3、机器人的位姿描述与坐标变换

►绕多个坐标轴旋转的转动矩阵
1）、绕固定坐标系旋转(绕基座标旋转-顺序向左乘)
坐标系 ( X i , Yi , Z i ) 坐标系( X m , Ym , Z m ) 坐标系 ( X j , Y j , Z j )
Zi Zm Zj
R( X i , )
R ( Z i ,q )
j i
R( ,q ) ?
T
2、坐标旋转（坐标系原点相同）
Zj
Zi
P
坐标系j由坐标系i旋转而成 已知点P在j坐标系的坐标：
Yj
j
P [x j
yj
z j ]T
Yi
Xi Xj
求点P在i坐标系的坐标：
i
P [ xi
yi
zi ]T
Zj
Zi
zi
P
yj
zj
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
☺ 关于(Yi , X j )？
yi x j cos(Yi , X j ) yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j )
sin q cos cosq cos sin
sin q sin cosq sin cos
2）、绕运动坐标系旋转(绕中间坐标系旋转-顺序向右乘)
坐标系 ( X i , Yi , Z i ) 坐标系 ( X 1 , Y1 , Z 1 ) 坐标系 ( X 2 , Y2 , Z 2 ) 坐标系 ( X j , Y j , Z j )
X
Z b
Z'
O' Y' t
O
n
X'
Y
i
P R P
j i j
坐标系j相对 于i的方位
旋转矩阵
i到j的旋转矩阵=j相对i的姿态
旋转矩阵的性质：
j i
R R R
i j 1 i j
位置 j P ? 齐次变换矩阵 jiT 表示 位姿
T
绕X、Y、Z轴的旋转矩阵已经公式化，即此时的位姿公式化
►绕一个坐标轴旋转的转动矩阵
j i
Yj （Y2 )
q
R?
1) P2 2j R Pj R( Z 2 , ) Pj
Y1 Yi


q
2 2) P 1 R P2 R(Y1 , q ) P2 1

q
3) Pi i1R P R( Z i , ) P 1 1 R( Z i , ) R(Y1 , q ) P2 R( Z i , ) R(Y1 , q ) R( Z 2 , ) Pj
j i
R
j
P
►姿态矢量矩阵
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) O' R cos(X ' Y ) cos(Y ' Y ) cos(Z ' Y ) O cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z )
Xi
Xm
q
Xj
适用的机器人类型举例（有旋转关节）
例1: 已知坐标系B初始位姿与A重合,首先B相对于坐标系A的Z 轴转30度, 假设点P在 坐标系B的描述为PB={3,7,0}T,求它在坐标 系A中的描述PA.
3、坐标变换综合（平移+旋转）
cos cosq sin sin cos sin cosq sin cos cos sin q sin
cos sin q sin sin q cosq
注意：多个旋转矩阵连乘时，次序不同则含义不同。
1动坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从左往右乘，即旋 转矩阵的相乘顺序与转动次序相同； 固定坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从右往左乘，即 旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相反。
sin cos 0
0 cosq 0 0 1 sin q
0 sin q cos 1 0 sin 0 cosq 0
sin cos 0
0 0 1
cos cosq cos sin sin sin cosq cos cos sin sin q sin
q q
Yj Ym Yi
j i
R( ,q ) R( Z ,q ) R( X , )
Xi
Xm
q
Xj
i
cosq j R( ,q ) sin q 0
sin q cosq 0
0 1 0 0 0 cos 1 0 sin
0 cosq sin sin q cos 0
证明： 1）绕运动坐标系旋转
R( Z i , )
坐标系 ( X i , Yi , Z i )
Z2 Zj Z i (Z1 )
R(Y1 ,q ) R( Z 2 , ) 坐标系 ( X 1 , Y1 , Z 1 ) 坐标系 ( X 2 , Y2 , Z 2 )
坐标系 ( X j , Y j , Z j )
☺
9个元素，只有3个独立， 满足6个约束条件:
O' O O' O
X .O ' X O
O' O
Y .O ' Y O
O 'Z .O ' Z 1 O O
X .O ' Y O 'Y .O ' Z O 'Z .O ' X 0 O O O O O
R 1 O 'R T O R 1
☺
Z2
q
Z i (Z1 )
R( Z i , )
j i
R(Y1 ,q )
R( Z 2 , )
Zj
R( ,q , ) R( Z , ) R(Y ,q ) R( Z , )
ZYZ欧拉角

q

Yj （Y2 )

q
Y1 Yi

Xi
X1 X 2 X j
cos j R( ,q , ) sin i 0
0 sin q 1 0 0 cosq
cosq j R( Z i ,q ) sin q i 0
sin q cosq 0
0 0 1
转动矩阵的特点：
(1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦/正弦；
(2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应； (3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0； (4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现 的为正，反之依然。
《机器人学》
第三章 机器人的位姿描述与坐标变换
战强
北京航空航天大学机器人研究所
第三章 机器人的位姿描述与坐标变换
Z Y X 机器人 的位姿
Zi Xi
连杆I的 位姿 Yi
Zw
Yw
Xw
3-1 刚体位姿的数学描述
￥ ￥假设机器人的连杆和关节都是刚体￥ ￥
刚体位置 ：
x0 o' P y0 o z0
Xj
Zj
P
Oj
Yj
Oi P OiO j O j P
i
Zi
Oj i
P
P P P
Oj i j
Xi
Oi
Yi
沿着不同轴向的组合平移：
x 0 0 x Oj P 0 y 0 y i 0 0 z z
Zj
Zi
zi
P
zj
yj
Yj
xi
Xi
yi
Yi
xj
Xj
xi x j cos(X i , X j ) y j cos(X i , Y j ) z j cos(X i , Z j ) i P yi x j cos(Yi , X j ) y j cos(Yi , Y j ) z j cos(Yi , Z j ) z x cos(Z , X ) y cos(Z , Y ) z cos(Z , Z ) j i j j i j j i j i
X
Z b Z' O' O
Y' t
n
X'
Y
刚体姿态 ：O ' O' R [ O X O 'Y O O
单位主矢量
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) O' Z ]33 cos(X ' Y ) cos(Y ' Y ) cos(Z ' Y ) O cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z )

Xi
X1 X 2 X j
2）、绕固定坐标系旋转
( X i , ) ( Z i , q)
坐标系 ( X i , Yi , Z i )
Zi Zm Zj
坐标系( X m , Ym , Z m )
j i
坐标系 ( X j , Y j , Z j )
q q
Yj Ym Yi
R?
证明与讨论:
1) Pm mj R Pj R ( Z i , q) Pj 2) Pi mR Pm R ( X i , ) Pm i R ( X i , ) R ( Z i , q) Pj
cos(X i , X j ) cos(X i , Y j ) cos(X i , Z j ) x j i P cos(Yi , X j ) cos(Yi , Y j ) cos(Yi , Z j ) y j cos(Z , X ) cos(Z , Y ) cos(Z , Z ) z i j i j i j j
适用的机器人类型举例（有平移关节）
Z1
X1
Y1 Z2
Y2
X2
Z3
Y3
X3
三坐标的直角坐标机器人
Z
Y
X
Zi
Zj
例: Oi
Yi Xi Xj
P
Oj
Yj
15 已知
j
P 5 6 7
T
求 P点在i坐标系中的坐标。
T T
解答： i P j P OjP
i
5 21 7
5 6 7 0 15 0
O' O
R是单位正交阵
O' O
刚体的位置和姿态：
{O'} {O ' R , O
O' O
P}
Zj
例：某刚体j在参考系i中的 位置 姿态
oj oi
P?
Oj Oi
R?
Xj Zi
Oj
YjБайду номын сангаас
6
10
Oi
Xi
Yi
3-2 坐标变换（点的映射）
1、坐标平移（坐标系方位相同）
已知点P在j坐标系的坐标，平移j至i，求 点P在i坐标系的坐标。
Zi Z
j
Zi
Zj
q q
Yj
q
Yi Y j
Yi Xi Xi X
j
q
Xj
1）RX
Zi
Zj
2）RY
Yj
q
q
Xi Yi
Xj
3）RZ
Zi Z
j
q q
Yj Yi
Xi
Xj
cos(X i , X j ) cos(X i , Y j ) cos(X i , Z j ) x j i P cos(Yi , X j ) cos(Yi , Y j ) cos(Yi , Z j ) y j cos(Z , X ) cos(Z , Y ) cos(Z , Z ) z i j i j i j j
cos(X ' X ) cos(Y ' X ) cos(Z ' X ) O' R [ O ' X O 'Y O ' Z ]33 cos(X ' Y ) cos(Y ' Y ) cos(Z ' Y ) O O O O cos(X ' Z ) cos(Y ' Z ) cos(Z ' Z ) 姿态矩阵R的特点：
0 1 j R( X i ,q ) 0 cosq i 0 sin q 0 sin q cosq
Zi Zj
cosq j R(Yi ,q ) 0 i sin q
0 sin q 1 0 0 cosq
q q
Xi Xj Yi Yj
Zi
Zj Yj
cosq j R( Z i ,q ) sin q i 0
sin q cosq 0
0 0 1
q
Xi
q
Xj
Yi
0 1 j R( X i ,q ) 0 cosq i 0 sin q
0 sin q cosq
cosq j R(Yi ,q ) 0 i sin q