投资组合选择方法

注意: 三个模型中反映投资者个人喜好的参 数是根据其效用函数确定的.也就是说当确 定了投资组合的有效边缘以后，不同的投
资者可以根据自己的效用函数确定使其效 用达到最大的有效投资组合。
rP
投资者A的无差异曲线
投资者B 的 无差异曲线
2 P
0
2. 存在无风险资产,允许卖空
n种风险资产加一种无风险资产,收益率 为 rf ,由于无风险资产的收益率是确定的， 因此收益率的方差为0。而且由于无风 险资产的收益与所有风险资产的收益分 布完全不相关，因此有
值越大，说明投资者越注重收益，而对风 险不太在意，亦即投资者越能容忍风险， 反映了投资者的风险容忍度。
模型M-V2、M-V3和M-V4本质上是等价的， 它们的解确定的是同一个投资组合的有效边 缘。
例如: 求解模型M-V 4可得最优投资组合的投 资权重向量
x*
1 a
V
1e
V
1
R
b a
e
a eTV 1e,
缘。
在均值-标准差坐标系 p p 中确定的是一条
双曲线，投资组合的有效边缘是该双曲线的
右支的上半支。双曲线的中心在点
b ,0 a
实轴为
p
b a
双曲线的渐近线方程为
p
a
p
b a
双曲线的渐近线斜率为
k a
(B) 在投资者给定的可承受的投资风险水平下， 使收益最大的投资组合选择模型。
(0, rf ) 和点M之间的连线组成。
3.不存在无风险资产、不允许卖空
在给定期望收益的条件下使风险最小的 投资组合选择模型为
M-V6
min
s.t.
x xTVx
n
xiE(ri )
i 1
n
xi 1
i 1
xi 0,i 1, 2,L , n
还是一个凸二次规划问题，但是非负约的引入增加了
n
ij xi x j
j 1
n
i1
xi E
ri
p
n
xi 1
i1
最优解的K-T（一阶必要）条件为
L x
Vx
R
e
0
L
xT
R
p
0
L
xT e
1
0
由第一个方程得
x* V 1e V 1 R 将其代入后两个方程后解得
c pb
pa b
a
eTV
1e,
b
T
RV
1e,
c
该投资组合的预期收益率和方差分别为
rP xf rf X T R rf c 2brf arf2
2 P
X TVX
2
c 2brf arf2
消去 可得有效投资组合的预期收益率rp
和方差
2 p
所满足的关系方程
2 P
K
rP
rf
2
P K rP rf
K 1 c 2brf arf2
if 0,i 1, 2,L , n
投资组合x (x1, x2,L , xn, xf )T 的预期收益率和 方差分别为
ErP E x f rf
n
xi ri x f rf
n
xi E(ri )
i1
i1
nn
2 P
ErP
ErP 2
xi x j ij
i1 j 1
投资组合的风险来自对风险资产的投资。
存在无风险资产和不存在无风险资产两种情况 下投资组合有效边缘之间的关系。
有效边缘 M
在标准差-收益率坐标系中构造出只存在n种风
险定资存产在时1种投无资风组险合资的产有和效这边种缘风。险过资点产0,组rf 成可的确
投资组合的有效边缘。所得的两个有效边缘如 图所示.可以看出存在无风险资产时投资组合 的有效边缘相切于不存在无风险资产时投资组 合的有效边缘，切点组合M称为市场投资组合。 存在无风险资产时投资组合的有效边缘由点
该方程确定了存在无风险资产情况下的投资组合的
有效边缘。在标准差-收益率坐标系中，投资组合 的有效边缘是一条射线，起点在(0, rf ) ,斜率为K .
存在无风险资产时投资组合的有效边缘
类似地可以给出在给定目标收益下确定使风 险最小的投资组合选择模型和在给定风险承 受能力下使收益最大的投资组合选择模型， 情况同不存在无风险资产时类似。
存在与不存在无风险资产， 允许卖空与不允许卖空, 不同市场情形下的M-V投资组合选择模 型、投资组合的有效边缘与确定方法。
卖空反映在投资组合模型中为投资权重 可以取负值。
1.不存在无风险资产,允许卖空
设有n种风险资产，已经估计出每一种 风险资产的预期收益率 ，方差 ，任意
两种资产收益之间的协方差
Eri
2 i
ij
允许卖空,对变量取值无非负的限制.
(A)在给定收益的目标要求下，使投资风险最 小的投资组合选择模型
M-V2
min
2 P
1 2
n i 1
n
xi x j ij
j 1
s.t.
n
xi Eri P
i 1
x1 x2 xn 1
求解的过程:
拉格朗日函数为
L
1 2
n i1
T
RV
1
R
ac b2 0
再将解代入模型M-V2中的目标函数得有效投 资组合的方差为
2 p
X 1VX
X TV (V 1e V 1 R)
X T e X T R
p
a
2 p
2b p
c
对不同的目标收益率 p ,该方程在均值-方差
坐标系
p
2 p
中确定一条抛物线，这条抛
物线的上半支就是所谓的投资组合的有效边
b
T
RV
1e,
c
T
RV
1
R
将其代入计算可得
p
x*T R
b a
c
b2 a
2 P
x*TVx*
1 a
2
c
b2 a
联立上面两式并消去参 ,可得最优投资组合
的预期收益率 p
和方差
2 P
满足关系式
p
b a
2
c
b2 a
2 P
1 a
验证此式同页7的方程是相同的，即两者确定
相同的投资组合的有效边缘。
M-V3
max
ErP
n
xi
Eri
i 1
s.t.
nnห้องสมุดไป่ตู้
xi x j ij
2 P
i1 j1
x1 x2 xn 1
(C) 风险容忍模型.
M-V4
max
n
xi E
i 1
ri
1 2
n i 1
n
xi x j ij
j 1
s.t. x1 x2 L xn 1
参数 反映了投资者对风险的容忍程度，
问题求解的难度，已经不可能确定模型M-V6的解析
解，只能用数值方法确定相应的有效投资组合。
确定有效投资组合的带有风险容忍参数的投 资组合选择模型为
M-V5
max
x
f
rf
n i 1
xi
ri
1 2
n i 1
n
xi x j ij
j 1
s.t. x f x1 x2 L xn 1
用拉格朗日乘子法可求得其最优解为
x V 1 R rf e
n
xf 1 xi 1 arf b i 1