机械振动引起基础振动的控制设计方法_况浩伟

=0
（ 11 ）
令 μ= 把 μ 代入等式（ 11 ） 可得 k k 显然不等于 0 ， 所以由行列式解得 μ1 = 公式（ 9 ） 可变形为 υ1 o = P0 P0 k2 k2 = · 2 2 2 2 k 1 m2 （ ω2 － ω2 m1 m2 （ ω2 － ω2 1 ） （ ω － ω2 ） 1 ） （ ω － ω2 ） 1 = υ1st· 2 2 ω ω － 2 ． 618 － 0 ． 382 * * ω1 ω1 2 －μ －1 =0 －1 1 － μ （ 13 ）
(
m1 0
0 m2
)( ) (
¨ υ 1
υ2
¨
+
k1 + k2 － k2
－ k2 k2 υ1 o υ2 o
)( ) ( )
υ1 υ2 = 0 P0
sin ωt
（1）
稳态解可以假设为
( ) ( )
υ1 ( t ) υ2 ( t ) = － k2
sin ωt
（2）
即 m1 在自由度方向上的位移幅值； υ1o 表示 υ1 的幅值， υ2o 表示 υ2 的幅值， 即 m2 在自由度方向上的位移幅值。 得到 把式（ 2 ） 代入式（ 1 ） ，
Abstract： In order to study the excessive foundation vibration produced by mechanical vibration ，this paper firstly deduce a displacement amplitude formula based on dynamics theory and a simplified 2DOF model consisting of machine and foundation underneath． The functional expression of dynamic magnification factor and relevant parameters is put forward by assuming stiffness ratio and mass ratio of machine and foundation． Then we establish and solve an inequality by using general expression and maximum dynamic magnification factor． At last ，we know how to solve three sorts of engineering problems by using above conclusions． First ，if each parameter of machine is known ，design parameters of the foundation． Second ，if each parameter of foundation is known ，design parameters of the machine． And third，if all parameters of machine and foundation are known ，assess foundation influence exerted by mechanical vibration． Key words： vibration control； mechanical vibration； foundation vibration； dynamic magnification factor； 2DOF； natural frequency
1
基础位移幅值表达式 υ1o 的推导
为了研究机械与基础振动的相互关系 ， 本文把机械与基础体系简化为如图 1 所示的无阻尼两自由度体 k2 分别为连接基础和机械与基础相连的竖向刚度。 设 系， 其中， 质量 m1 代表基础；质量 m2 代表机械。 k1 、 机械受竖向外力动荷载 P （ t） = P0 sin ωt 产生竖向的振动。 υ1 、 υ2 分别表示 t 时刻基础与机械的位移。 需要 m2 、 k1 、 k2 、 P0 等参数满足什么关系时， 研究的问题是：当 m1 、 ω、 基础的最大位移 υ1o 不超过基础容许的最大位 移。 如图 1 所示的体系的固有频率分别为 ω1 和 ω2 。 m2 上受谐振力 P （ t） = P0 sin ωt 的激励作用， 该体系的运动方程为
2
2． 1
实例对比分析研究
对比分析方法 实例对比分析研究是基于基础位移幅值 υ1o 表达式， 通过假定 5 个案例下不同的刚度比 k1 / k2 及质量比
* * m1 / m2 ， 分别得到基础动力放大系数 D 与频率比 ω / ω1 及 ω / ω2 的函数关系式， 再通过函数关系式画出其关 * * m1 组 成 的 下 部 结 构 固 有 频 率 为 ω1 ， ω1 = 系曲线 图， 最 后 通 过 对 比 分 析 得 出 相 关 规 律 。 其 中， 由 k1 、 * * m2 组成的上部结构固有频率为ω2 ， k 2 / m2 。 k 1 / m 1 ；由 k 2 、 ω2 = 槡 槡
2 2 det［ k － ω2 m］= m1 m2 （ ω2 － ω2 1 ） （ ω － ω2 ）
（6） （7）
这样， 式（ 5 ） 成为
( )
υ1 o υ2 o
=
2 k 2 － m2 ω 1 det［ k － ω2 m］ k2
0 k1 + k2 － m1 ω P 0 k2
2
( ) ( )
= 0 P0
（4）
k － ω2 m］－ 1 ， 给出 将上式前乘以［ υ1 o 0 P0 1 adj［ k － ω2 m］ =［ k － ω2 m］－ 1 = 2 P0 det［ k － ω m］ υ2 o 0
( )
( )
( )
（5）
·］ ·］ ·］ 的行列式和伴随矩阵。根据频率方程 这里 det［ 和 adj［ 分别表示矩阵［ det［ k － ω2 m］= 0 可以用这两个频率将行列式表示为 能够求出体系的固有频率 ω1 和 ω2 ，
2． 2
实例 1 m1 = m2 = m 。 实例 1 ：假定 k1 = k2 = k，
* （ 1 ） 求解 D 与ω / ω1 函数
m1 = m2 = m ， k － ω2 m］= 0 得 把 k1 = k2 = k ， 代入 det［ 2 －1 1 k － ω2 m －1 1 0
(
)
( )
0 1
第 34 卷 第 2 期 2014 年 4 月
地
震
工
程
与
工
程
振
动
EAＲTHQUKE ENGINEEＲING AND ENGINEEＲING DYNAMICS
Vol． 34 No． 2 Apr． 2014
文章编号：1000 － 1301 （ 2014 ） 02 － 0154 － 07
DOI：10． 13197 / j． eeev． 2014． 02． 154． kuanghw． 020
机械振动引起基础振动的控制设计方法
况浩伟，白 羽，周立超，吴国强
（ 昆明理工大学 建筑工程学院，云南 昆明 650500 ）
摘
要：为研究机械振动对基础产生的影响， 以机械和下部基础简化的两自由度体系为模型， 应用动
力学理论得出了基础在自由度方向的振动位移幅值表达式 。 通过假定基础与机械的刚度比及质量 比， 建立了基础振动的动力放大系数与相关参数的函数关系式 。运用推导的动力放大系数的一般表 达式， 并以容许的最大动力放大系数为控制参数建立求解不等式 。最终得出了如何运用上述结论来 解决实际工程的三类问题：第一类是已知机械的各参数， 需要设计其基础的问题；第二类是已知基础 的各参数， 需要设计机械的问题；第三类是已知机械、 基础的各参数， 需要评判机械振动是否对其基 础产生过大影响的问题 。 关键词：振动控制； 机械振动； 基础振动； 动力放大系数； 两自由度； 固有频率 中图分类号：TU4 ；TU352． 1 ；P315． 93 文献标志码：A
2 k1 + k2 － m1 ω － k2
0 υ1 o = P0 k 2 － m 2 ω2 υ2 o υ1 o υ2 o
( ) ( )
图1
机械与基础两自由度体系 2DOF system of machine and foundation
（3）
Fig． 1
或
［ k － ω2 m］
引言
人们已意识到对机械产品进行动力特性分析和设计的重要性 ， 并在机械振动领域做了大量的研究 ， 但除
收稿日期：2013 － 06 － 28 ； 修订日期：2013 － 07 － 26
基金项目：国家自然科学基金项目（ 51368027 ） mail： kuanghaowei@ qq． com 作者简介：况浩伟（ 1986 － ） ， 男， 博士研究生， 主要从事房屋减隔震研究． E通讯作者：白 mail： baiyu_kust@ yahoo． com． cn 羽（ 1964 － ） ， 男， 教授， 博士， 主要从事房屋减隔震研究． E-
第2 期
况浩伟， 等：机械振动引起基础振动的控制设计方法
155
了机械振动对机械本身造成的影响外 ， 还涉及了大量机械振动对基础及周围建筑物的影响 。 而机械是否对 现有的基础产生影响， 以及对同基础上的其它仪器设备是否产生影响这方面的研究还很少 。 如何控制机械 振动引起的环境振动， 已经成为机械、 航空、 土建、 水利等工程领域内经常需解决的设计问题 。 本文针对如何控制机械振动引起的基础振动问题 ， 从简单的无阻尼两自由度体系入手 ， 研究了机械振动 对基础的影响， 通过理论推导及相关动力参数的分析 ， 不但可以深入了解机械振动造成地面或基础振动的机 理， 还为如何控制机械振动对基础产生影响 ， 从而进行动力基础设计， 以及机械振动是否对同基础上的其它 仪器设备产生影响的快速评价等工程实际问题提供了理论基础 。 本文仅以竖向两自由度体系进行了深入讨论分析 ， 其结果可推广到水平两自由度， 还可以加上旋转自由 度或阻尼， 这样计算就要复杂得多， 但解决的思路相同。
2 m1 2 m 2 ω ω = ω =（ * ） k1 k ω1
（ 12 ）
( )
ω1 * ω1
2
= 2 ． 618 ， μ2 =
( )
ω2 * ω1
2
= 0 ． 382
（ 14 ）
(( )
)( ( )
ω * ω1
)
（ 15 ）
所以 D= υ1 o = υ1st
(( )
2
－ 2 ． 618
)( ( )
ω * ω1
*
1
2
－ 0 ． 382
)
（ 16 ）
其中， υ1st = P0 / k1 为基础在 P0 作用下的静位移 根据函数关系式画出对应 所求得的公式（ 16 ） 表示了动力放大系数 D 与频率比 ω / ω1 之间的函数关系， D 的曲线图 2 （ a） 。由坐标图可以看出， 存在两个间断点， 当频率比 ω / ω1 趋于 1 ． 618 （ 即 ） 或 0 ． 618 （ 即 ） 时， 趋于无穷大；且存在一个数 θ， 当 ω / ω1 （ 2 ） 求解 D 与 ω / ω 函数 令 ν=
Design method of controlling foundation vibration caused by mechanical vibration
KUANG Haowei，BAI Yu，ZHOU Lichao，WU Guoqiang
（ Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500 ，China）
( )
（8）
或 υ1 o = P0 k2 m1 m2 （ ω － ω1 2 ） （ ω2 － ω2 2 ）
2
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地
震
工
程
与
工
程
振
动
第 34 卷
υ2 o =
P 0 （ k 1 + k 2 － m1 ω2 ） m1 m2 （ ω2 － ω1 2 ） （ ω2 － ω2 2 ）
（ 10 ）
通过以上理论推导， 得到了体系中两个自由度方向的位移幅值 。但由于表达式过于复杂， 它对实际工程 并无太大意义。为了更好地探究机械对基础影响问题 ， 并使理论更好地应用于工程实践， 下面做了进一步假 设， 并引入了实例对比分析研究方法 。