正弦余弦函数的单调性教案

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1.4.2第2课时正、余弦函数的单调性与最值课件

栏目导引
第一章三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时，要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的形式求最值．
第一章三角函数
栏目导引
第一章三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)．所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)；单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目导引
第一章三角函数
【名师点评】正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目导引
第一章三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)．由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．

正弦函数余弦函数的单调性(教学课件201911)

2
42
kZ
2k x 2k
12 3
43
kZቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数的单调递减区间是[ 2k , 2k ] ，k Z
12 3 4 3
② y 1 cos2 x
解：y sin 2 x
1 cos 2x 1 cos 2x 1
2
2
2
2k 2x 2k
正弦函数、余弦函数的单调性
（复习课）
每
课已知：ABC是锐角三角形，
一
函数f (x)在[0,1]上是增函数，那么有（）
练
A f (sin B) f (cosA) ．
Ｃ．f (sin B) f (sin A)
Ｂ．f (sin B) f (cosA) Ｄ．f (cosB) f (cosA)
州瑰宅中常有父时旧部曲数百历官无畜聚恐贼觉太清三年出为都督帝必惊觉夏四月壬申上以邵诚节封前寿
1．求下列函数的单调递减区间：
① y sin( 3x)
4
② y 1 cos2 x

① y sin( 3x) 4
解： y sin(3x )
4
2k 3x 2k
x 如果对于属于 I
内某个区间上的任意两个自变量的值
x 1
,
,
2
x x 当 1
2时,都有
f (x ) 1
f (x ) 2
那么就说 f (x) 在这个区间上是减函数。这个区间为单调减区间。；第二 https:/// 第二；
不从中大通三年冲等重请为吴兴太守追尊所生妣阮修容为文宣太后衣染天血圣情孝友特赐宅一区以待湘州之捷求为始丰

正弦函数、余弦函数的性质区公开课教案

正弦函数、余弦函数的性质区公开课教案第一章：正弦函数的定义与性质1.1 教学目标了解正弦函数的定义及图像特点掌握正弦函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质1.2 教学内容正弦函数的定义及表达式正弦函数的图像特点正弦函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质1.3 教学方法通过多媒体展示正弦函数的图像，引导学生观察并总结性质利用数学软件或模型演示正弦函数的单调性和奇偶性举例说明正弦函数在不同区间上的性质变化1.4 教学活动引入正弦函数的定义，引导学生理解正弦函数的概念让学生自主探究正弦函数的图像特点，分组讨论并汇报成果教师讲解正弦函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质学生进行习题训练，巩固所学知识第二章：余弦函数的定义与性质2.1 教学目标了解余弦函数的定义及图像特点掌握余弦函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质2.2 教学内容余弦函数的定义及表达式余弦函数的图像特点余弦函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质2.3 教学方法通过多媒体展示余弦函数的图像，引导学生观察并总结性质利用数学软件或模型演示余弦函数的单调性和奇偶性举例说明余弦函数在不同区间上的性质变化2.4 教学活动引入余弦函数的定义，引导学生理解余弦函数的概念让学生自主探究余弦函数的图像特点，分组讨论并汇报成果教师讲解余弦函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质学生进行习题训练，巩固所学知识第三章：正弦函数与余弦函数的图像与性质对比3.1 教学目标理解正弦函数与余弦函数的图像与性质的异同能够运用图像与性质解决实际问题3.2 教学内容正弦函数与余弦函数的图像与性质对比运用正弦函数与余弦函数的图像与性质解决实际问题3.3 教学方法通过多媒体展示正弦函数与余弦函数的图像，引导学生观察并总结异同利用数学软件或模型演示正弦函数与余弦函数的单调性和奇偶性举例说明正弦函数与余弦函数在不同区间上的性质变化3.4 教学活动引导学生对比正弦函数与余弦函数的图像与性质，分组讨论并汇报成果教师讲解正弦函数与余弦函数的图像与性质的异同学生进行习题训练，巩固所学知识第四章：正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用4.1 教学目标理解正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用能够运用正弦函数、余弦函数解决实际问题4.2 教学内容正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用运用正弦函数、余弦函数解决实际问题4.3 教学方法通过多媒体展示实际问题，引导学生观察并运用正弦函数、余弦函数解决利用数学软件或模型演示正弦函数、余弦函数的实际应用举例说明正弦函数、余弦函数在不同场景下的应用4.4 教学活动引导学生运用正弦函数、余弦函数解决实际问题，分组讨论并汇报成果教师讲解正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用学生进行习题训练，巩固所学知识第五章：总结与拓展5.1 教学目标总结正弦函数、余弦函数的性质及其应用提高学生的思维拓展能力5.2 教学内容对正弦函数、余弦函数的性质及其应用进行总结进行相关拓展知识的介绍5.3 教学方法通过多媒体展示总结性的图表，引导学生总结正弦函数、余弦函数的性质及其应用引导学生进行拓展思考，举例说明正弦函数、余弦函数在其他领域的应用5.4 教学活动第六章：正弦函数、余弦函数的辅助角公式6.1 教学目标理解正弦函数、余弦函数的辅助角公式能够运用辅助角公式进行函数的化简和求解6.2 教学内容正弦函数、余弦函数的辅助角公式介绍辅助角公式的推导过程运用辅助角公式进行函数的化简和求解6.3 教学方法通过多媒体展示辅助角公式的推导过程，引导学生理解并记忆公式利用数学软件或模型演示辅助角公式的应用举例说明如何运用辅助角公式进行函数的化简和求解6.4 教学活动引导学生学习和理解辅助角公式，分组讨论并汇报成果教师讲解辅助角公式的推导过程和应用方法学生进行习题训练，巩固所学知识第七章：正弦函数、余弦函数的积分与微分7.1 教学目标理解正弦函数、余弦函数的积分与微分公式能够运用积分与微分公式进行函数的求解和证明7.2 教学内容正弦函数、余弦函数的积分与微分公式介绍积分与微分的推导过程运用积分与微分公式进行函数的求解和证明7.3 教学方法通过多媒体展示积分与微分的推导过程，引导学生理解并记忆公式利用数学软件或模型演示积分与微分的应用举例说明如何运用积分与微分公式进行函数的求解和证明7.4 教学活动引导学生学习和理解积分与微分公式，分组讨论并汇报成果教师讲解积分与微分公式的推导过程和应用方法学生进行习题训练，巩固所学知识第八章：正弦函数、余弦函数的复合函数理解正弦函数、余弦函数的复合函数概念能够运用复合函数的性质进行函数的求解和分析8.2 教学内容正弦函数、余弦函数的复合函数概念介绍复合函数的性质和规律运用复合函数的性质进行函数的求解和分析8.3 教学方法通过多媒体展示复合函数的图像和性质，引导学生理解并记忆概念利用数学软件或模型演示复合函数的应用举例说明如何运用复合函数的性质进行函数的求解和分析8.4 教学活动引导学生学习和理解复合函数的概念和性质，分组讨论并汇报成果教师讲解复合函数的性质和应用方法学生进行习题训练，巩固所学知识第九章：正弦函数、余弦函数在物理、工程等领域的应用9.1 教学目标了解正弦函数、余弦函数在物理、工程等领域的应用能够运用正弦函数、余弦函数解决实际问题9.2 教学内容正弦函数、余弦函数在物理、工程等领域的应用案例运用正弦函数、余弦函数解决实际问题通过多媒体展示正弦函数、余弦函数在物理、工程等领域的应用案例，引导学生观察并运用所学知识解决实际问题利用数学软件或模型演示正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用举例说明正弦函数、余弦函数在不同领域中的具体应用9.4 教学活动引导学生运用正弦函数、余弦函数解决实际问题，分组讨论并汇报成果教师讲解正弦函数、余弦函数在物理、工程等领域的应用学生进行习题训练，巩固所学知识第十章：总结与评价10.1 教学目标总结正弦函数、余弦函数的性质、图像及其应用对学生的学习情况进行评价和反思10.2 教学内容对正弦函数、余弦函数的性质、图像及其应用进行总结学生学习情况的评价和反思10.3 教学方法通过多媒体展示总结性的图表，引导学生总结正弦函数、余弦函数的性质、图像及其应用教师对学生的学习情况进行评价和反馈，引导学生进行自我反思10.4 教学活动引导学生总结本节课所学内容，分组讨论并汇报成果教师对学生的学习情况进行第十一章：正弦函数、余弦函数的进一步探究11.1 教学目标深入理解正弦函数、余弦函数的周期性、对称性等性质能够运用正弦函数、余弦函数的性质解决复杂问题11.2 教学内容正弦函数、余弦函数的周期性、对称性等性质的深入探讨运用正弦函数、余弦函数的性质解决复杂问题11.3 教学方法通过多媒体展示正弦函数、余弦函数的图像，引导学生观察并总结性质利用数学软件或模型演示正弦函数、余弦函数的单调性和奇偶性举例说明正弦函数、余弦函数在不同区间上的性质变化11.4 教学活动引导学生深入理解正弦函数、余弦函数的性质，分组讨论并汇报成果教师讲解正弦函数、余弦函数的周期性、对称性等性质的深入探讨学生进行习题训练，巩固所学知识第十二章：正弦函数、余弦函数在现代科技领域的应用12.1 教学目标了解正弦函数、余弦函数在现代科技领域的应用能够运用正弦函数、余弦函数解决实际问题12.2 教学内容正弦函数、余弦函数在现代科技领域的应用案例运用正弦函数、余弦函数解决实际问题12.3 教学方法通过多媒体展示正弦函数、余弦函数在现代科技领域的应用案例，引导学生观察并运用所学知识解决实际问题利用数学软件或模型演示正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用举例说明正弦函数、余弦函数在不同领域中的具体应用12.4 教学活动引导学生运用正弦函数、余弦函数解决实际问题，分组讨论并汇报成果教师讲解正弦函数、余弦函数在现代科技领域的应用学生进行习题训练，巩固所学知识第十三章：正弦函数、余弦函数与日常生活13.1 教学目标了解正弦函数、余弦函数在日常生活中的应用能够运用正弦函数、余弦函数解决生活中的问题13.2 教学内容正弦函数、余弦函数在日常生活中的应用案例运用正弦函数、余弦函数解决生活中的问题13.3 教学方法通过多媒体展示正弦函数、余弦函数在日常生活中的应用案例，引导学生观察并运用所学知识解决生活中的问题利用数学软件或模型演示正弦函数、余弦函数在日常问题中的应用举例说明正弦函数、余弦函数在不同生活场景中的具体应用13.4 教学活动引导学生运用正弦函数、余弦函数解决生活中的问题，分组讨论并汇报成果教师讲解正弦函数、余弦函数在日常生活中的应用学生进行习题训练，巩固所学知识第十四章：正弦函数、余弦函数的综合应用14.1 教学目标掌握正弦函数、余弦函数的综合应用方法能够运用正弦函数、余弦函数解决复杂问题14.2 教学内容正弦函数、余弦函数的综合应用案例运用正弦函数、余弦函数解决复杂问题14.3 教学方法通过多媒体展示正弦函数、余弦函数的综合应用案例，引导学生观察并运用所学知识解决复杂问题利用数学软件或模型演示正弦函数、余弦函数的综合应用举例说明正弦函数、余弦函数在不同场景中的综合应用14.4 教学活动引导学生掌握正弦函数、余弦函数的综合应用方法，分组讨论并汇报成果教师讲解正弦函数、余弦函数的综合应用方法学生进行习题训练，巩固所学知识第十五章：总结与反思15.1 教学目标总结正弦函数、余弦函数的学习过程及收获对学习情况进行反思和总结15.2 教学内容对正弦函数、余弦函数的学习过程及收获进行总结对学习情况进行反思和总结15.3 教学方法通过多媒体展示总结性的图表，引导学生总结正弦函数、余弦函数的学习过程及收获教师对学生的学习情况进行评价和反馈，引导学生进行自我反思15.4 教学活动引导学生重点和难点解析本文主要介绍了正弦函数和余弦函数的性质及其在各个领域的应用，重点包括正弦函数和余弦函数的定义、图像特点、单调性、奇偶性、周期性等基本性质，以及辅助角公式、积分与微分、复合函数等高级性质。

高中数学第五章三角函数正弦函数余弦函数的单调性与最值学案新人教A版必修第一册

第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值课程标准(1)掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小．会求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)及y ＝A cos (ωx ＋φ)的单调区间．(2)掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 最大值与最小值，会求简单三角函数的值域和最值．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点　正、余弦函数的单调性与最值正弦函数余弦函数图象❶单调性❷在____________上单调递增，在____________上单调递减在____________上单调递增，在____________上单调递减最值x ＝________时，取得最大值1；x ＝________时，取得最小值－1x ＝________时，取得最大值1；x ＝________时，取得最小值－1助学批注批注❶　从正、余弦曲线可以看出，正、余弦曲线分布在两条平行线y ＝1和y ＝－1之间，所以|sin x|≤1，即－1≤sin x≤1；所以|cos x|≤1，即－1≤cos x≤1.批注❷　结合正、余弦曲线的上升、下降熟记单调区间．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数．( )(2)存在实数x，使得sin x＝√2.( )(3)在区间[0，2π]上，函数y＝sin x有三个零点．( )(4)余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的单调减区间是[0，π].( ) 2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是( ) A．[0，π] B．[π2，π]C.[0，π2]D．[π，2π]3．函数y＝－2cos x的最小值为( )A.1B．－1C.2D．－24．比较大小：sin π6________sinπ3(填“＞”或“＜”)题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1　利用单调性比较大小例1　[2022·湖南永州高一期末]设a＝sin1，b＝sin2，c＝sin3，则a，b，c的大小关系是( )A．a＜b＜c B．b＜a＜cC．c＜b＜a D．c＜a＜b方法归纳利用单调性比较三角函数值大小的步骤巩固训练1　若a＝sin47°，b＝cos37°，c＝cos47°，则a，b，c大小关系为()A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a题型2　求单调区间例2　(1)y ＝cos (x －π4)在[0，π]上的单调递减区间为( )A ．[π4，3π4]B ．[0，π4]C ．[3π4，π]D ．[π4，π](2)求函数y ＝√2sin (π4－2x )的单调区间．方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略巩固训练2　函数y ＝sin (2x ＋π3)的单调递减区间为( )A ．[kπ+π12，kπ+7π12](k ∈Z )B ．[kπ2+π12，kπ2+7π12](k ∈Z )C ．[kπ−π6，kπ+π3](k ∈Z )D ．[kπ2−π6，kπ2+π3](k ∈Z )题型 3　正、余弦函数的最值(或值域)例3　已知函数f (x )＝sin (2x －π6)＋12.(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)求f (x )在区间[0，5π12]上的值域．方法归纳求与正、余弦函数有关的最值(或值域)的方法巩固训练3　(1)函数f (x )＝sin (x ＋π6)在[−π3，π2]上的最大值与最小值之和是()A ．12B ．－12C ．1D ．－1(2)已知函数f(x)＝1－sin2x＋sin x(0≤x≤π2)，当x＝________时，f(x)取得最大值．第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值新知初探·课前预习[教材要点]要点一[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z)　[2kπ+π2，2kπ+3π2](k∈Z)　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)　π2＋2kπ(k∈Z)　－π2＋2kπ(k∈Z)　2kπ(k∈Z)　2kπ＋π(k∈Z)[基础自测]1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．解析：由正弦曲线知y＝sin x在[0，π2]上是增函数．答案：C3．解析：因为y＝cos x的最大值是1所以函数y＝－2cos x的最小值是－2.答案：D4．解析：0＜π6＜π3＜π2，由于函数y＝sin x在[0，π2]上为增函数，则sinπ6＜sinπ3.答案：<题型探究·课堂解透例1　解析：因为0＜π－3＜1＜π－2＜π2，函数y＝sin x在(0，π2)上单调递增，所以sin (π－3)＜sin1＜sin (π－2)，即sin3＜sin1＜sin2，所以c＜a＜b.答案：D巩固训练1　解析：由题意得sin47°＝sin (90°－43°)＝cos43°，因为y＝cos x在[0，π2]上单调递减，所以b＞a＞c.答案：C例2　解析：(1)由cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，可得2kπ≤x－π4≤π＋2kπ，解得π4＋2kπ≤x≤5π4＋2kπ，又∵x∈[0，π]，∴k＝0时，π4≤x≤π.(2)∵y＝√2sin (π4－2x)＝－√2sin (2x－π4)，∴由π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ，k∈Z.所以函数y＝√2sin (π4－2x)的单调增区间为[kπ+3π8，kπ+7π8](k∈Z)，由2kπ－π2≤2x－π4≤π2＋2kπ，(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8(k∈Z)．所以函数y＝√2sin (π4－2x)的单调减区间为[kπ−π8，kπ+3π3](k∈Z)．答案：(1)D　(2)见解析巩固训练2　解析：函数y＝sin (2x＋π3)，由2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，所以函数y ＝sin (2x ＋π3)的单调递减区间为[kπ+π12，kπ+7π12](k ∈Z )．答案：A例3　解析：(1)∵函数f (x )＝sin (2x －π6)＋12，∴f (x )最小正周期T ＝2π2＝π，∵sin (2x －π6)≤1，sin (2x －π6)＋12≤32，∴当sin (2x －π6)＝1时，f (x )max ＝32.(2)当0≤x ≤5π12时，－π6≤2x －π6≤23π，∴当2x －π6＝π2时，即x ＝π3时，f (x )max ＝32，当2x －π6＝－π6时，即x ＝0时，f (x )min ＝0，∴f (x )在区间[0，5π12]上的值域为[0，32].巩固训练3　解析：(1)∵－π3≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π6≤2π3，∴－12≤sin (x ＋π6)≤1，∴最大值与最小值之和为－12＋1＝12.(2)令t ＝sin x ，则y ＝1－t 2＋t (0≤t ≤1)，对称轴为t ＝12，所以当t ＝12时，函数取得最大值，即sin x ＝12，得x ＝π6.答案：(1)A (2)π6。

高一数学正弦函数、余弦函数的性质周期性;单调性、奇偶性

正弦函数、余弦函数的性质周期性;单调性、奇偶性知识与技能：能理解周期函数、周期函数的周期和最小正周期的定义；并能求出正、余弦函数的最小正周期。

了解两函数的单调性和单调区间。

会判断正余弦的奇偶性，了解其图象的对称性。

过程与方法：借助图像理解正弦函数、余弦函数的周期性、单调性、奇偶性情感与态度：体会三角函数在解决具有周期变化规律问题中的作用及单调性、奇偶性的应用教学过程：一、问题情境复习：y=sinx y=cosx (x R)的图象二、提出问题：正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性1．（观察图象） 1正弦函数、余弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,k Z重复出现）3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx, cos(2k+x)=cosx也可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。

2．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

注意：1周期函数x定义域M，则必有x+T M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t) f (x0)）3T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2 （一般称为周期）3．y=sin ωx, y=cos ωx 的最小正周期的确定例1．求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+3π) 2 y=cos2x 3 y=3sin(2x +5π) 小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A 0,x R) 周期T=ωπ2 y=Acos(ωx+φ)也可同法求之例2．P34 例5求f （x ）=tan2x 的周期例3．求下列函数的周期： 1y=sin(2x+4π)+2cos(3x-6π) 2y=|sinx| 3 y=23sinxcosx+2cos 2x-1三、问题；你能根据图象还会发现其它性质吗？1．奇偶性2．对称性：y=sinx 的所有对称轴为--------；对称中心为-----------例4求函数（1）y=sin （2x+3π）的单调增区间；（2）y=3cos 2x 的单调区间四、师生共同小结：周期函数的定义，周期，最小正周期奇偶性、奇偶性五、作业：补充：求下列函数的最小正周期：1．y=2cos(34π+x )-3sin(4π-x ) 2．y=-cos(3x+2π)+sin(4x-3π) 3．y=|sin(2x+6π)| 4．y=cos 2θsin 2θ+1-2sin 22θ5．若α、β为锐角，sin α＜cos β，则α、β满足（）A ．α＞βB ．α＜βC ．α+β＜π2D ． α+β＞π26．判断下列函数的奇偶性： (1)y= x x x cos 1tan sin +-； (2)y=.cos sin 1cos sin 1x x x x ++-+。

正弦函数和余弦函数的图像和性质单调性

6
6
所求递减区间为[4k ，4k 13 ]，k Z
6
6
(3)
(3)
f (x) 2
f (x)
3
sin x cos x 2sin 2
2
3
4
5 6 x
三、例题与练习
例1、判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
(1) f (x) sin x cos x；
解：(1) f (x)定义域为R，关于原点对称对任意x R，有f (x) sin( x)cos(x) sin x cos x f (x) f (x) sin x cos x是奇函数
教学目标：
1、掌握正弦函数 y sin x，x (， )和余弦函数 y cosx，x (， ) 的奇偶性和单调性．
2、会判断正弦型和余弦型的三角函数的奇偶性． 3、会求正弦型和余弦型的三角函数的单调区间．
教学重点与难点：
教学重点：正弦函数与余弦函数的奇偶性和单调性．教学难点：求给定区间的三角函数的单调区间．
函数y Asin( x ) B和函数y Acos(x ) B，的周期为T 2 ．
(其中A、B、、为常数，且A 0， 0)
(1)周期函数：对任意x D，都有f (x T ) f (x)，T 0 (2)奇函数：对任意x D，都有f (x) f (x) (3)偶函数：对任意x D，都有f (x) f (x)
f (x) sin 3x是奇函数
(2) f (x)定义域为R，关于原点对称
对任意x R，有f (x) sin( x) sin x f (x)
f (x) sin x 是偶函数
(3) f (x) x cos x； (4) f (x) cos x ．
1 sin x (3) f (x)定义域为R，关于原点对称

正弦函数、余弦函数的性质(第二课时) 教案

第五章三角函数 5.4 三角函数图象与性质5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)必备知识·探新知基础知识知识点1正弦、余弦函数的最值正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的__定义域_都是实数集R ，__值域___都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.思考1：(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？(2)从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？提示：(1)正弦、余弦函数的定义域为R ，值域为[－1,1]． (2)正弦、余弦函数的最大值、最小值均处于图形拐弯的地方．知识点2正弦、余弦函数的单调性(1)正弦函数y ＝sin x 的增区间为[2k π－2π，2k π＋2π](k ∈Z )；减区间为[2k π＋2π，2k π＋32π](k ∈Z )． (2)余弦函数y ＝cos x 的增区间为[2k π－π，2k π](k ∈Z )；减区间为[2k π，2k π＋π](k∈Z )．思考2：(1)正弦函数在[－2π，32π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ (2)余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：(1)观察图象可知：当x ∈[－2π，2π]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈[2π，32π]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x ∈[－2π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1；当x ∈[2π＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1.(2)观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx 的值由－1增大到1；当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx 的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cosx 是增函数，函数值由－1增大到1；当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cosx 是减函数，函数值由1减小到－1.基础自测1．在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( C ) A ．[0，π] B ．[2π，32π]C ．[－2π，2π] D ．[π，2π] 2．下列函数中在(,)2ππ上是增函数的是( D )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin2xD ．y ＝cos2x【解析】y ＝sin x 在(,)2ππ上是减函数，不满足条件．y ＝cos x 在(,)2ππ上是减函数，不满足条件．y ＝sin2x 的周期是π，在(,)2ππ上不单调，不满足条件．y ＝cos2x 的周期是π，在(,)2ππ上是增函数，满足条件．3．函数y ＝3sin ()4x π-的一个单调递减区间为( B )A ．[,]22ππ-B ．3[,]44ππ- C ．37[,]44ππ D ．3[.]44ππ-【解析】y ＝3sin ()4x π-＝－3sin ()4x π-，检验各选项可知，只有B 项所给区间是单调递减区间，故选B ．4．函数y ＝2－sinx 取得最大值时x 的值为______________. 【解析】∵y ＝2－sin x ，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3，此时x ＝2k π－2π(k ∈Z )．5．函数y ＝sin x (6π≤x ≤43π)的值域为_____[__________.关键能力·攻重难题型探究题型一三角函数的单调区间【例1】求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝12cos(2x ＋3π)； (2)y ＝3sin 6π－3x )．【分析】(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x 的系数转化为正数再求单调区间．【解析】(1)令z ＝2x ＋3π，而函数y ＝cos z 的单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )． ∴当原函数单调递减时，可得2k π≤2x ＋3π≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－6π≤x ≤k π＋3π(k ∈Z )． ∴原函数的单调递减区间是[k π－6π，k π＋3π](k ∈Z )．(2)y ＝3sin(6π－3x )＝－3sin(3x －6π)．令z ＝3x －6π，则y ＝－3sin z ，由y ＝－3sin z 的单调递减区间，即为y ＝sin z 的单调递增区间．∴－2π＋2k π≤z ≤2π＋2k π，k ∈Z .即－2π＋2k π≤3x －6π≤2π＋2k π，k ∈Z . 解得－9π＋23k π≤x ≤23k π＋29π，k ∈Z .所以原函数的单调减区间为[－9π＋23k π，29π＋23k π]，k ∈Z .【归纳提升】与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧：(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝Asinz 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x 的系数转变为正数．【变式训练1】求下列函数的单调区间： (1)函数y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间； (2)函数y ＝3sin(3π－2x )的单调减区间．【解析】(1)∵函数y ＝sin x 在[－2π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )上是增函数，∴函数y ＝sin(x ＋4π)为增函数，当且仅当－2π＋2k π≤x ＋4π≤2π＋2k π时，即－34π＋2k π≤x ≤4π＋2k π(k ∈Z )．∴函数y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间为：[－34π＋2k π，4π＋2k π](k ∈Z )．(2)令u ＝3π－2x ，则u 是x 的减函数．∵y ＝sin u 在[－2π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )上为增函数，∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在区间[－2π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )上递减，∴－2π＋2k π≤3π－2x ≤2π＋2k π，即－12π＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )．∴原函数y ＝3sin(3π－2x )的单调减区间为：[－12π＋k π，512π＋k π](k ∈Z )．题型二三角函数单调性的应用【例2】比较下列各组值的大小： (1)sin215π与sin 425π；(2)sin 15与cos5.【分析】比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较．【解析】(1)sin215π＝sin(4π＋5π)＝sin 5π， sin 425π＝sin(8π＋25π)＝sin 25π.∵y ＝sin x 在[0，2π]上单调递增，又0<5π<25π<2π， ∴sin 5π<sin 25π，∴sin 215π<sin 425π.(2)∵cos5＝cos(2π－5)，sin 15＝cos(2π－15)，∵y ＝cos x 在[0，2π]上递减，又∵0<2π－5<2π－15<2π，∴cos(2π－5)>cos(2π－15)，∴cos5>sin 15.【归纳提升】比较三角函数值大小的步骤：(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．【变式训练2】比较下列各组数的大小： (1)sin194°与cos160°； (2)sin 3(sin)8π与sin 3(cos )8π. 【解析】(1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°，从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.(2)∵cos38π＝sin 8π，∴0<cos 38π<sin 38π<1. 而y ＝sin x 在(0,1)内递增，∴sin 3(cos )8π<sin 3(sin )8π.误区警示忽略函数的定义域而致错【例3】已知定义在[0，π]上的函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝3π时取得最小值，求f (x )在[0，π]上的单调递增区间．【错解】∵函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝3π时取得最小值，∴cos(3π＋θ)＝－1，∴3π＋θ＝π＋2k π，k ∈Z . 又∵0<θ<π，∴θ＝23π，故f (x )＝cos(x ＋23π)．令－π＋2k π≤x ＋23π≤2k π，k ∈Z ，得－53π＋2k π≤x ≤－23π＋2k π，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间是[－53π＋2k π，－23π＋2k π]，k ∈Z .【错因分析】造成错解的原因是忽略了函数定义域的限制，从而扩大了单调区间．【正解】∵函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝3π时取得最小值， ∴cos(3π＋θ)＝－1，∴3π＋θ＝π＋2k π，k ∈Z . 又∵0<θ<π，∴θ＝23π，故f (x )＝cos(x ＋23π)．令－π＋2k π≤x ＋23π≤2k π，k ∈Z ，得－53π＋2k π≤x ≤－23π＋2k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，∴f (x )在[0，π]上的单调递增区间是[3π，π]．【方法点拨】解决与三角函数有关的函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题．学科素养与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题1．求形如y ＝asinx ＋b 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx ≤1)求解．2．对于形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k(A ，ω≠0)的函数，当定义域为R 时，值域为[－|A|＋k ，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx ＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．3．求形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，a ≠0，x ∈R 的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t ＝sin x ，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性． 4．求形如y ＝sin sin a x bc x d++，ac ≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y 的不等式反解出y .【例4】(1)求使下列函数取得最大值和最小值时的x 值，并求出函数的最大值和最小值： ② y ＝2sin x －1；②y ＝－sin 2x sin x ＋34. (2)求下列函数的值域： ①y ＝2sin(2x －3π)，x ∈[3π，34π]；②y ＝sin 2sin 1x x -+.【分析】(1)①先确定sinx 的最值再求y 的最值；②换元转化为二次函数的最值，通过确定新元的范围，求y 的最值．(2)①利用y ＝sinx 的图象求解；②利用分离常数法或|sinx|≤1求解．【解析】(1)①由－1≤sin x ≤1知，当x ＝2k π＋2π，k ∈Z 时，函数y ＝2sin x －1取得最大值，y max ＝1；当x ＝2k π＋32π，k ∈Z 时，函数y ＝2sin x －1取得最小值，y min ＝－3.②y ＝－sin 2x sin x ＋34＝－(sin x －2)2＋54，因为－1≤sin x ≤1，所以当sin xx ＝2k π＋4π或x ＝2k π＋34π(k ∈Z )时，函数取得最大值，y max ＝54；当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋32π(k ∈Z )时，函数取得最小值，y min ＝－14. (2)①∵x ∈[3π，34π]，∴2x ∈[23π，32π]，∴2x －3π∈[3π，76π]，由y ＝sin t 的图象(如图所示)可得sin(2x －3π)∈[－12，1]，则2sin(2x －3π)∈[－1,2]，即y ＝2sin(2x －3π)，x ∈[3π，34π]的值域为[－1,2]．②方法一：y ＝sin 2sin 1x x -+＝sin 13sin 1x x +-+＝1－3sin 1x +.当sin x ＝1时，y max ＝－12，由题易得该函数的值域为(－∞，－12]．方法二：由y ＝sin 2sin 1x x -+，得(sin x ＋1)y ＝sin x －2，即(1－y )sin x ＝y ＋2，显然y ≠1，∴sin x ＝21y y+-.∵－1<sin x ≤1，∴－1<21y y +-≤1，解得y ≤－12，即值域为(－∞，－12]．素养作业·提技能A 组素养自测一、选择题1．y ＝2sin x 2的值域是( A ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0] D ．R【解析】∵x 2≥0，∴sin x 2∈[－1,1]，∴y ＝2sin x 2∈[－2,2]．2．函数y ＝4sin(π6x －π6)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( D )A ．0B ．－3C ．－2－ 3D ．4－2 3【解析】∵0≤x ≤9，∴－π6≤π6x －π6≤4π3，∴sin(π6x －π6)∈[－32，1]，所以函数的值域为[－23，4]，故最大值与最小值之和为4－23，故选D ．3．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( C ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 【解析】画出y ＝|sin x |的图象即可求解．故选C ．4．已知函数f (x )＝－cos x ，下列结论错误的是( D ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数【解析】本题考查余弦函数的性质．∵f (x )＝－cos x 的图象即为函数f (x )＝cos x 的图象绕x 轴翻折而成的，∴A ，B ，C 均正确，函数f (x )应是偶函数，故选D ．5．三个数cos 32，sin 110，－cos 74的大小关系是( C )A ．cos 32>sin 110>－cos 74B ．cos 32>－cos 74>sin 110C ．cos 32<sin 110<－cos 74D ．－cos 74<cos 32>sin 110【解析】sin 110＝cos(π2－110)，－cos 74＝cos(π－74)．∵π>32>π2－110>π－74>0，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴cos 32<cos(π2－110)<cos(π－74)，即cos 32<sin 110<－cos 74.6．函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递增区间是( D ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－43π，2k π＋23π(k ∈Z ) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－43π，4k π＋23π(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋83π(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋23π，4k π＋83π(k ∈Z ) 【解析】函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递增区间即为函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调递减区间．由2k π≤x 2－π3≤π＋2k π，k ∈Z ，得23π＋4k π≤x ≤8π3＋4k π，k ∈Z .故选D ．二、填空题7．函数y ＝sin x ，x ∈[－π3，2π3]的值域为__[－2，1]__.【解析】y ＝sin x 在[－π3，π2]上为增函数，在[π2，2π3]上为减函数，当x ＝－π3时，y＝sin x 有最小值－32，当x ＝π2时，y ＝sin x 有最大值1，所以值域为[－32，1]． 8．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2 015)＝7，则f (－2 015)＝__－5__. 【解析】由f (2 015)＝2 015a ＋b sin2 015＋1＝7，得2 015a ＋b sin2 015＝6，∴f (－2 015)＝－2 015a －b sin2 015＋1＝－(2 015a ＋b sin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.9．函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为__3__.【解析】由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为3.三、解答题10．求下列函数的单调区间． (1)y ＝cos2x ；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . 【解析】(1)函数y ＝cos2x 的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定 2k π－π≤2x ≤2k π(k ∈Z )① 2k π≤2x ≤2k π＋π(k ∈Z )②解①得，k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z )，解②得，k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )．故函数y ＝cos2x 的单调增区间、单调减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． (2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 化为 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.∵y ＝sin u (u ∈R )的单调增、单调减区间分别为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴函数y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )①2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )②解①得，2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，解②得，2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )．故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间、单调减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )． 11．求使下列函数取得最大值和最小值时的x 的值，并求出函数的最大值和最小值．(1)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54；(2)y ＝cos 2x －sin x ，x ∈[－π4，π4]．【解析】(1)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54＝－(sin x －32)2＋2.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x＝32，即x ＝2k π＋π3(k ∈Z )或x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )时，函数取得最大值，y max ＝2；当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )时，函数取得最小值，y min ＝14－ 3.(2)y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x ＝－(sin x ＋12)2＋54.因为－π4≤x ≤π4，所以－22≤sin x ≤22，所以当sin x ＝－12，即x ＝－π6时，函数取得最大值，y max ＝54；当sin x ＝22，即x ＝π4时，函数取得最小值，y min ＝12－22.B 组素养提升一、选择题1．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( A )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)【解析】C 、D 两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C 、D ；B 项中y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x ，该函数在[π4，π2]上为增函数，不合题意；A 项中y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，该函数符合题意，选A ．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)【解析】因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x >0时，f (x )>1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，D 正确．3．(多选题)关于x 的函数f (x )＝2sin(φx ＋φ)，则下列命题正确的是( BD )A ．∀φ∈R ，f (x ＋2π)＝f (x )B ．∃φ∈R ，f (x ＋1)＝f (x )C ．∀φ∈R ，f (x )都不是偶函数D ．∃φ∈R ，f (x )是奇函数【解析】A 错误，若命题f (x ＋2π)＝2sin[φ·(x ＋2π)＋φ]＝2sin(φx ＋φ)成立，则φ必须为整数，所以A 是假命题；B 正确，当φ＝2π时，函数f (x )＝2sin(φx ＋φ)满足f (x ＋1)＝2sin(2πx ＋2π＋φ)＝2sin(2πx ＋φ)＝f (x )，所以B 是真命题；C错误，当φ＝π2时，f (x )＝2cos π2x 满足f (－x )＝2cos(－π2x )＝2cos π2x ＝f (x )，所以存在实数φ使得函数为偶函数，所以C 是假命题；D 正确，当φ＝2π时，f (x )＝2·sin2πx 满足f (－x )＝2sin(－2πx )＝－2·sin2πx ＝－f (x )，所以存在实数φ使得函数为奇函数，所以D 是真命题，故选BD ．4．(多选题)已知函数f (x )＝cos(2x －π6)，下列结论正确的是( CD ) A ．函数f (x )是周期为π的偶函数B ．函数f (x )在区间[π12，5π12]上是增函数 C ．若函数f (x )的定义域为(0，π2)，则值域为(－32，1] D ．函数f (x )的图象与g (x )＝－sin(2x －2π3)的图象重合【解析】A 错，函数f (x )是周期为π的函数，但不是偶函数；B 错，x ∈[π12，5π12]时，2x －π6∈[0，2π3]⊆[0，π]，所以函数f (x )在区间[π12，5π12]上是减函数；C 正确，若函数f (x )的定义域为(0，π2)，则2x －π6∈(－π6，5π6)，其值域为(－32，1]；D 正确，g (x )＝－sin(2x －2π3)＝－sin(－π2＋2x －π6)＝sin[π2－(2x －π6)]＝cos(2x －π6)，故D 正确，故选CD ．二、填空题5．y ＝sin x 的定义域为__[2k π，π＋2k π](k ∈Z )__，单调递增区间为__[2k π，2k π＋π2]，k ∈Z __. 【解析】∵sin x ≥0，∴2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z ；当x ∈[0，π]时，y ＝sin x 在[0，π2]上单调递增．∴其递增区间为：[2k π，2k π＋π2]，k ∈Z . 6．(2019·江苏镇江高一期末)已知函数f (x )＝2k sin x ＋3，若对任意x ∈[－π6，π6]都有f (x )≥0恒成立，则实数k 的取值范围为__[－3,3]__.【解析】由x ∈[－π6，π6]得sin x ∈[－12，12]．当k ≥0时，－k ＋3≤2k sin x ＋3≤k ＋3，由f (x )≥0得－k ＋3≥0，解得0≤k ≤3；当k <0时，k ＋3≤2k sin x ＋3≤－k ＋3，由f (x )≥0得k ＋3≥0，解得－3≤k <0.综上所述，k 的取值范围是[－3,3]．7．(2019·湖北高三调研)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，2π3]上是增函数，其在区间[0，π]上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是__[12，34]__. 【解析】由函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，2π3]上是增函数，得T 4≥2π3，即2π4ω≥2π3，解得ω≤34.当x ∈[0，π]时，ωx ∈[0，ωπ]，又函数f (x )在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以π2≤ωπ<52π，12≤ω<52.综上，12≤ω≤34. 三、解答题8．已知函数y ＝sin(π3－2x )． (1)求函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．【解析】y ＝sin(π3－2x )可化为y ＝－sin(2x －π3)． (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π. (2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以x ∈R 时，y ＝sin(π3－2x )的单调递减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . 从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin(π3－2x )的单调递减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0]． 9．已知函数f (x )＝2a sin(2x ＋π6)＋a ＋b 的定义域为[0，π2]，值域是[－5,1]，求a 、b 的值．【解析】∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6. ∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1. ∴a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5. a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1.综上，a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。

正余弦函数的单调性

．内容及解析（一）内容：本节课从正弦函数的图像出发研究正弦函数的单调区间，并在此基础上类比得出余弦函数的单调区间.内容还包含利用三角函数的单调性比较一组数的大小，以及求已知三角函数的单调区间.（二）解析：由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期上的单调性那么它在整个定义域内的单调性即可知道.二、目标及解析（一）教学目标1．掌握正弦函数、余弦函数的单调性；3.会利用三角函数的单调性判断一组数的大小，会求给出的三角函数单调区间.（二）解析1.根据《课程标准》提出本节内容的要求及本节课内容对今后学习的影响，提出了上述教学目标并给出了相应的要求定位.单调性是学习最值的基础.2.正、余弦函数的单调性与前面学习的函数的单调性的含义是一样的.3. 正、余弦函数的单调性，要求由图象观察，可以进一步学习的类比的思想方法，渗透数形结合思想.三、问题诊断分析同学在研究过程中对取区间来进行研究理解可能会遇到困难，此处需引导学生观察图像，强调由于三角函数的周期性，首先我们只用研究一个周期内的情况，其次这个区间上有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间；第二个难点，将一个周期的单调区间推广到整个定义域范围内，教学过程中要给学生充分的时间思考，教师引导他们得出单调区间的一般形式.四、教学过程设计（一）教学基本流程正弦函数的单调区间单调性的引入余弦函数的单调区间课堂小结单调性的运用（二）教学情境1.单调性的复习引入上次课我们学习了正、余弦函数的周期性及其奇偶性，这节课我们将继续来研究三角函数的另一个重要性质-----单调性.问题1：什么是函数的单调性？设计意图：引导学生复习单调性的概念.师生活动：教师提问，学生回答.问题2：我们研究函数的单调性是在定义域范围内研究的，正、余弦函数的定义域是什么？设计意图：此内容在学习三角函数图像的时候已经提过，此处提出来一是帮助学生记忆，二为接下来的内容做铺垫.师生活动：定义域为.2.正弦函数的单调区间问题3：观察正弦函数图象，它在整个定义域上具有单调性吗？在区间上具有单调性吗？设计意图：正弦函数在整个定义域范围内并不具有单调性，但在区间上具有单调性，提出此问题帮助学生从图象整体转移到部分.师生活动：学生观察图像，回答问题.教师适当点拨.问题4：你能写出正弦函数的几个单调递增区间吗？设计意图：此问题有助于学生发现这些区间之间的关系.师生活动：学生看图动手写，教师提问.问题5：整个定义域范围内的所有的单调增、减区间该怎么表示呢？设计意图：提出问题，引导学生思考取哪个区间来作为出发点.在学习了周期性的基础上来思考此问题，首先有助于加强周期性的运用，其次能提高学生的归纳能力.师生活动：（1）学生观察函数图象说出自己的想法及理由；（2）师生得出应以为出发点，原因之一这个区间有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间，其次这个区间在原点附近，便于研究.(3)正弦函数的周期是多少？得出单调递增区间：得出单调递减区间：（4）请同学们观察在区间内函数值的变化范围？在整个定义域范围内的函数值变化情况呢？3、余弦函数的单调区间问题6：类比正弦函数的单调区间的研究过程，你能得出余弦函数的单调区间吗？其函数值的变化情况又怎样呢？设计意图：同学用研究正弦函数的方法，类比研究余弦函数的增减区间，培养类比思维.师生活动：（1）同学类比研究正弦函数方法，根据余弦函数的图像，自主探究余弦函数的单调性，讨论得出余弦函数的单调区间，函数值的变化情况.（2）教师给学生足够的时间思考、讨论，并巡视课堂做个别点拨,最后提问：我们应该选择哪个周期来作为研究对象？在这个周期内的增减情况如何？函数值变化情况怎样？如何将本周期内的情况扩充到整个定义域范围内？其一般情况如何表示？4、单调性的运用例1：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：（1）与；（2）与.设计意图：本题么难点在于用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，大部分同学可能想不到.通过运用单调性解决问题，一能帮助同学记忆单调区间，其次帮助同学掌握利用单调性比较两个三角函数大小的基本方法.师生活动：教师用提问的方式提示同学将角转化到同一个单调区间内：（1）我们知道正、余弦函数具有周期性，利用单调性来比较已知角的三角函数值的大小，若已知角不在同一个单调区间内，怎么办？变式训练：利用三角函数的单调性，比较下列数的大小：与设计意图：及时巩固例1的解题方法.师生活动：学生自主完成，教师巡视进行个别辅导.例2：求函数的单调递增区间.设计意图：本题对同学来说可能会有一定难度，通过本题，进一步理解函数的单调性，掌握利用单调性解题的基本方法.师生活动：教师提示同学将分解，可提出问题：（1）的单调递增区间是什么？（2）的单调递增区间是什么？（3）的单调递增区间是什么？变式训练：你能求的单调递增区间吗？设计意图：通过解决本问题，使学生对求相对复杂函数的单调区间的问题有一个完整的认识.师生活动：同学先行试解，一定时间后教师将错误答案呈现出来，然后同学利用描点画图的方法将此函数图像画出来观察其单调增区间是否与答案一致.（1）我们发现与答案恰好相反，为什么？（2）同学们观察此函数与例1的函数有什么区别，为什么用例1的方法结果是错的？（3）能否将此函数转化为与例1类似的形式？5、目标检测：1．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：（1）与（2）与2.求函数的单调递增区间.6、小结（1）正、余弦函数的单调区间，函数值变化情况分别是什么？（2）利用三角函数的单调性比较一组数的大小需注意什么问题？（3）如何求一个已知三角函数的单调区间？。

高中数学同步学案正弦、余弦函数的单调性与最值

第2课时正弦、余弦函数的单调性与最值学习目标核心素养1.掌握y ＝sin x 和y ＝cos x 的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 2．掌握y ＝sin x 和y ＝cos x 的单调性,并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y ＝Asin (ωx＋φ)和y ＝Acos (ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性和最大(小)值等性质,提升学生的数学抽象素养．2．通过三角函数单调性等性质的学习,培养学生的运用数形结合研究问题的思想,提升学生的数学运算素养.正弦、余弦函数的图象与性质解析式y ＝sin xy ＝cos x图象值域[－1,1][－1,1]单调性在⎣⎢⎡－π2＋2kπ，π2＋2kπ],k ∈Z 上递增,在⎣⎢⎡π2＋2kπ，3π2＋2kπ],k ∈Z 上递减在[－π＋2kπ,2k π],k ∈Z 上递增, 在[2kπ,π＋2kπ],k ∈Z 上递减最值x ＝π2＋2kπ,k ∈Z 时,y max ＝1；x ＝－π2＋2kπ,k ∈Z 时,y min ＝－1x ＝2kπ,k ∈Z 时,y max ＝1；x ＝π＋2kπ,k ∈Z 时,y min ＝－1对称轴 x ＝kπ＋π2(k∈Z)x ＝kπ(k∈Z)对称中心 (kπ,0)k∈Z⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0k ∈Z思考：y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间(m,n)(其中0＜m ＜n ＜2π)上都是减函数,你能确定m 、n 的值吗？ [提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m ＝π2,n ＝π.1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的值域是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．[－1,1]A [这里A ＝2,故值域为[－2,2]．]2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的一个对称中心是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝cos 2x,令2x ＝kπ＋π2(k∈Z)得x ＝kπ2＋π4(k∈Z),令k ＝0的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0,故选B.]3．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的取值集合为________．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2kπ－π2，k ∈Z [当sin x ＝－1时,y max ＝2－(－1)＝3,此时x ＝2kπ－π2,k ∈Z.]4．函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，k π＋5π8(k∈Z) [令2kπ≤2x －π4≤2k π＋π,k ∈Z,得kπ＋π8≤x ≤k π＋5π8(k∈Z),故单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，k π＋5π8(k∈Z)．]正弦函数、余弦函数的单调性【例1】 (1)函数y ＝cos x 在区间[－π,a]上为增函数,则a 的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1,求函数f(x)的单调递增区间．思路点拨：(1)确定a 的范围→y＝cos x 在区间[－π,a]上为增函数→y＝cos x 在区间[－π,0]上是增函数,在区间[0,π]上是减函数→a 的范围．(2)确定增区间→令u ＝π4＋2x→y＝2sin u ＋1的单调递增区间．(1)(－π,0] [因为y ＝cos x 在[－π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有－π＜a≤0时满足条件,故a∈(－π,0]．](2)[解] 令u ＝π4＋2x,函数y ＝2sin u ＋1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ,k ∈Z,由－π2＋2kπ≤π4＋2x≤π2＋2kπ,k ∈Z, 得－3π8＋kπ≤x ≤π8＋kπ,k ∈Z.所以函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋kπ，π8＋kπ,k ∈Z.1．本例(2)中条件不变,问⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4是该函数的单调递增区间吗？[解] 令2x ＋π4＝u,∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4, ∴π4≤2x ＋π4≤3π4,即u∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4. 而y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上不单调,故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上不是单调递增的． 2．本例(2)中条件不变,求在[－π,π]上的单调递增区间． [解] 对于y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1,由2kπ－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k∈Z)得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k∈Z)．∵－π≤x ≤π,令k ＝－1时,－π≤x ≤－78π,令k ＝0时,－3π8≤x ≤π8,令k ＝1时,5π8≤x ≤π,∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1在[－π,π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－78π、⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，π.3．本例(2)中把条件中的“π4＋2x”改为“π4－2x”,结果怎样？ [解] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＋1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1,令2kπ＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k∈Z),得kπ＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k∈Z)．故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ＋1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋3π8，k π＋7π8(k∈Z)．1．求形如y ＝Asin (ωx＋φ)＋b 或形如y ＝Acos (ωx＋φ)＋b(其中A≠0,ω>0,b 为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x 的系数化为正；②在A>0,ω>0时,将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0,ω>0时,同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．1．(1)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________． (2)已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ,则它的单调递减区间为________． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，k π＋2π3(k∈Z) [(1)由π2＋2kπ≤3x ＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z ), 得π9＋2kπ3≤x ≤4π9＋2kπ3(k∈Z)．又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3, 所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,由2kπ≤2x －π3≤2kπ＋π,k ∈Z,得kπ＋π6≤x ≤k π＋2π3,k ∈Z,∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，k π＋2π3(k∈Z)．]利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 思路点拨：用诱导公式化简→利用函数的单调性，由自变量的大小推出对应函数值的大小 [解] (1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°,cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°, ∵0°＜16°＜66°＜90°, ∴sin 16°＜sin 66°, 从而－sin 16°＞－sin 66°, 即sin 196°＞cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0＜π4＜35π＜π,且y ＝cos x 在[0,π]上是减函数,∴cos 35π＜cos π4,即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2内；对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[－π,0]或[0,π]内．(2)不同名的函数化为同名的函数．(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．2．(1)已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是( ) A ．sin α＜sin β B ．cos α＜sin β C ．cos α＜cos β D ．cos α ＞cos β(2)比较下列各组数的大小： ①cos 15π8,cos 14π9；②cos 1,sin 1.(1)B [α,β为锐角三角形的两个内角,α＋β＞π2,α＞π2－β,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以cos α＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β.](2)[解] ①cos 15π8＝cos π8,cos 14π9＝cos 4π9,因为0＜π8＜4π9＜π,而y ＝cos x 在[0,π]上单调递减,所以cos π8＞cos 4π9,即cos 15π8＞cos 14π9.②因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1,而0＜π2－1＜1＜π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＜sin 1,即cos 1＜sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x∈[0,π]上的最小值是多少？提示：因为x∈[0,π],所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4,由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.2．函数y ＝Asin x ＋b,x∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？提示：不是．因为A>0时,最大值为A ＋b,若A<0时,最大值应为－A ＋b. 【例3】 (1)函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为________．(2)已知函数f(x)＝asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b(a ＞0)．当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,f(x)的最大值为3,最小值是－2,求a和b 的值．思路点拨：(1)先用平方关系转化,即cos 2x ＝1－sin 2x,再将sin x 看作整体,转化为二次函数的值域问题．(2)先由x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求2x －π3的取值范围,再求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的取值范围,最后求f(x)min ,f(x)max ,列方程组求解．(1)[－4,0] [y ＝cos 2x ＋2sin x －2 ＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2. 因为－1≤sin x ≤1,所以－4≤y≤0,所以函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为[－4,0]．] (2)[解] ∵0≤x≤π2,∴－π3≤2x －π3≤2π3,∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1,∴f(x)max ＝a ＋b ＝3, f(x)min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.1．求本例(1)中函数取得最小值时x 的取值集合．[解] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2, 所以当sin x ＝－1时,y min ＝－4,此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2kπ－π2，k ∈Z .2．本例(2)中,函数变成f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,求其最大值和最小值,并求取得最大值及最小值时的集合．[解] (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1, 所以当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时,y max ＝5；这时2x ＋π3＝2kπ(k∈Z),即x ＝kπ－π6(k∈Z)．当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时,y min ＝1. 这时2x ＋π3＝2kπ＋π(k∈Z),即x ＝kπ＋π3(k∈Z)．综上,f(x)max ＝5,这时x 取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝kπ－π6（k∈Z）；f(x)min ＝1,这时x 取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝kπ＋π3（k∈Z）.3．本例(2)中,函数变成f(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,且加上条件x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时,求最大值、最小值． [解] 因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12,所以0≤2x＋π3≤π2,所以0≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1,所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时,y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0,y min ＝3. 所以函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5,最小值为3.三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c(a≠0),利用换元思想设t ＝sin x,转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值,t 的范围需要根据定义域来确定．(2)y ＝Asin (ωx＋φ)＋b,可先由定义域求得ωx＋φ的范围,然后求得sin (ωx＋φ)的范围,最后得最值．1．求函数y ＝Asin (ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体,由2kπ－π2≤ωx ＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x 的范围,所得区间即为增区间,由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2(k∈Z)解出x 的范围,所得区间即为减区间．若ω＜0,先利用诱导公式把ω转化为正数后,再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较,再利用单调性作出判断．3．三角函数最值问题的求解方法有：(1)形如y ＝asin x(或y ＝acos x)型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对a 正负的讨论． (2)形如y ＝Asin (ωx＋φ)＋b(或y ＝Acos (ωx＋φ)＋b)型,可先由定义域求得ωx＋φ的范围,然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围,最后求得最值．(3)形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c(a≠0)型,可利用换元思想,设t ＝sin x,转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定.1．下列命题正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数B ．存在x∈R 满足sin x ＝ 2C ．在区间[0,2π]上,函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1D ．正弦函数y ＝sin x 有无穷多条对称轴和无数个对称中心D [A 错,y ＝sin x,y ＝cos x 在定义域没有单调增区间也没有减区间；B 错,sin x ≤1；C 错,y ＝cos x (x∈[0,2π])当x ＝0或2π时,函数取得最大值；D 对,根据正弦曲线可以知道正弦曲线有无数条对称轴,写成x ＝kπ＋π2(k∈Z),也有无穷多个对称中心(kπ,0)(k∈Z)．]2．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤5π6的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [因为π4≤x ≤5π6,所以12≤sin x ≤1,即所求的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.]3．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8(填“＞”或“＜”)．＞ [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8,因为0＜π8＜2π7＜π2,y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数,所以sin π8＜sin 2π7,即sin 2π7＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8.] 4．求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．[解] 求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间,转化为求函数y ＝sin 2x 的单调递减区间, 由π2＋2kπ≤2x ≤3π2＋2kπ,k ∈Z, 得π4＋kπ≤x ≤3π4＋kπ,k ∈Z,即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z)．。

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)教学课件(人教版)

（小）值求解.
（3）余弦函数类似.
例4
例4 不通过求值，比较下列各组数的大小
(1)sin( )与sin( )
（1）因为 0，
正弦函数
y
sin
x在区间
,
0 上单调递增，
所以sin( ) sin( ).
分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.
,
x
[2,
2]
的单调区间吗？
解：令 z 1 x.由于 z 是 x的减函数，因此函数 y sin z 的减区间就是原函数的增区间. 2
函数
y
sin
z
的单调递减区间是
2
2k，3 2
2k
(k
Z)
由于 2k 1 x 3 2kk Z
2
2 2
得 7 k x kk Z
对于余弦函数 y cos x, x R,有当且仅当 x 2k, k Z时，取得最大值 1；当且仅当 x (2k 1), k Z时，取得最小值-1.
例3
例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值. (1) y cos x 1, x R; （1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R 取得最大值的 x 的集合{x | x 2k, k Z}；使函数 y cos x 1, x R取得最小值的 x 的集合，就是使函数 y cos x, x R取得最小值的 x 的集合{x | x 2(k 1), k Z}. 函数 y cos x 1, x R的最大值是11 2；最小值是11 0.

1.4.2正弦函数余弦函数的性质说课稿

∴该函数既是奇函数，又是偶函数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)∵函数 y＝x2，y＝cos x 的图象都关于 y 轴对称，则 x2≠cos x 的解集关于原点对称， ∴函数定义域是一个关于原点对称的区间，又 f(－x)＝－－xx22＋－ccooss －－xx＝xx22－＋ccooss xx＝f(x)， ∴该函数是偶函数． (3)由1co－s cxo－s 1x≥≥00，，得 cos x＝1，故 f(x)＝0， ∴函数 f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1既是奇函数也是偶函数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
方法三：观察法(图象法)．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为 1.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法 (1)把 ωx＋φ 看成一个整体，由 2kπ－2π≤ωx＋φ≤2kπ＋2π(k∈Z) 解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由 2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ ＋32π(k∈Z)解出 x 的范围，所得区间即为减区间． (2)在求函数 y＝Asin (ωx＋φ)或 y＝Acos (ωx＋φ)的单调区间时，当 ω<0 时，必须利用诱导公式转化成－ω>0 后再进行求解．
y∈[－1,1] 2π
y∈[－1,1] 2π
奇偶性
奇函数
偶函数
在[2kπ－π，2kπ]
单调性在2kπ－2π，2kπ＋2π(k∈Z)上递增； (k∈Z) 上递增；
在2kπ＋2π，2kπ＋32π(k∈Z)上递减

正弦函数、余弦函数的图象和性质教案

正弦函数、余弦函数的图象和性质教案第一章：正弦函数的定义与图象1.1 教学目标了解正弦函数的定义能够绘制正弦函数的图象1.2 教学内容正弦函数的定义：正弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值。

正弦函数的图象：正弦函数的图象是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。

1.3 教学活动讲解正弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。

使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制正弦函数的图象，并观察其特点。

1.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数的练习题，包括选择题和解答题。

第二章：余弦函数的定义与图象2.1 教学目标了解余弦函数的定义能够绘制余弦函数的图象2.2 教学内容余弦函数的定义：余弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值。

余弦函数的图象：余弦函数的图象也是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。

2.3 教学活动讲解余弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。

使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制余弦函数的图象，并观察其特点。

2.4 作业与练习让学生完成一些关于余弦函数的练习题，包括选择题和解答题。

第三章：正弦函数和余弦函数的性质3.1 教学目标了解正弦函数和余弦函数的性质3.2 教学内容正弦函数和余弦函数的周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π。

正弦函数和余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

正弦函数和余弦函数的单调性：正弦函数和余弦函数在一个周期内都是先增后减。

3.3 教学活动讲解正弦函数和余弦函数的性质，并通过实际例子进行解释。

让学生通过观察图象，总结正弦函数和余弦函数的性质。

3.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数和余弦函数性质的练习题，包括选择题和解答题。

第四章：正弦函数和余弦函数的应用4.1 教学目标能够应用正弦函数和余弦函数解决实际问题4.2 教学内容正弦函数和余弦函数在物理学中的应用：正弦函数和余弦函数可以用来描述简谐运动，如弹簧振子的运动。

余弦函数教案(3篇)

第1篇一、教学目标1. 知识目标：- 理解余弦函数的定义及其图像特征。

- 掌握余弦函数的基本性质，如周期性、奇偶性、单调性等。

- 学会利用余弦函数解决实际问题。

2. 能力目标：- 提高学生分析问题和解决问题的能力。

- 培养学生运用数形结合的数学思想方法。

3. 情感目标：- 激发学生对数学学习的兴趣。

- 增强学生的逻辑思维能力和创新精神。

二、教学重难点1. 重点：- 余弦函数的定义及其图像特征。

- 余弦函数的基本性质。

2. 难点：- 余弦函数图像的变换规律。

- 利用余弦函数解决实际问题。

三、教学过程第一课时：余弦函数的定义及图像1. 导入新课：- 复习初中阶段学习的三角函数知识，如正弦函数、余弦函数的定义和性质。

- 引入余弦函数的概念，提出问题：如何定义余弦函数？2. 新课讲授：- 余弦函数的定义：在单位圆上，任意角的终边与x轴正半轴的夹角为θ，该角的余弦值定义为终边与x轴正半轴所夹线段的长度。

- 余弦函数的图像：通过描点法绘制余弦函数的图像，观察图像的形状、周期性、奇偶性等特征。

3. 课堂练习：- 练习绘制余弦函数的图像，观察图像的周期性、奇偶性等性质。

- 比较余弦函数和正弦函数的图像，分析它们之间的异同。

第二课时：余弦函数的性质及应用1. 复习导入：- 复习余弦函数的定义和图像特征。

- 提出问题：余弦函数有哪些性质？2. 新课讲授：- 余弦函数的性质：- 周期性：余弦函数的周期为2π。

- 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。

- 单调性：在区间[0, π]上，余弦函数单调递减；在区间[-π, 0]上，余弦函数单调递增。

- 余弦函数的应用：- 解决实际问题，如计算三角形的边长、角度等。

- 应用余弦函数解决物理问题，如简谐运动、振动等问题。

3. 课堂练习：- 练习利用余弦函数解决实际问题。

- 分析余弦函数在物理问题中的应用。

四、教学评价1. 课堂表现：- 观察学生在课堂上的参与程度、回答问题的情况。

必修四第一章《正弦函数余弦函数的性质》教学设计(王卫)

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质评1节.二、教学目标及解析目标：1、通过图象理解正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值和对称性，体会数形结合方法；2、会求简单正弦函数、余弦函数的周期、单调区间、最值等。

解析：1、目标1在于让学生体会到数形结合、归纳的数学思想，能独立归纳出的正弦函数、余弦函数的性质。

2、目标2在于让学生学会运用性质对简单正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值等的求解。

三、问题诊断分析本节课的教学中，学生可能出现如下几个问题：①函数周期性的定义是什么？②如何求出正弦函数、余弦函数的周期？③不理解正弦函数、余弦函数的单调区间？不能正确写出正弦函数、余弦函数的单调区间？学生出现这几个问题的原因是不理解正弦函数、余弦函数的本质，对函数的周期性、单调性理解不透彻。

学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

解决这些问题的关键是结合图像变化趋势加以理解；结合定义，通过例题加以模仿。

在此过程中，需要学生感受归纳的数学思想，找出函数之间的共同点和规律，通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

四、教学条件支持本节课的教学中需要用到几何画板和智能黑板，因为使用几何画板有利于展示函数的图像，能够给学生直观的认识。

五、教学过程1、自学问题1：周期函数的概念是什么？问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？问题3：正、余弦函数的最值与对称性分别是什么？2、互学导学问题1：周期函数的概念是什么？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，培养学生的归纳能力。

师生活动：学生思考并回答，教师指导。

小问题1：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？答：描点法（几何法、五点法），图象变换法。

并要求学生回忆哪五个关键点。

小问题2：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？答：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性等小问题3：正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.小问题4：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理论依据是什么？sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈小问题5：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx 称为周期函数，2k π为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？由inx k x s 2sin =+π）（知: 知:最小正周期是π2.小问题8：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？由x k x cos )2cos(=+π知: 正、余弦函数是周期函数，2k π（k ∈Z, k ≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x ∈R ; (2)y=sin2x,x ∈R ;(3)y=2sin(2x -6π),x ∈R .(1) 因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx ≠3cosx,所以π不是周期.(2) 教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期是2π,就是说,当u 增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.(3)因为2sin ［21(x+4π)-6π］=2sin ［(2x -6π)+2π］=2sin(2x -6π).所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π; (2)周期为π; (3)周期为4π.变式1、P36练习第2题.小问题9：周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，培养学生的归纳能力。

《正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)》示范课教学设计【高中数学】

《正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）》教学设计经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质．教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性、最值等性质．教学难点：正弦函数、余弦函数单调区间的求法．PPT课件．（一）新知探究问题1：对于一般的函数，我们一般要研究其哪些性质？观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格．预设的师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想象，完成上述表格，之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流．注意，在此环节，只是利用图象得出结论，下一环节才从代数的角度分析．在完成表格时，因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性，学生在猜想并写出单调区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑．对此，在学生展示交流过程中，教师可以通过如下追问促进学生的思考，帮助他们理解，并借助信息技术，引导学生进行直观想象．追问1：如何理解点（π，0）也是正弦函数y＝sin x的对称中心？如何理解直线x＝π2是正弦函数y＝sin x的对称轴？追问2：逐一列举正弦函数y＝sin x的单调递增区间，它们与区间[－π2，π2]之间有怎样的关系？预设答案：设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序．培养学生运用类比、对比的方法，并根据图象进行合理猜想，直观感知研究对象的意识和能力．问题2：教科书分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？预设的师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题．预设答案：正弦、余弦函数选择的区间分别为[−π2，3π2]、[−π，π]，这两个区间距离原点最近，我们相对更熟悉一点．设计意图：引导学生阅读教科书，重视教科书，在直观感知的基础上系统、规范地认知函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性．例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．（1）y ＝cos x +1，x ∈R ；（2）y ＝－3sin 2x ，x ∈R ．追问：如何转化为你熟悉的函数求解？师生活动：学生先独立完成，之后就解题思路和结果进行展示交流，教师及时予以明确换元法及其重要作用．预设答案：解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．（1）使函数y ＝cos x +1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝；使函数y ＝cos x +1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π+π，k ∈Z ｝；函数y ＝cos x +1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．（2）令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使y ＝sin z ，z ∈R 取得最小值的z 的集合｛z ｜z ＝－2π＋2k π，k ∈Z ｝．由2x ＝z ＝－2π＋2k π，得x ＝－4π＋k π．所以，y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝－4π＋k π，k ∈Z ｝．同理，使函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是｛x ｜x ＝4π＋k π，k ∈Z ｝．函数y ＝－3sin 2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3．设计意图：巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用．例2 不通过求值，比较下列各数的大小：（1）sin （－18π）与sin （－10π）；（2）cos （－5π23）与cos （－4π17）．追问：比较大小的依据是什么？预设的师生活动：学生独立完成，教师进行指导．本例中，对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解．预设答案：解：（1）因为－2π＜－18π＜－10π＜0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－2π，0]上单调递增，所以sin （－18π）＜sin （－10π）．（2）cos （－5π23）=cos 5π23=cos 5π3，cos （－4π17）=cos 4π17=cos 4π，且余弦函数在区间［0，π］上单调递减，所以cos4π＞cos 5π3，即cos （－4π17）＞cos （－5π23）．你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试．设计意图：初步应用函数的单调性解决比较大小的问题．例3 求函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π21x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．追问：如何转化为熟悉的函数求解？师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解．预设答案：通过换元转化为熟悉的函数单调性问题，然后求解．令z ＝3π21+x ，x ∈[－2π，2π]，则z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，．因为y ＝sin z ，z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，的单调递增区间是z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2π2π，，且由2π-≤3π21+x ≤2π得3π5-≤x ≤3π，所以，函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π21x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3π3π5，．变式：求函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 213π，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．预设的师生活动：学生独立完成．对于变式问题，会有一部分学生出错，教师要引导学生将正确和错误解答进行对比分析．预设答案：令z ＝sinx 213π-，x ∈[－2π，2π]，则z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，．因为y ＝sin z ，z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π34π32，的单调递减区间是z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2ππ32，或⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π42π，，且由3π2-≤x 213π-≤2π-或2π≤x 213π-≤3π4得3π5≤x ≤2π或－2π≤x ≤3π，所以，函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 213π，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23π5，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3ππ2，．设计意图：类比例3求解，进一步熟练换元转化的思想方法．通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．（二）归纳小结问题3：教师引导学生回顾本单元的学习内容，回答下面的问题：（1）正弦函数、余弦函数的图象是什么形状？它们具有什么性质？请结合一个具体的函数谈一谈．（2）对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的？又是如何研究它的性质的？余弦函数呢？（3）通过本节课的学习，你对正弦函数、余弦函数有了哪些新的认识？对于如何研究一个函数又有了哪些新的体会？设计意图：通过小结，复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数的理解．通过对本单元研究过程的总结，体会研究正弦函数、余弦函数性质的方法，进一步体会研究函数的一般思路和方法．（三）拓展研究问题4：三角函数的定义是利用单位圆给出的，你能利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质吗？请将你的研究方案和研究报告写下来．设计意图：让学生换一个角度认识正弦函数、余弦函数的性质，提升其理解的深刻性．同时开放学生的思维，通过探索发现提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力．（四）布置作业教科书习题．。

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)(教学设计)高一数学 (人教A版2019 必修第一册)

《5.4.2正弦、余弦函数的性质》教学设计第2课时教材内容：本节的内容是正弦函数、余弦函数的性质的研究，在此之前，已经研究过二次函数、幂函数、指数函数等函数的性质。

因此在研究正弦函数、余弦函数时可借助之前研究函数性质的经验。

同时，本节课的学习也为后续学习正切函数的图像和性质奠定了基础。

本节内容在教学安排上有着承前启后的作用。

教学目标：1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值,培养数学运算的核心素养；2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小，提升逻辑推理的核心素养；3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间，提升数学运算的核心素养；4.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴、对称中心，提升数学运算的核心素养。

教学重点与难点：1、通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；2、应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx 的函数的单调性、最值、值域及对称性。

教学过程设计:（一）新知导入1. 创设情境，生成问题过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径.2.探索交流，解决问题探究 (1)函数y ＝sin x 与y ＝cos x 也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是y ＝sin x ，y ＝cos x 的哪些性质？(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应y ＝sin x ，y ＝cos x 的哪些性质？y ＝sin x ，y ＝cos x 在什么位置取得最大(小)值？提示 (1)单调性. (2)最值，波峰，波谷.【设计意图】通过复习三角函数的定义，用联系的观点引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括推理的能力。

高中数学高三三角函数的图象和性质【教案】

高三一轮（理） 3.3 三角函数的图象和性质【教学目标】1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。

【重点难点】1。

教学重点：函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质; 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】了解理解掌握函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质√［考纲传真] 1。

能画出y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象，了解函数的周期性 2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。

真题再现学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。

通过对考纲的解读和分析.让学生明确考试要求，做到有的放矢2.【2014上海】函数的最小正周期是________ 【解析】由题意13.(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________.典例 (1)(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。

(2)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为()A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，解析 (1)选项A中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意.6.（2016高考新课标1）已知函数为的零点,为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ )数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x)的最小正周期．知识点3 三角函数的图象和性质y＝sin x y＝cos x y＝tan xR R x≠kπ＋错误!,k ［－1，1][－1,1]R增区间：错误!，减区间:错误!增区间：[2kπ－π，2kπ］，减区间：[2kπ,2kπ＋π]，递增区间kπ－错误!，kπ＋∈Z奇函数偶函数奇函数（kπ,0）,k ∈Z 错误!,k∈Zkπ2，0，k∈Z在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时和解题效率.学必求其心得，业必贵于专精。

三角函数的图像与性质教案

三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握三角函数的图像与性质，能够运用三角函数解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索三角函数的图像与性质。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作能力。

二、教学内容：1. 三角函数的定义与图像2. 三角函数的周期性3. 三角函数的奇偶性4. 三角函数的单调性5. 三角函数的极值三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图像与性质的掌握。

2. 教学难点：三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的图像与性质。

2. 利用多媒体手段，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。

3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入高中阶段的学习。

2. 探究三角函数的图像与性质：引导学生观察三角函数的图像，分析其特点，归纳出性质。

3. 讲解与示范：教师讲解三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断方法，并进行示范。

4. 练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。

5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

教案编写完毕，仅供参考。

如有需要，请根据实际情况进行调整。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，评价学生的学习态度和团队协作能力。

2. 作业评价：对学生的课后作业进行批改，评价学生对课堂所学知识的掌握程度。

3. 单元测试评价：在单元结束后进行测试，评价学生对三角函数图像与性质的掌握情况。

七、教学策略：1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，使所有学生都能跟上教学进度。