3、机器人的位姿描述与坐标变换
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第3章 位姿描述和齐次变换
ZB ZA YB
P
AP
XB
OA
YA
A
参考坐标系{A}
机器人研究所
4
第1节 位置和姿态的表示
位置描述（Description of Position）
px A p p y pz
Ap
zA
{A}
p
A
p
：p点在坐标系{A}中的表示，
xA
oA
yA
也称作位置矢量。
图1 位置表示
齐次的，将其等价为齐次变换形式：
A A p B R | A pBo B p 0 0 0 | 1 1 1
A A B p B R p A pBo A
直角坐标
齐次坐标
等价于
p A BT
B
p
11
齐次变换
机器人研究所
22
第3节 齐次坐标变换
机器人研究所14坐标变换复合变换compositetransform机器人研究所15例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所16例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所17例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所18例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述3030086605303030050866坐标变换机器人研究所19例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所20例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述0866051211098050866坐标变换第第33节节齐次坐标变换齐次坐标变换旋转变换通式第三章位姿描述和齐次变换机器人研究所22齐次坐标变换齐次坐标和齐次变换坐标变换式中对于点是非齐次的将其等价为齐次变换形式
P
AP
XB
OA
YA
A
参考坐标系{A}
机器人研究所
4
第1节 位置和姿态的表示
位置描述（Description of Position）
px A p p y pz
Ap
zA
{A}
p
A
p
：p点在坐标系{A}中的表示，
xA
oA
yA
也称作位置矢量。
图1 位置表示
齐次的，将其等价为齐次变换形式：
A A p B R | A pBo B p 0 0 0 | 1 1 1
A A B p B R p A pBo A
直角坐标
齐次坐标
等价于
p A BT
B
p
11
齐次变换
机器人研究所
22
第3节 齐次坐标变换
机器人研究所14坐标变换复合变换compositetransform机器人研究所15例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所16例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所17例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所18例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述3030086605303030050866坐标变换机器人研究所19例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述坐标变换机器人研究所20例21已知坐标系b的初始位姿与a重合首先b相对于坐标系a的zb0和旋转矩阵求它在坐标系a中的描述0866051211098050866坐标变换第第33节节齐次坐标变换齐次坐标变换旋转变换通式第三章位姿描述和齐次变换机器人研究所22齐次坐标变换齐次坐标和齐次变换坐标变换式中对于点是非齐次的将其等价为齐次变换形式
机器人技术基础实验报告2(机器人空间位姿描述)
机器人技术基础实验报告班级：学号：姓名：台号： 2 课程：2.机器人空间位姿描述成绩：批改日期：教师签字：实验目的：1、认识机器人位置与姿态的描述方式2、了解多种姿态的描述方法实验设备及软件:1、珞石XB4机器人2、MATLAB实验原理:位置描述：建立坐标系后可以用一个3×1的位置矢量对坐标系中的任何点进行定位。
用三个相互正交的带有箭头的单位矢量来表示一个坐标系{A}.用一个矢量来表示一个点P A ，并且可等价地被认为是空间的一个位置矢量，或者简单地用一组有序的三个数字来表示。
矢量的各个元素用下标x，y和z 来标明：姿态描述：为了描述物体的姿态，需要在物体上固定一个坐标系并且给出此坐标系相对于参考系的表达。
用X B 、Y B和Z B来表示坐标系{B}主轴方向的单位矢量。
在用坐标系{A}的坐标表达时，写成X B A、Y B A、Z B A。
这三个单位矢量按照顺序排列组成一个3×3的矩阵，称之为旋转矩阵。
记为：R B A= [X B A Y B A Z B A]分别绕X 轴，Y轴，Z轴的旋转变换为：坐标系变换是一个坐标系描述到另一个坐标系描述的变换。
被描述的空间点本身没有改变，只是它的描述改变了。
一般情况下坐标系{A}与坐标系{B}既存在位置差异又存在姿态差异。
则相对于坐标系{B}描述的点PB在坐标系{A}下的描述为：AP A=R B A P B+P BORG为了简化表达，可改写为：[P A1]=[R B A P BORG A 01][P B 1]=T B A[P B 1] 其中T B A =[RB A P BORGA01]为4×4矩阵，称为齐次变换矩阵。
描述了坐标系{B} 相对于坐标系{A}的变换。
姿态其他描述： X-Y-Z 固定角 等效转轴表示法 X-Y-Z 欧拉角 四元素法 1、X-Y-Z 固定角:坐标系{B}的方位规则如下：最初坐标系{B}与{A}重合，转动相对固定坐标系{A}来描述，先绕X A 轴转γ 角 ，再绕Y A 轴转β角，最后绕Z A 轴转α角。
2、机器人的位姿描述与坐标变换
机器人学第二章机器人的位姿描述与坐标变换战强北京航空航天大学机器人研究所第二章 机器人的位姿描述与坐标变换 机器人的位姿连杆I 的位姿YX ZYi XiZi YwXwZw2-1、基本概念1) 自由度(Degree of Freedom, DOF)：指一个点或一个物体运动的方式，或一个动态系统的变化方式。
每个自由度可表示一个独立的变量，而利用所有的自由度，就可完全规定所研究的一个物体或一个系统的位置和姿态。
也指描述物体运动所需的独立坐标数，3维空间需要6个自由度。
2) 操作臂(Manipulator)：具有和人手臂(Arm)相似的功能、可在空间抓放物体或进行其它操作的机电装置。
----Arm3) 末端执行器(End-Effector)：位于机器人腕部的末端，直接执行工作要求的装置。
如灵巧手、夹持器。
----Hand/Gripper4) 手腕(Wrist)：位于执行器与手臂之间，具有支撑和调整末端执行器姿态功能的机构。
操作臂的组成部分之一。
5)手臂(Arm)：位于基座和手腕之间，由操作手的动力关节和连杆等组成的组件。
能支撑手腕和末端执行器，并具有调整末端执行器位置的功能。
操作臂的组成部分。
Outdated！6) 世界坐标系(World Coordinate System)：参照地球的直角坐标系。
7)机座坐标系、基坐标系(Base reference coordinate system)：参照机器人基座的坐标系，即机器人末端位姿的参考坐标系。
8)坐标变换(Coordinate Transformation)：将一个点的坐标描述从一个坐标系转换到另一个坐标系下描述的过程。
手腕机座手臂Yw XwZw9)位姿(Position&Pose)：机器人末端执行器在指定坐标系中的位置和姿态。
10)工作空间(Working Space)：机器人在执行任务时，其腕轴交点能在空间活动的范围。
由连杆尺寸和构形决定。
第3章 机器人位姿的数学描述与坐标变换
x=a(1-cos) , y=a(1-sinθ)
第3章 机器人位姿的数学描述与坐标变换
3.1 机器人位姿的数学描述
#假设机器人的连杆和关节都是刚体 （1）首先，建立一个参考坐标系； （2）然后，在刚体上任意建立一个刚体坐标系。
Z Z'
O' Y'
O
X'
X Y
第3章 机器人位姿的数学描述与坐标变换
刚体位置：
,
)
=
？
j i
R(,q
,
)
=
R(Z
,
)
R(Y
,q
)R(Z
,
)
绕动坐标轴依次转动时，每 个旋转矩阵要从左往右乘。
Z2
Zj
Zi (Z1)
q
q
Yj
（Y2 )
q Y1
Yi
Xi
X1 X2 X j
第3章 机器人位姿的数学描述与坐标变换
cos − sin 0 cosq 0 sinq cos − sin 0
R(Z
i
,q
)
=
s
inq
cosq
0
0
0 1
Zi Zj
q Xi
Xj
Yj q
Yi
第3章 机器人位姿的数学描述与坐标变换
1 0
0
j i
R(
X
i
,q
)
=
0
cosq
−
s in q
0 sinq cosq
cosq 0 sinq
j i
R(Yi
,q
)
=
0
1
0
− sinq 0 cosq
3机器人的位姿描述与坐标变换
利用旋转矩阵的正交性质:
假设：
整理得：
旋转变换通式
讨论：
（1）
（2）
（3）
例：坐标系B原来与A重合，将坐标系B绕过原点O的轴线
转动
，求旋转矩阵
解答：
1）
2）
3）带入旋转通式得：
2、等效转轴与等效转角
转轴和转角
旋转矩阵
1
2？
1）将方程两边矩阵的主对角线元素分别相加，则
2）将方程两边矩阵的非对角线元素成对相减得：
►绕多个坐标轴旋转的转动矩阵
1）、绕固定坐标系旋转
2）、绕运动坐标系旋转
ZYZ欧拉角
注意：多个旋转矩阵连乘时，次序不同则含义不同。1）绕新的动坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从左往右乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相同；2）绕旧的固定坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从右往左乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相反。
解：
1）
2）
Z
i
X
i
Y
i
P
坐标系j由坐标系i旋转而成
求点P在i坐标系的坐标：
已知点P在j坐标系的坐标：
P
☺
►姿态矢量矩阵
坐标系j相对于i的方位
旋转矩阵的性质：
旋转矩阵
►绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
1）RX
2）RY
3）RZ
转动矩阵的特点：(1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦/正弦；(2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应；(3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0；(4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现的为正，反之依然。
2、变换矩阵T的相乘 ★矩阵相乘的顺序一般不可换，特殊可换的情况为变换都是同参考系下的平移或绕同一坐标轴的旋转。
假设：
整理得：
旋转变换通式
讨论：
（1）
（2）
（3）
例：坐标系B原来与A重合，将坐标系B绕过原点O的轴线
转动
，求旋转矩阵
解答：
1）
2）
3）带入旋转通式得：
2、等效转轴与等效转角
转轴和转角
旋转矩阵
1
2？
1）将方程两边矩阵的主对角线元素分别相加，则
2）将方程两边矩阵的非对角线元素成对相减得：
►绕多个坐标轴旋转的转动矩阵
1）、绕固定坐标系旋转
2）、绕运动坐标系旋转
ZYZ欧拉角
注意：多个旋转矩阵连乘时，次序不同则含义不同。1）绕新的动坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从左往右乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相同；2）绕旧的固定坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从右往左乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相反。
解：
1）
2）
Z
i
X
i
Y
i
P
坐标系j由坐标系i旋转而成
求点P在i坐标系的坐标：
已知点P在j坐标系的坐标：
P
☺
►姿态矢量矩阵
坐标系j相对于i的方位
旋转矩阵的性质：
旋转矩阵
►绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
1）RX
2）RY
3）RZ
转动矩阵的特点：(1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦/正弦；(2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应；(3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0；(4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现的为正，反之依然。
2、变换矩阵T的相乘 ★矩阵相乘的顺序一般不可换，特殊可换的情况为变换都是同参考系下的平移或绕同一坐标轴的旋转。
机器人运动学-1位姿表示,坐标变换 第五讲 数理基础共27页
0
0
0
3
0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 1 0 2
0 0 0
1
0
0 0 1 0
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
APA BTBP, A BTB A0 R AP 1B0
三、齐次坐标变换
2.平移齐次坐标变换
{A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距 离的平移齐次变换矩阵写为：
1 0 0 a Trans(a,b,c) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。
3.位姿描述
• 刚体位姿(即位置和姿 态),用刚体的方位参考
坐标的原点位置矢量和
旋转矩阵表示，即
B B A RA p B 03 4
•
表示位置时，A B
R
• 表示姿态时，ApB0＝0
一、位置和姿态的表示
4.机器人手爪坐标系
T noaP
n:法向矢量 (normal)
o:方向矢量
(orientation) a:接近矢量 (approach) P:位置矢量 (position)
0 1 0 07 3
R(z,90) 1
0
0
0.3＝
7
0 0 1 02 2
0
0
0
11
1
0 0 1 03 2
R(y,90)
0
1 0 0. 7 ＝7
1 0 0 0 2 3
0
0
0
1
1
1
例4-4：在上述基础上再平移（4，-3，7）。
1 0 0 42 6 Tra(n4,s3,7)0 1 0 3.7＝4
因此旋转矩阵是单位正交矩阵，具有如下特性： B AR1B ART B AR1
机器人学--坐标转换
1
p px py pz T ,n nx ny nz T ,o ox oy oz T ,a ax ay az T
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换 及逆变换
3.变换方程初步 {B}:基坐标系 {T}:工具坐标系 {S}:工作台坐标系 {G}:目标坐标系
或工件坐标系 满足方程
A P
1
A B
R
0
A
PB 1
0
B P
1
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
(2-14)
AP Ax A y Az 1T ,BP Bx B y Bz 1T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A P ABTB P,
ABT
A B
R
0
A
PB0 1
(2-15,16)
Robotics 数学基础
ny
oy
ay
0
fx
f
yvers
f z s
fy fyvers c
fz fyvers fxs 0
nz 0
oz 0
az 0
0 1
fx
f z v ers 0
f y s
fy fzvers fxs 0
fz fzvers c 0
0 1
将上式对角线元素相加,并简化得
nx
oy
az
(
f
2 x
f
2 y
f
2023最新整理收集 do
something
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
2.1 位置和姿态的表示 2.2 坐标变换 2.3 齐次坐标变换 2.4 物体的变换及逆变换 2.5 通用旋转变换
工业机器人位姿描述
其中， n • n o • o a • a 1
n•a a•o o•n 0
故旋转矩阵是正交矩阵，并且满足条件
BAR1BART ;
A B
R
1.
8
上海电机学院
2个常用的公式：
a b axbx ayby azbz
i jk
a b ax a y az (aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
引言
1
多自由度 单自由度
上海电机学院
引言
机器人运 动学问题
运动学正 已知机器人中各运动副的运动
问题
参数，求末端执行器位姿。
运动学逆 已知末端执行器位姿，求各
问题
运动副的运动参数。
2
上海电机学院
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics HERE!
运动学正问题
bx by b z
9
上海电机学院
位姿描述——姿态的描述(旋转矩阵)
位置矢量 旋转矩阵
刚体的位姿
齐次坐标
10
非方阵
nx ox ax px
A ny
oy
ay
p
y
nz oz az pz
上海电机学院
位姿描述——齐次坐标
将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即 为n维坐标的齐次坐标。
运动学逆问题
How do I put my hand here?
Inverse Kinematics: Choose these angles!
3
上海电机学院
第3章 工业机器人运动学和动力学
工业机器人技术基础
直角坐标系下，用户可控制机器人末端沿坐标系任一方 向移动或旋转，常用于现场点位示教。
机器人 末端
右手定则
直角坐标系
1 机器人坐工标业系机器人基础知识
（2）直角坐标系 由于轨迹为空间插补，所以会遇到指定的位置和姿态不
能到达，即奇异现象。 常见的奇异有：
a）4、6轴共线附件，即5轴角度0附件。 b）2、3、5轴关节坐标系原点接近共线，即已经到达工作范 围边界。 c） 5轴关节坐标系原点在Z轴正上方附近。
T6
0 n
R
0
0 n
p
1
ny
nz 0
oy oz 0
ay az 0
p
y
pz 1
3 机器人运工动业学机器人基础知识
逆运动学计算：
如何选取 某个解
3 机器人运工动业学机器人基础知识
逆动学应注意的问题：奇异性 奇异性：造成机器人运动能力缺失（缺少自由度）的特性。 工具坐标系常见的奇异有：
建立了各连杆坐标系后，n-1系与n系间的变换关系可以用坐标系的平移、旋转来实现。 从n-1系到n系的变换，可先令以n-1系绕Z n-1轴旋转θn角，再沿Z n-1轴平移dn ，然后沿Xn轴平移an ，最后绕 Xn轴旋转αn角，使得n-1系n系重合。 上述四次变换时应注意到坐标系在每次旋转或平移后发生了变动，后一次变换都是相对于动系进行的，因 此在运算中变换算子应该右乘。
动力学 ——动力学方程
惯性
离心
哥氏Leabharlann 粘摩静摩重力
外力
关节
力
力
力
擦
擦
力矩
••
•
••
•
•
B(q) q C1(q) q C2(q, q) q Fv q Fssign(q) G(q) f
机器人 末端
右手定则
直角坐标系
1 机器人坐工标业系机器人基础知识
（2）直角坐标系 由于轨迹为空间插补，所以会遇到指定的位置和姿态不
能到达，即奇异现象。 常见的奇异有：
a）4、6轴共线附件，即5轴角度0附件。 b）2、3、5轴关节坐标系原点接近共线，即已经到达工作范 围边界。 c） 5轴关节坐标系原点在Z轴正上方附近。
T6
0 n
R
0
0 n
p
1
ny
nz 0
oy oz 0
ay az 0
p
y
pz 1
3 机器人运工动业学机器人基础知识
逆运动学计算：
如何选取 某个解
3 机器人运工动业学机器人基础知识
逆动学应注意的问题：奇异性 奇异性：造成机器人运动能力缺失（缺少自由度）的特性。 工具坐标系常见的奇异有：
建立了各连杆坐标系后，n-1系与n系间的变换关系可以用坐标系的平移、旋转来实现。 从n-1系到n系的变换，可先令以n-1系绕Z n-1轴旋转θn角，再沿Z n-1轴平移dn ，然后沿Xn轴平移an ，最后绕 Xn轴旋转αn角，使得n-1系n系重合。 上述四次变换时应注意到坐标系在每次旋转或平移后发生了变动，后一次变换都是相对于动系进行的，因 此在运算中变换算子应该右乘。
动力学 ——动力学方程
惯性
离心
哥氏Leabharlann 粘摩静摩重力
外力
关节
力
力
力
擦
擦
力矩
••
•
••
•
•
B(q) q C1(q) q C2(q, q) q Fv q Fssign(q) G(q) f
机器人技术 数学基础-位姿描述与齐次变换
nx ox ax Px
Fobject
ny
nz 0
oy oz 0
ay az 0
Py
Pz 1
二、刚体位姿的数学描述
2. 约束变量
由刚体（坐标系）在参考坐标系的齐次矩阵表达可知， 该矩阵有12个变量，但描述刚体位姿只需要6个变量（自由 度）就足够了，因此，齐次矩阵中12个变量之间并不是相互 独立的，而是有约束的，约束条件为：
(O')
y
Pxyz Px ix Py jy Pz kz Puvw Pxyz u
x
三、刚体位姿的坐标变换
② 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系Σoxyz 中的位置
Puvw Pu iu Pv jv Pw kw
已知：
z w
P点在ΣO´uvw中是不变的仍然成
a= x , b= y , c= z ，w为比例系数 w ww
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
x
V
y z
x
y
z
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
wT 作为通用比例因子，它可取任意正值，但
w
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
一、点、向量和坐标系的齐次表示
因此，习惯上用W＝1表示向量的长度，用W＝0表示向量的 方向，而且方向向量一般表示成单位向量的形式。形式如下：
机器人位姿描述基本术语
4) 手腕(Wrist)：位于执行器与手臂之间，具 有支撑和调整末端执行器姿态功能的机构。 操作臂的组成部分之一。
手Z 腕
X
5)手臂(Arm)：位于基座和手腕之间，由操作
机器人的位姿描述 PPT
即:
ip
i j
R
j
p
ｚi ｚj
ｏi ｘi ｏj
ｘj
p
ｙj ｙi
3、2 齐次变换及运算
3、另一种解释 对同一个数学表达式能够给出多种不
同的解释,前面介绍的是同一个向量在不同 的坐标系的表示之间的关系。
上述数学关系也能够在同一个坐标系 中解释为向量的“向前”移动或旋转,或则, 坐标系“向后”的移动或旋转。
坐标分量用(x, y, z) 表示,若有四个不同时为 零的数 (x, y, z, k)与三个直角坐标分量之间存 在以下关系:
x x , y y , z z
k
k
k
则称 ( x, y, z, k)是空间该点的齐次坐标。
以后用到齐次坐标时,一律默认k=1 。
3、2 齐次变换及运算
2、齐次坐标变换
为何使用齐次坐标？
M ij
ny
nz 0
oy oz 0
ay az 0
py
0
1
0
pz 1
0 0
0 0
1 0
p
y
ny
pz 1
n0z
oy oz 0
ay az 0
0 0 1
t rans( px , py , pz ) Rot(k0 , )
注意:1、这个地方的平移和旋转都是相对{i} 坐标系的,即绝对变换。
2、矩阵相乘的次序是不可交换的。
3、2 齐次变换及运算
结论:左乘和右乘原则: 绝对运动变换矩阵左乘,即先做的在右边, 后做的在左边。 相对运动变换矩阵右乘,即先做的在左边, 后做的在右边。
3、2 齐次变换及运算
例3(3-2):已知坐标系{B}先绕坐标系{A}的z轴 旋转90°,再绕坐标系{A}的x轴旋转90°,最后沿 矢量P=3i-5j+9k平移得到,求:坐标系{A}与{B} 之间的齐次坐标变换矩阵MAB。 解:绝对运动,左乘原则。
04-机器人课程-运动学
1、机器人运动学
1.5机器人微分运动及速度
机器人的微分运动是研究机器人关节变量的微小变化与机器人手部位姿的微小变化 之间的微分关系。如果已知两者之间的微分关系，就可以解决机器人微分运动的两 类基本问题：一类是在已知机器人各个关节变量的微小变化时求机器人手部位姿的 微小变化；另一类是在已知机器人手部位姿的微小变化时求机器人各个关节变量相 应的微小变化。机器人的微分运动对机器人控制、误差分析、动力分析和保证工作 精度具有十分重要的意义。
1、机器人运动学
1.3齐次变换及运算
1.3.1 直角坐标变换 在机器人中建立直角坐标系后，机器人的手部和各活动杆件之间相对位 置和姿态就可以看成是直角坐标系之间的坐标变换。
1、机器人运动学
1.3齐次变换及运算
平移变换 设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿态，但两者的坐标原点不重合，如图3-7所 示。 若用矢量Pij表示坐标系{i}和坐标系{j}原点之间的矢量，则坐标系{j}就可以看成 是由坐标系{i}沿矢量Pij平移变换而来的，所以称矢量Pij为平移变换矩阵，它是一个 3×1的矩阵
1.1、机器人位姿描述
机器人的位姿主要是指机器人手部在空间的位置和姿态，有 时也会用到其他各个活动杆件在空间的位置和姿态。需要先 了解的与机器人运动相关的一些基础知识。 机器人的机构运动简图、机器人的自由度、机器人的坐标系、 机器人的工作空间、机器人的位姿
1、机器人运动学
1.2机器人的位姿
所谓机器人的位姿主要就是指机器人手部在空间的位置和姿态。有了机器 人坐标系，机器人手部和各个活动杆件相对于其他坐标系的位置和姿态就 可以用一个3×1的位置矩阵和一个3×3的姿态矩阵来描述。如图3-2所示， 机器人手部的坐标系{H}相对于机座坐标系{O}位置就可以用坐标系{H}的 原点OH在坐标系{O}三个坐标分量xOH、yOH、zOH、组成3×1的位置矩阵来 表示
机器人的空间描述与坐标变换
BPCBTCP APA BTBPA BTC BTCP
（2-24） （2-25）
{A}
{C}
{B}
CP
AP
OC
OB OA
图2-10 复合坐标变换
根据坐标变换的定义得
CATABTCBT
（2-26）
11
例2-3已知点u=7i+3j+2k，先对它进行绕Z轴旋转90o 的变换得点v，再对点v进行绕Y轴旋转90o的变换得 点w，求v和w。
f fxifyjfzk
以 f 为 Z 轴建立与{A}固连的坐标系{C}用n、o和f表示坐标系{C}三个坐标
轴的单位矢量，在坐标系{A}下表示为
ZA
n nxi ny j nzk o oxi oy j ozk f fxi fy j fzk
A C
R
n n
x y
ox oy
f f
x y
B
P
BAR
BP
（2-6）
图2-4旋转变换
B
Z
T A
式（2-6）即为我们要求的旋转变换关系，该变换是通过两个坐
标系之间的旋转变换实现的。
5
3.复合变换
如果两个坐标系之间即存在平移
又存在旋转，如何计算同一个空间点
在两个坐标系下描述的变换关系？
{A}
{C} {B}
BP AP
OB
为了得到位置矢量BP和AP之 间的变换关系，我们建立一个中 间坐标系{C}。
c90 0 s90 1
0
0
CAR
0
1
0
0
c 30
s 30
s90 0 c90 0 s 30 c 30
0 0
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Zi
Zj Yj
cosq j R( Z i ,q ) sin q i 0
sin q cosq 0
0 0 1
q
Xi
q
Xj
Yi
0 1 j R( X i ,q ) 0 cosq i 0 sin q
0 sin q cosq
cosq j R(Yi ,q ) 0 i sin q
0 1 j R( X i ,q ) 0 cosq i 0 sin q 0 sin q cosq
Zi Zj
cosq j R(Yi ,q ) 0 i sin q
0 sin q 1 0 0 cosq
q q
Xi Xj Yi Yj
cos(X i , X j ) cos(X i , Y j ) cos(X i , Z j ) x j i P cos(Yi , X j ) cos(Yi , Y j ) cos(Yi , Z j ) y j cos(Z , X ) cos(Z , Y ) cos(Z , Z ) z i j i j i j j
q q
Yj Ym Yi
j i
R( ,q ) R( Z ,q ) R( X , )
Xi
Xm
q
Xj
i
cosq j R( ,q ) sin q 0
sin q cosq 0
0 1 0 0 0 cos 1 0 sin
0 cosq sin sin q cos 0
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) O' R [ O ' X O 'Y O ' Z ]33 cos(X ' Y ) cos(Y ' Y ) cos(Z ' Y ) O O O O cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z ) 姿态矩阵R的特点：
《机器人学》
第三章 机器人的位姿描述与坐标变换
战强
北京航空航天大学机器人研究所
第三章 机器人的位姿描述与坐标变换
Z Y X 机器人 的位姿
Zi Xi
连杆I的 位姿 Yi
Zw
Yw
Xw
3-1 刚体位姿的数学描述
￥ ￥假设机器人的连杆和关节都是刚体￥ ￥
刚体位置 ：
x0 o' P y0 o z0
Zj
Zi
zi
P
zj
yj
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
xi x j cos(X i , X j ) y j cos(X i , Y j ) z j cos(X i , Z j ) i P yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j ) z x cos(Z , X ) y cos(Z , Y ) z cos(Z , Z ) j i j j i j j i j i
Xi
X1 X 2 X j
2）、绕固定坐标系旋转
( X i , ) ( Z i , q)
坐标系 ( X i , Yi , Z i )
Zi Zm Zj
坐标系( X m , Ym , Z m )
j i
坐标系 ( X j , Y j , Z j )
q q
Yj Ym Yi
R?
证明与讨论:
1) Pm mj R Pj R ( Z i , q) Pj 2) Pi mR Pm R ( X i , ) Pm i R ( X i , ) R ( Z i , q) Pj
cos cosq sin sin cos sin cosq sin cos cos sin q sin
cos sin q sin sin q cosq
注意：多个旋转矩阵连乘时，次序不同则含义不同。
1动坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从左往右乘，即旋 转矩阵的相乘顺序与转动次序相同； 固定坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从右往左乘，即 旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相反。
sin cos 0
0 cosq 0 0 1 sin q
0 sin q cos 1 0 sin 0 cosq 0
sin cos 0
0 0 1
cos cosq cos sin sin sin cosq cos cos sin sin q sin
Xj
Zj
P
Oj
Yj
Oi P OiO j O j P
i
Zi
Oj i
P
P P P
Oj i j
Xi
Oi
Yi
沿着不同轴向的组合平移：
x 0 0 x Oj P 0 y 0 y i 0 0 z z
Xi
Xm
q
Xj
适用的机器人类型举例（有旋转关节）
例1: 已知坐标系B初始位姿与A重合,首先B相对于坐标系A的Z 轴转30度, 假设点P在 坐标系B的描述为PB={3,7,0}T,求它在坐标 系A中的描述PA.
3、坐标变换综合（平移+旋转）
Zi Z
j
Zi
Zj
q q
Yj
q
Yi Y j
Yi Xi Xi X
j
q
Xj
1）RX
Zi
Zj
2）RY
Yj
q
q
Xi Yi
Xj
3）RZ
Zi Z
j
q q
Yj Yi
Xi
Xj
cos(X i , X j ) cos(X i , Y j ) cos(X i , Z j ) x j i P cos(Yi , X j ) cos(Yi , Y j ) cos(Yi , Z j ) y j cos(Z , X ) cos(Z , Y ) cos(Z , Z ) z i j i j i j j
0 sin q 1 0 0 cosq
cosq j R( Z i ,q ) sin q i 0
sin q cosq 0
0 0 1
转动矩阵的特点：
(1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦/正弦；
(2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应； (3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0； (4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现 的为正，反之依然。
证明： 1）绕运动坐标系旋转
R( Z i , )
坐标系 ( X i , Yi , Z i )
Z2 Zj Z i (Z1 )
R(Y1 ,q ) R( Z 2 , ) 坐标系 ( X 1 , Y1 , Z 1 ) 坐标系 ( X 2 , Y2 , Z 2 )
坐标系 ( X j , Y j , Z j )
Z2
q
Z i (Z1 )
R( Z i , )
j i
R(Y1 ,q )
R( Z 2 , )
Zj
R( ,q , ) R( Z , ) R(Y ,q ) R( Z , )
ZYZ欧拉角
q
Yj （Y2 )
q
Y1 Yi
Xi
X1 X 2 X j
cos j R( ,q , ) sin i 0
X
Z b Z' O' O
Y' t
n
X'
Y
刚体姿态 ：O ' O' R [ O X O 'Y O O
单位主矢量
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) O' Z ]33 cos(X ' Y ) cos(Y ' Y ) cos(Z ' Y ) O cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z )
☺
9个元素，只有3个独立， 满足6个约束条件:
O' O O' O
X .O ' X O
O' O
Y .O ' Y O
O 'Z .O ' Z 1 O O
X .O ' Y O 'Y .O ' Z O 'Z .O ' X 0 O O O O O
R 1 O 'R T O R 1
☺
j i
R
j
P
►姿态矢量矩阵
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) O' R cos(X ' Y ) cos(Y ' Y ) cos(Z ' Y ) O cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z )
sin q cos cosq cos sin
sin q sin cosq sin cos
2）、绕运动坐标系旋转(绕中间坐标系旋转-顺序向右乘)
坐标系 ( X i , Yi , Z i ) 坐标系 ( X 1 , Y1 , Z 1 ) 坐标系 ( X 2 , Y2 , Z 2 ) 坐标系 ( X j , Y j , Z j )