实变函数论课后答案第一章3

实变函数论课后答案第一章3（p20-21）
第一章第三节
1. 证明[]0,1上的全体无理数构成一不可数无穷集合. 证明：记[]0,1上的全体有理数的集合为()12,,
,,
n Q r r r =.
[]0,1全体无理数的集合为R ，则[]0,1Q
R =.
由于Q 是一可数集合，R 显然是无穷集合（否则[]0,1为可数集，Q R 是可数集，得矛盾）.
故从P21定理7得 []0,1Q
R R =.
所以R =ℵ，R 为不可数无穷集合.
2. 证明全体代数数（即整系数多项式的零点）构成一可数集合，进而证明必存在超越数（即
非代数数）. 证明：记全体整系数多项式的全体的集合为z P ，全体有理多项式的集合为Q P .
则上节习题3，已知Q P 是可数集，而z Q P P ⊂，故z P 至多是可数集，()
z Q P P ≤，
而z P 显然为无穷集合，故z P 必为可数集.,0
z z m m P P ∞==.
任取一,0,z f P m ∈∃≥有,z m f P ∈.
f 的不同零点至多有m 个，故全体,z m f P ∈的零点的并至多为无数.
（
(){},;0z m
f P z f z ∈=至多为可数集，所以全体代数数之集
(){},0;0z m
m f P z f z ∞=∈=
也是至多可数集.
又{},1;1,2,
n N nx n ∀∈+=是可数集，1
10nx x n
+=⇔=
. 带市数显然有无穷个，故全体代数数之集为一可数集.
3. 证明如果a 是可数基数，则2a
c =.
证明：一方面对于正整数N 的任意子集A ，考虑A 的示性函数
()()()10A A A
n n A
n n n A ϕϕϕ=∈⎧⎪=⎨=∉⎪⎩当当
{}2N A N ∀∈的子集所构成的集
令()()()
0.1,2A A J A x ϕϕ==
则()()0,1J A x =∈
若()()J A J B =，则()(),1,2,
A B n n n ϕϕ=∀=
故A B =（否则()()0000,10A B n A n B n n ϕϕ∃∈∉⇒=≠=）
故2N
与()0,1的一个子集对等（()20,1N
≤）
另一方面，()0,1x ∀∈.令{}
0;,x A r r x r R =≤∈ （这里0R 为()0,1中的全体有理数组成的集合） 若(),,0,1x y x y ≠∈，则由有理数的稠密性，x y A A ≠
x A 是0R 这一与N 对等的集合的子集.
故()0,1与0R 的全体子集组成的集合的一个子集对等（()00,1R ≤的全体子集组成集的势，即()()0,120,1N
≤≤）
也就与2N
的一个子集对等. 由Berrstein 定理()0,12N
所以2a
c =. 4. 证明如果A B c =，则,A B 中至少一个为c .
证明：E A
B c ==，故不妨认为
(){},;01,01E x y x y =<<<<，,A B 为E 的子集.
若存在x ，01x <<使得(){},;01x A E x y y ⊃=<<.
则由于x E c =（显然()0,1x
E ）
故A c ≥，而,A E A E c ⊂≤=. 由Berrsrein 定理A c =.
若,01,x x x E A ∀<<⊄，则从x E E A
B ⊂=知
(){},;01x B E B
x y y =<<≠∅
所以(),x x y B ∃∈，则显然(){},;01x
x y x <<具有势c
故易知c B E c ≤≤= 由Berrsrein 定理B c = 证毕
5. 设F 是[]0,1上全体实函数所构成的集合，证明2c
F =
证明：[]0,1∀的子集A ，作A 的示性函数
()10A x A
x x A ϕ∈⎧=⎨
∉⎩
则映射()A A
x ϕ规定了[]0,1的所有子集的集合到[]0,1上全体实函数所构成的集合的一
个对应，且若A ，B ⊂[]0,1使得()()[],0,1A B x x x ϕϕ=∀∈成立 则必有A B = 所以[]
0,12
与F 的一个子集对等.
反过来，任取()f x F ∈，()()[]{},;0,1f A t f t t =∈，f
A 是f 在2
R
中的图象，是2
R 中的
一个子集.
且若,f g F ∈，使f g A A =
则[]0,1t ∀∈，()()
,f g t f t A A ∈= 表明[]10,1t ∃∈使()()()()
11,,t f t t g t =
()()1,,t t f t g t t ⇒==∀
故f g =.
所以F 与2
R 的全体子集所组成的集合的一个子集对等，故从[]2
0,1R
知
[
]
2
0,122R F ≤=
即F 与[]
0,12
的一个子集对等.
所以由Berstein 定理[]0,1
22c F ==.。