第七章 勒贝格积分理论简介

第七章 勒贝格积分理论简介

本章所讨论的测度都是勒贝格测度，故不再特别说明。所说可测均指

可测-L 。所指函数也都是定义在实数子集上的实值函数。

在第六章第二节中，我们曾经提到勒贝格积分的一种定义方式。由此积分的定义可以看出，定义在一个可测集E 上的符号函数f 是可以积分的当且仅当

)(1+<≤i i y f y E 是可测的，由此引入了可测函数的概念。但是从可测函数的角度

考虑，可测函数可以另外的方式引入。本章先讨论可测函数的刻画方式和一些基本性质，然后对勒贝格积分的常见计算方式作一些粗略的介绍。进一步的内容可以在任何一本实变函数的教材可见。

§1 可测函数的定义刻画与运算

我们先给出可测函数的一种最朴素的定义方式。

7.1定义：设f 是定义在E 上的函数，若对任意R ∈a 集合)(a f E <是可侧集，称

f 是可侧函数。

7.2命题. 设f 是集合E 上的函数。

(1)若E 是可侧，f 在E 上连续，则f 是E 上可测函数。

(2) 若f 是E 上可测函数，R ∈a ，则集合E ，)(f a E ≤，

)(f a E <,)(a f E ≤都是可测集。

(3)若φ==)0(f E ，且f 在E 上可测，则

f

1

是E 上的可测函数。 证明：(1)对任意R ∈a ，)(a f E <是E 中开集，即存在R 中开集G ,使得

E G a f E I =<)(,故)(a f E <是可侧集。

(2)结论可由如下的集合等式得到

)(a f E E n <=∈ω

Y

)(\)(a f E E f a E <=≤

)1

()(1

f n

a E f a E n ≤+

=<∞

=Y )(\)(f a E E a f E <=≤

(3)由

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧<><=<><>=<0

)1

()0(0)0(0)0()1()1

(a a f E f E a f E a f E a f E a f E I Y 可知)1

(

a f

E <是可侧集。 ■ 注：下面我们考虑的函数f 可以是从E 到[]+∞∞-,的映射。

若)0(=f E 是零测集，

f

1

在0点处处取值可以认为是∞-∞+或，视情况任意定义。不难看出，若0))0((==f E m 时，无论f 1在0点取值如何定义，f

1也是E 上的可测函数(只要f 在E 上可测)。

在将E 上的可测函数f 都看成是从E 到[]+∞∞-,的广义实值函数时，7.2命题中的(2)就要补充证明)(+∞=f E 是可侧集。但因)(\)(n f E E f E n <=+∞=∈ω

Y ，

所以7.2命题中的(2)也是成立的。

7.3定理：设)(ω∈n f n 是E 上的一列可测函数，n n f Lim f ∞

→=，则f 是E 上可测

函数。

证明：因为对任意R ∈a ，

)1()(11m

a f E a f E n N n N m -

<=<=∞

=∞

=∞

I Y Y 再由可列个可侧集的交集，并集都可侧，可知)(a f E <可测，即f 是可测函数。

记{}上的可测函数是：

E f f E L =)(，在)(E L 中的函数可以进行加乘运算，函数列可以取上下极限等。那么，)(E L 对这些有限或无限的运算是封闭的吗？为了使与之相关的验证更为直接，同时也是为了定义勒贝格积分时简明和自然，我们将讨论可测函数的另一种刻画方式。

7.4定义：设E 是一可侧集，称{}Γ∈αα|E 是E 的一个可测分划，如果(ⅰ)

ααE E Γ

∉=Y ;(ⅱ) φβαβαβα=≠Γ∈∀E E I 则,,,;(ⅲ)任意ααE ,Γ∈∀是可侧集。

7.5定义：设E 是一可侧集，ϕ是E 上的一个函数，若存在E 的一个可测分划

{}n i E i ∈ | ，及实数,,,110-n a a a Λ使得

)()(x a x i E i n

i χϕ∈∑= (其中i i E E 是χ的特征函数)

便称ϕ是E 上的一个简单(可测)函数。 ■

常用来举例的狄里克雷函数就是一个简单函数。

注：本书说的简单函数均是可测的简单函数。尽管在一般情况下，简单函数不一定非

得可测不可，但是本书不讨论可测的简单函数。

记{

}上的简单函数是E E S ϕϕ|)(=。 7.6命题：(1)可测集E 上的简单函数是可测的。 (2) 若R ∈∈a E S ),(ψϕ， ，则 ψϕψϕϕ⋅+ ,,a 均属于)(E S 。 证明：(1)由定义可知.

(2)若ϕϕa E S ),(∈ 显然属于)(E S 。设

j H j n

j i E i n

i a χψψχϕ∈∈∑=∑= ,

于是{}m n j i H E E E j i j i j i ⨯∈=),(,,,I | 是E 的一个可测分划。简化j i E ,的特征函数为),(j i χ，立刻可以验证

, ),(),()(j i j i m

n j i b a χψϕ±∑=±⨯∈

, ),(),()(j i j i m

n j i b a χψϕ⋅∑=

⋅⨯∈ ■

由简单函数的定义及7.3定理，立刻得

7.7推论：若可侧集E 上的函数f 是一列简单函数列的极限，则f 是E 上的可测函数。 ■

下面引入E 上定义的函数f 的另一种表示形式，记

⎩⎨

⎧≤∈>∈=+,)0(0,)0()()(

f E x f E x x f x f