高中数学史讲座——祖冲之传

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童年趣事

经书读得多就有出息，读得少就没有出息?我看不一定吧。有人满肚子经书， 只会之乎者也，却什么事也不会做！”冲之的祖父批评说。 “他不读经书怎么办?” “不能硬赶鸭子上架。他读经书笨，说不定干别的事灵巧呢。做大人的，要细 心观察孩子的兴趣，加以诱导。” 祖朔之觉得父亲的话有道理，同意不把孩子硬关在书房里念书，就建议父亲 领冲之到他负责的建筑工地上去开开眼界，长长见识。 祖冲之随爷爷到了工地上，处处感到新鲜，问这问那。有一次，祖冲之问爷 爷：“为什么每月十五的月亮一定会圆呢?”爷爷解释说：“月亮运行有它自己 的规律，所以有缺有圆！” 祖冲之越听越有趣，从此，经常缠住爷爷问个不停。爷爷便对冲之说：“孩 子，看来你对经书不感兴趣，对天文却是用心钻研，正好，咱们家里的天文 历书多得很，我找几本你先看一看，不懂的地方问我。” 祖朔之这时也改变了对儿子的看法。每天，教孩子读天文方面的书，有时祖 孙三代一起研究天文知识。这样，祖冲之对天文历法的兴趣越来越浓了。 一天，爷爷带冲之去拜见一个钻研天文很有成就的官员叫何承天。何承天问 冲之：“小兄弟，天文这东西研究起来很辛苦，既不能靠它发财，更不会靠 它升官，你为什么要钻研它?” 祖冲之说：“我不求升官发财，只想弄清天地的秘密。” 何承天笑道：“小兄弟，有出息”。 从此，十多岁的祖冲之经常找何承天去研究天文历法。后来，祖冲之终于成 为了一名杰出的科学家。
机械巧手 音哲旁通

指南车是一种用来指示方向的车子。车中 装有机械，车上装有木人。车子开行之前， 先把木人的手指向南方，不论车子怎样转 弯，木人的手始终指向南方不变。这种车 子结构已经失传，但是根据文献记载，可 以知道它是利用齿轮互相带动的结构制成 的。

根据历史文献记载，三国时代的发明家马钧曾经 制造过这种指南车，可惜后来失传了。公元417年 东晋大将刘裕（也就是后来宋朝的开国皇帝）进 军至长安时，曾获得后秦统治者姚兴的一辆旧指 南车，车子里面的机械已经散失，车子行走时， 只能由人来转动木人的手，使它指向南方。后来 齐高帝萧道成就令祖冲之仿制。祖冲之所制指南 车的内部机件全是铜的。制成后，萧道成就派大 臣王僧虔、刘休两人去试验，结果证明它的构造 精巧，运转灵活，无论怎样转弯，木人的手常常 指向南方。


我国的历史剧，几乎已经把春秋战国，秦皇汉 武，楚汉相争，三国鼎立，然后是隋、唐、五代、 宋、元、明、清，最后是民国，都写到了。但写 两晋的极少，而涉及南北朝的故事，至今是个空 白！ 然而，恰恰在南北朝，出现了著名的科学家祖 冲之；出现了著有《神灭论》的思想家范缜；出 现了道家的里程碑人物，被称为“山中宰相”的 名医名士陶弘景；出现了著名的地理学家郦道元！ 还出现了佛教的兴盛；艺术的繁荣……，
改革历法

我国古代劳动人民，由于畜牧业和农业生产的需要，经过 长时期的观察，发现了日月运行的基本规律。他们把第一 次月圆或月缺到第二次月圆或月缺的一段时间规定为一个 月，每个月是二十九天多一点，十二个月称为一年。这种 计年方法叫做阴历。他们又观察到：从第一个冬至到下一 个冬至（实际上就是地球围绕太阳运行一周的时间）共需 要三百六十五天又四分之一天，于是也把这一段时间称作 一年。按照这种办法推算的历法通常叫做阳历。但是，阴 历一年和阳历一年的天数，并不恰好相等。按照阴历计算， 一年共计三百五十四天；按照阳历计算，一年应为三百六 十五天五小时四十八分四十六秒。阴历一年比阳历一年要 少十一天多。为了使这两种历法的天数一致起来，就必须 想办法调整阴历一年的天数。对于这个问题，我们的祖先 很早就找到了解决的办法，就是采用“闰月”的办法。在 若干年内安排一个闰年，在每个闰年中加入一个闰月。每 逢闰年，一年就有十三个月。由于采用了这种闰年的办法， 阴历年和阳历年就比较符合了。


祖冲之还设计制造过一种千里船。它可能 是利用轮子激水前进的原理造成的，一天 能行一百多里。
简介


祖冲之，字文远，性别男，政治清白，汉族人。生于宋文 帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。（ 公元429年─公元 500年） 祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。为避战乱，祖冲之的 祖父祖昌由河北迁至江南。祖昌曾任刘宋的“大匠卿”， 掌管土木工程；祖冲祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。 为避战乱，祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南。祖昌曾任 刘宋的“大匠卿”，掌管土木工程；祖冲之的父亲也在朝 中做官。祖冲之从小接受家传的科学知识。青年时进入华 林学省，从事学术活动。一生先后任过南徐州（今镇江市） 从事史、公府参军、娄县（今昆山市东北）令、谒者仆射、 长水校尉等官职。其主要贡献在数学、天文历法和机械三 方面。





祖冲之用绳子把车轮量了一下，又把绳子折成同样大小的3段，再去量车轮的直径。量 来量去，他总觉得车轮的直径没有1／3的圆周长。
祖冲之站在路旁，一连量了好几辆马车车轮的直径和周长，得出的结论是一样的。


这究竟是为什么？这个问题一直在他的脑海里萦绕。他决心要解开这个谜。
经过多年的努力学习，祖冲之研究了刘徽的“割圆术”。所谓“割圆术”就是在圆内 画个正6边形，其边长正好等于半径，再分12边形，用勾股定理求出每边的长，然后再 分24、48边形，一直分下去，所得多边形各边长之和就是圆的周长。 祖冲之非常佩服刘徽这个科学方法，但刘徽的圆周率只得到96边，得出3 . 14的结果后 就没有再算下去，祖冲之决心按刘徽开创的路子继续走下去，一步一步地计算出192边 形、384边形 ⋯⋯ 以求得更精确的结果。
圆周定律

我们都知道圆周率就是圆的周长和同一圆的直径的比， 这个比值是一个常数，现在通用希腊字母“π”来表示。 圆周率是一个永远除不尽的无穷小数，它不能用分数、 有限小数或循环小数完全准确地表示出来。由于现代数 学的进步，已计算出了小数点后两千多位数字的圆周率。 我国古代劳动人民在生产实践中求得的最早的圆周率值 是“ 3”，这当然很不精密，但一直被沿用到西汉。后来， 随着天文、数学等科学的发展，研究圆周率的人越来越 多了。西汉末年的刘歆首先抛弃“3”这个不精确的圆周 率值，他曾经采用过的圆周率是3.547。东汉的张衡也 算出圆周率为π=3.1622。这些数值比起π=3当然有了很 大的进步，但是还远远不够精密。
祖 ������ 对父亲说：“我们计算得很仔细，一定没错，可能是刘徽错了。”祖冲之 却摇摇头说：“要推翻他一定要有科学根据。”于是，父子俩又花了十几天的时间 重新计算了一遍，证明刘徽是对的。 祖冲之为避免再出误差，以后每一步都至少重复计算两遍，直到结果完全相同才罢 休。 祖冲之从12288边形，算到24567边形，两者相差仅0 . 0000001。祖冲之知道从理论 上讲，还可以继续算下去，但实际上无法计算了，只好就此停止，从而得出圆周率 必然大于3 . 1415926，而小于3 . 1415927。 很多朋友知道了祖冲之计算的成绩，纷纷登门向他求教。之后，祖冲之又进一步得 出圆周率的密率是355／113，约率是22／7。直到1000多年后，德国数学家鄂图才 得出相同的结果。

祖冲之也制造了很有用的劳动工具。他看到劳动 人民舂米、磨粉很费力，就创造了一种粮食加工 工具，叫作水碓磨。古代劳动人民很早就发明了 利用水力着米的水礁和磨粉的水磨。西晋初年， 杜预曾经加以改进，发明了“连机碓”和“水转 连磨”。一个连机碓能带动好几个石杵一起一落 地舂米；一个水转连磨能带动八个磨同时磨粉。 祖冲之又在这个基础上进一步加以改进，把水碓 和水磨结合起来，生产效率就更加提高了。这种 加工工具，现在我国南方有些农村还在使用着。

祖冲之不喜欢读古书。5岁时，父亲教他学枟论语枠，两个月他也只能背诵十几句。气 得父亲又打又骂。可是他喜欢数学和天文。 一天晚上，祖冲之躺在床上想白天老师说的“圆周是直径的3倍”这话似乎不对。 第二天早，他就拿了一段妈妈绱鞋子的绳子，跑到村头的路旁，等待过往的车辆。 一会儿，来了一辆马车，祖冲之叫住马车，对驾车的老人说： “让我用绳子量量您的车轮，行吗？”老人点点头。





祖冲之在推求圆周率方面又获得了超越前 人的重大成就。根据《隋书•律历志》的记 载，祖冲之把一丈化为一亿忽，以此为直 径求圆周率。他计算的结果共得到两个数： 一个是盈数（即过剩的近似值），为 3.1415927；一个是朒数（即不足的近似 值），为3.1415926。圆周率真值正好在盈 朒两数之间。《隋书》只有这样简单的记 载，没有具体说明他是用什么方法计算出 来的。
童年趣事


祖冲之他推算的圆周率比欧洲早一千多年。他编制的《大明历》首先考虑到 岁差问题的计算，对于日月运行周期的数据比当时的其他历法更为准确。然 而，有谁能相信，这样一位伟大的科学家，小时候经常挨打，曾被斥责为 “笨蛋”“蠢牛”呢！ 祖冲之的父亲祖朔之，是位小官员。他望子成龙心切。祖冲之不到九岁，父 亲就逼迫冲之去背诵深奥难懂的《论语》，读一段，就叫他背一段。两个月 过去了，祖冲之只能背诵十多行，气得父亲把书摔在地上不教了，并且怒气 冲冲地骂道：“你真是一个大笨蛋啊！” 过了几天，父亲又把冲之叫来，教训他说：“你要用心读经书，将来就可以 做大官。不然，就没有出息。现在，我再教你，你再不努力，就决不饶你。” 可是父亲越教越生气。祖冲之也是越读越厌烦。他皱着眉头，愤愤地说： “这经书我是说什么也不读了。”气得父亲额头上的青筋都迸出来了，忍不 住伸手打了祖冲之几巴掌，打得儿子号啕大哭起来。父亲口里还不断骂“笨 蛋”“蠢牛”“没出息”。 正在这时，冲之的祖父来了。问明原因，就对祖朔之说：“如果祖家真是出 了笨蛋，你狠狠打他一顿，就会变聪明吗?孩子是打不聪明的，只会越打越 笨。”冲之的祖父对朔之还严厉地批评说：“经常打孩子，不仅不能起到任 何好的作用，而且还会使孩子变得粗野无礼。” 祖朔之说：“我也是为他好啊！他不读经书，这样下去，有什么出息。”



当时，数字运算还没利用纸、笔和数码进行演算，而是通过纵横相间地罗列小竹棍， 然后按类似珠算的方法进行计算。 祖冲之在房间地板上画了个直径为1丈的大圆，又在里边做了个正6边形，然后摆开 他自己做的许多小木棍开始计子祖 ������ 已13岁了，他也帮着父亲一起工作，两人废寝忘食地 计算了十几天才算到96边，结果比刘徽的少0 . 000002丈。

祖冲之吸取了赵厞的先进理论，加上他自 己的观察，认为十九年七闰的闰数过多， 每二百年就要差一天，而赵厞六百年二百 二十一闯的闰数却又嫌稍稀，也不十分精 密。因此，他提出了三百九十一年内一百 四十四闰的新闰法。这个闰法在当时算是 最精密的了。
引入岁差

除了改革闰法以外，祖冲之在历法研究上的另一重大成 就，是破天荒第一次应用了“岁差。” 根据物理学原理，刚体在旋转运动时，假如丝毫不受 外力的影响，旋转的方向和速度应该是一致的；如果受了 外力影响，它的旋转速度就要发生周期性的变化。地球就 是一个表面凹凸不平、形状不规则的刚体，在运行时常受 其他星球吸引力的影响，因而旋转的速度总要发生一些周 期性的变化，不可能是绝对均匀一致的。因此，每年太阳 运行一周（实际上是地球绕太阳运行一周），不可能完全 回到上一年的冬至点上，总要相差一个微小距离。按现在 天文学家的精确计算，大约每年相差50.2秒，每七十一年 八个月向后移一度。这种现象叫作岁差。
著书缀术

祖冲之还曾写过《缀术》五卷，是一部内容极为 精采的数学书，很受人们重视。唐朝的官办学校 的算学科中规定：学员要学《缀术》四年；政府 举行数学考试时，多从《缀术》中出题。《缀术》 一书，汇集了祖冲之父子的数学研究成果。这本 书内容深奥，以至“学官莫能究其深奥，故废而 不理”。《缀术》在唐代被收入《算经十书》， 成为唐代国子监算学课本，当时学习《缀术》需 要四年的时间，可见《缀术》的艰深。《缀术》 曾经传至朝鲜，但到北宋时这部书就已轶失，直 到现在还有待考察。 《隋书•经籍志》录有 《长水校尉祖冲之集》五十一卷，但现已遗佚。