圆锥曲线-基本定义-第二定义

学术正刊 圆锥曲线 基本定义
高中 2 LeO 著 第二定义
定义3.0（圆锥曲线第二定义）：平面内到定点与定直线的距离的比为常数e(e >0)的点的轨迹，称之为圆锥曲线。

定义3.1（圆锥曲线焦点）：称这个定点为圆锥曲线的焦点。

定义3.2（圆锥曲线准线）：称这条定直线为圆锥曲线的准线。

定义3.3（圆锥曲线离心率）：称这个常数e 为圆锥曲线的离心率。

定义3.4（圆锥曲线焦准距）：焦点到其对应准线的距离称之为圆锥曲线的焦准距。

图1 图2
解：如图1，给定离心率e 和焦准距p ，建立直角坐标系，将焦点定于坐标原点，准线垂直横轴。

设P 点坐标P (x,y )，根据“圆锥曲线第二定义”有：
|PF |PD =e ⋯〈1〉 代入坐标，解得：
√x 2+y 2
x +p =e ⋯〈2〉 〈2〉式化简得：
(1−e 2)∙x 2−2e 2px +y 2−e 2p 2=0⋯〈3〉
〈3〉式即为圆锥曲线的统一方程。

如图2，当离心率取不同值时，得到对应三种不同的圆锥曲线：
{e ∈(0,1)， 1−e 2>0，表示椭圆；
e =1， 1−e 2=0，表示抛物线；e ∈(1,∞)，1−e 2<0，表示双曲线。

三种圆锥曲线分别对坐标系进行适当平移后，可得三种圆锥曲线的标准方程。

证毕。