物理奥赛例题及答案—对称法
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练习题五:对称法
A1、一半径为R入党半圆均匀薄片质心的位置?求一厚度和密度都均匀的扇形薄片,其半径为R,顶角为2A,求质心?
A2、如图7—6所示,长为l的两块相同的均匀长方形砖块A和B叠放在一起,A砖相对于
B砖伸出l
5
,B砖放在水平桌面上,砖的端面与桌面平行。为保持两砖不翻倒,B砖伸出桌面的
最大长度是多少?
解析:此题可用力矩平衡求解,但用对称法求解,会直观简洁。把A砖右端伸出B端的l
5
截
去,补在B砖的右端,则变成图7—6—甲所示的对称形状。伸出最多时对称轴应恰好通过桌边。
所以:l-x = x +l 5
解得B砖右端伸出桌面的最大长度为:x =2 5 1
A3、如图7—11所示,三根等长的细绝缘棒连接成等边三
角形,A 点为三角形的内心,B 点与三角形共面且与A 相对ac 棒对称,三棒带有均匀分布的电荷,此时测得A 、B 两点的电势各为U A 、U B ,现将ac
棒取走,而ab 、bc 棒的电荷分布不变,求这时A 、B 两点的电势A U '、B U '。
解析:ab 、bc 、ac 三根棒中的电荷对称分布,各自对A 点电势的贡献相
同,ac 棒对B 点电势的贡献和对A 点电势的贡献相同,而ab 、bc 棒对B 点电势的贡献也相同。
设ab 、bc 、ac 棒各自在A 点的电势为U 1 ,ab 、bc 棒在B 点的电势为U 2 。由对称性知,ac 棒在B 点的电势为U 1 。
由电势叠加原理得:
3U 1 = U A ① U 1+ 2U 2 = U B ②
由①、②两式得:U 1 =
A
U 3
,U 2 =B 1U U 2-=
A
B U U 32
-
=B A 3U U 6-
将ac 棒取走后,A 、B 两点的电势分别为:
A U '= U A -U 1 =
2
3
U A B
U '= U B -U 2 =B U 2
+A U 6 A4、电荷q 均匀分布在半球面ACB 上,球面的半径为R ,CD 为通过半球顶点C 与球心O
的轴线,如图所示,P 、Q 为CD 轴线上在O 点两侧,离O 点距离相等的两点,已知P 点的电势为U P ,试求Q 点的电势U Q 。
解析:可以设想一个均匀带电、带电量也是q 的右半球,与题中所给的左半球组成一个完整
的均匀带电球面,根据对称性来解。
由对称性可知,右半球在P 点的电势P U '等于左半球在Q 点的电势U Q 。即:P U '= U Q
所以有:U P + U Q = U P + P U '
而U P +P U '正是两个半球在P 点的电势,因为球面均匀带电,所以U P +P U '= K
2q
R
由此解得Q 点的电势:U Q =
2Kq
R
-U P 。
A5、一无限长均匀带电细线弯成如图7—8所示的平面图形,其中AB 是半径为R 的半圆弧,
AA ′平行于BB ′,试求圆心O 处的电场强度。
解析:如图7—8甲所示,左上1/4圆弧内的线元ΔL 1与右下直线上的线元ΔL 3具有角元Δθ对称关系。ΔL 1电荷与ΔL 3电荷在O 点的场强ΔE 1与ΔE 3方向相反,若它们的大小也相等,则左
P
D
C
Q
O B
A
上与右下线元电场强度成对抵消,可得圆心处场强为零。
设电荷线密度为常量λ ,因Δθ很小,ΔL 1电荷与ΔL 3电荷可看做点电荷,其带电量: q 1 = R Δθ⋅λ ,q 2 = ΔL 3⋅λ 当Δθ很小时,有:q 2 =
R cos cos ∆θ⋅λ
θ⋅θ
又因为ΔE 1 = K 12q R ,ΔE 2 = K 22q r = K 2R cos ∆θ⋅λθ
⋅22cos R θ
= K 2R R ∆θλ,与ΔE 1的大小相同,且ΔE 1与
ΔE 2方向相反。
所以圆心O 处的电场强度为零。
A6、如图7—15所示,两块竖直放置的平行金属板A 、B 之间距离为d ,两板间电压为U ,
在两板间放一半径为R 的金属球壳,球心到两板的距离相等,C 点为球壳上的一点,位置在垂直于两板的球直径的靠A 板的一端,试求A 板与点C 间的电压大小为多少?
解析:将金属球壳放在电场中达到静电平衡后,球壳为等势体,两极板之间的电场由原来的匀强电场变为如图7—15甲所示的电场,这时C 与A 板间电势差就不能用公式U AC = Ed AC 来计算。我们利用电场的对称性求解。
由于电场线和金属球关于球心O 对称,所以A 板与金属板的电势差U AO 和金属球与B 板的电势差U OB 相等,即:
U AO = U OB
又A 、B 两板电势差保持不变为U ,即: U AO + U OB = U
由以上两式解得:U AO = U OB =
U 2
所以得A 、C 两点间电势差:U AC = U AO =
U 2
B1、沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁
抛出一个弹性小球A ,抛出点离水平地面的高度为h ,距离墙壁的水平距离为s ,小球与墙壁发生弹性碰撞后,落在水平地面上,落地点距墙壁的水平距离为2s ,如图7—1所示。求小球抛出时的初速度。
A
解析:因小球与墙壁发生弹性碰撞, 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性, 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称,如图7—1—甲所示,所以小球的运动可以转换为平抛运动处理, 效果上相当于小球从A ′点水平抛出所做的运动。
根据平抛运动的规律:02x v t 1y gt 2
=⎧⎪
⎨=⎪⎩
因为抛出点到落地点的距离为3s ,抛出点的高度为h ,代入后可解得: v 0 = x
g
2y
= 3s g 2h
B2、如图所示,完全相同的三块木块并排固定在
水平面上,一颗子弹以速度v 水平射入,若子弹在木块中做匀减速运动,且穿过第三块木块后速度恰好为零,则子弹依次射入每块木块时的速度之比和穿过每块木块的时间之比。
解:子弹匀减速穿过三木块,末速度为零,我们假设子弹从右向左作初速度为零的匀加速直线运动. 则:子弹依次穿过321三木块所用时间之比:t3:t2:t1=1:√( 2 −1):√( 3 − 2 ) 得:子弹依次穿过123三木块所用时间之比:t1:t2:t3=√( 3 − 2 ):√( 2 −1):1 设子弹穿过第三木块所用时间为1秒,则穿过3,2两木块时间为:t3+t2= √2 秒,穿过3,2,1三木块时间为:t3+t2+t1= √3 秒 则:子弹依次穿过3,2,1三木块时速度之比为:1: √2 :√ 3 所以,子弹依次穿过1,2,3三木块时速度之比为: 3 : 2 :1 故答案为:√ 3 : √2 :1;√( 3 − 2 ):√( 2 −1):1
B3、(1)竖直上抛运动与自由落体运动的等价性; (2)弹簧振子伸长与压缩运动过程的等价性; (3)光线传播过程的可逆性。
v 0
m
1
2
3