工程力学 11 第11章 超静定结构

A
X1
Q=1
B
11
A
B
1X1
1
X
由X1引起B处(1处)沿X1位移
1
11
由X1方向单位力引起B处(1处) 沿X1位移
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小变形范围内
X1 1
1X1
11
在B处施加单位力Q=1
代入有
11X 1 1F 0
正则方程
11X 1 1F 0
求解 1F 积分法
AC： M1(x) F(a x) M1(x) (l x)
用车床加工细长轴时，经常 采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以 减少其变形。卡盘和辅助支撑 构成超静定系统。
第十一章 静不定结构
§11-1 静不定结构概述 §11-2 用力法解静不定结构 §11-3 对称及反对称性质的应用
11-1 静不定结构概述
一、静不定结构
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内
力的结构,统称为静不定结构或系统,也称为超静
无需写出
A
用求解1F 时的单位载荷即可
B C
11
1 EI
l
M (x)M (x)dx
1
0
EI
l M 2 (x)dx l3
0
3EI
11X 1 1F 0
求解 11
图乘法
Q=1
无需画图
用求解1F
时的单位载荷即可 ——自乘
M
A
B
11
l
l/3
F 1 M
A
B
C
11
M c
EI
1 EI
l l 2
2l 3
例题11-1 如图所示,车削工件安有尾顶针的简化模型,梁EI 为常数,试求支座反力.
A
F
A
F
（1）去掉多余约束代之 约束反力,得基本静定系
B
把 B 支座作为多余约束
X1
B AB 悬臂梁为基本静定系
X1 为多余反力
（2） 利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件
X1
A
1F
A
B
B
F
1X1
1F 由F引起B处(1处)沿X1位移 1X1由X1引起B处(1处)沿X1位移
1F —在基本静定系上,由原载荷引起的在X1作用点沿X1方向
C 外力超静定问题
F
第三类:在结构外部
和内部均存在多余约束,
即支反力和内力是静不 定的,也称联合静不定结 A
B
构.
内力超静定问题
判断下列结构属于哪类超静定
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
混合超静定
（d）
外力超静定
（e）
内力超静定
（f）
混合超静定
三、超静定次数的判定
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差 即为结构的超静定次数；
BC：M 2 (x) 0
M 2 (x) (l x)
A
1F B
C
aF
l
1F 由F引起B处(1处)沿X1位移
F 1
A
C
B
1 F
1 EI
a
M
(x)M
( x )dx
Fa3
Fa 2l
0
6EI 2EI
11X 1 1F 0
求解 1F 图乘法
A
1F
B
C
aF
l
M Fa
a/3
F 1 M
Mc l a/3
相当系统——在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系 统称为静不定问题的相当系统。
B
A
F
B
A
F
B
A
F
C
超静定结构
C
基本静定系
C
相当系统
五、分析方法
1.力法:以未知力为基本未知量的求解方法; •在求解静不定结构时，一般先解除多余约束，代之以多 余约束力，得到静定基。 •再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。
三、超静定次数的判定
（3）混合静不定系统的静不 定次数： 先判断外静不定次数， 后判断内静不定次数， 二者之和为结构静不定次数。
四、 静定基和相当系统
静定基——解除静不定结构的某些约束后得到静定结构， 称为原静不定结构的基本静定系（简称）。静定基的选择 可根据方便来选取，同一问题可以有不同选择。
l3 3EI
l
Mc
X1
1F
11
Fa2 a 3l
6EI
二、力法正则方程
上例中以多余力为未知量的变形协调方程可改写成下式
11 X 1 Δ1F 0
变形协调方程的标准形式,即所谓的力法正则方程. X1— 多余未知量；
11— 在基本静定系上, X1取单位值时引起的在X1作用点X1 方
向的位移;
2.位移法: 以未知位移为基本未知量的求解方法.
§11-2 用力法解静不定结构
一、力法的求解过程
1.判定超静定次数 解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X1, X2 ,X3···代替 多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的 “相当系统”; 2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力; 4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形.
外载荷为平面力系，则 为三次外静不定静
为空间力系，则 为六次外静不定
三、超静定次数的判定
（2）内力超静定次数的判定:
一个平面封闭框架受力为平 面结构时，为三次内力超静 定;为空间受力结构，则为6次 超静定。
平面桁架的内力超静定次数
=未知力的个数-二倍的节点数.
静定系
基本系中增加 了一约束杆， 因而为一次超 静定
定结构或系统.
在静不定结构中,超过维持静力学平衡所必 须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力
称为多余约束反力,多余约束的数目为结构的静 不定次数.
二、静不定问题分类
B
A
第一类:仅在结构外部存在多余
约束,即支反力是静不定的,可称为
F
外力静不定系统;
第二类:仅在结构内部存在多余 约束,即内力是静不定的,可称为内力 静不定系统;
11 静不定结构
工程中的超静定结构
在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提 高构件的承载能力 .
塔式吊车起重臂可简化为外伸粱结构,当需要延长主臂以 增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?
辅助支撑
跟 刀 架
顶 尖
在铣床上洗削工件时，为 防止工件的移动并减小其变形 和振动，需要增加辅助支撑， 虎钳和辅助支撑构成系统
变形协调条件： B点的 挠度为
Δ1 X1 Δ1F 0
1X1表示由于X1作用在静定基上时,X1作用 B 点沿X1方向的位
移.
1F表示荷载 F (广义力) 作用在静定基上时,X1作用 B点沿X1
方向的位移.
1F 1X1 0
A
求解这两个量
1F
由于F已知，故用莫尔积分易求
B
F
1F 由F引起B处(1处)沿X1位移
l
l
A
B
C
l Mc
1F
M c
EI
1 EI
Fa a 2
(l
a) 3
Fa3 6EI
Fa 2l 2EI
11X 1 1F 0 A
Q=1 B
求解
积分法
11
11
AB：
11 由X1引起B处(1处)沿X1位移
M (x) Q(l x) (l x)
M (x) F (l x) (l x)
F 1