据三垂线定理可知， HE OA ， HF OB .∵ POA POB ，PO 是公共边， ∴ Rt POE Rt POF ∴ OE OF 又 OH OH ∴ Rt OFH Rt OEH ∴ FOH EOH 因此，OH 是 AOB 的平分线。同理可证，OH 是 AOC 的平 分线。但是，OB 和 OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同 时是 AOB 和 AOC 的平分线，产生矛盾.∴ PO .
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练习2
练习2.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0， abc > 0， 求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0
作业:课本 P 练习 1,2 102
选做作业: 1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点 O 在平面 内 引直线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC . 求证： PO . P
A E O H B
2.已知 f ( x ) x 2 px q ，
D
B
反证法是一种重要的数学思想方法，对于那些含有否 定词的命题， “至少”型命题、唯一性命题，尤为适宜。牛 顿说： “反证法是数学上最精良的武器之一 .” 这就充分肯 定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。 数学上很多有名的结论都是用反证法得证的. 比如说, 素数有无穷多个 , 2 是无理数的证明等.