高阶马尔科夫链的张量模型
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而Z-特征值和特征向量定义:
Axm1- x,
x ( 0 ) C n ,x 1 1 :Z 1 eig;ex n 2 1 p : Z a 2 e ir ige
(see Chang and Zhang, manuscript, 2019).文 [Ng,Qi, Zhou, SIMAX, 2009]指出，对某些数据系列建 立高阶Markov模型时通常可以计算如下高阶转移概率：
间S = {1, 2, . . . , m}内取值，x t 1 的概率
只和 x t 有关。一个Markov过程是由它的概
率转移矩阵 P( pij )刻画的，其中， p i j P o ( x t 1 r b i | x 0 i 0 , x 1 i 1 ,x . t j . ) P .o , ( x t 1 r b i | x t j ) (1. )
这时，P 是列和为1的非负矩阵。
对某些数据序列进行分析时， 一阶Markov模型不能满足进一 步的分析要求，因为在时刻t的概率与它前面的n 个时刻有关， 即需要求如下概率:
P o ( r x tb k 0 |x t 1 k 1 ,,.x t . n .k n ,).
Raftery于1985年给出了估计方法：
0Por(bxt k1|xt1k2,,..xt.n,km)pk1,.k.m .,1,
n
pk1,.k.m .,1, 1k2,.k.m . ,n
k11
（5）
在模型（2）和（4）中， pk1 ,...,km 的值分别由某些 p kik j
的线性组合近似得到。由非负张量的关于H-特征值的 Perron-Frobenius定理知道[N-Q-Z，09]可以直接利用
如果不唯一，什么情况下唯一？
（b）保证唯一性条件下，如何给出（7）平稳概率分布向量
的求解算法？
（c） 如何给出（7）的敏感性（扰动）分析？
二、关于模型（7）平稳分布存在唯一性
1、存在性：文[Li, Ng, 2019]定理2.2 (p.21) 给出了对 不可约非负张量，方程（7）的存在性证明，即:
2、唯一性：文[Li, Ng, 2019]给出了如果概率转移张量P没有任何 限制，（7）的解不是唯一的（p. 24 Remark 1）。对方程（7）文 [Li,Ng, 2019]首次给出了唯一性的充分条件（见Theorems 2.3 and 2.4, p. 22--35），即
参数。这有助于我们理解基因网络和理解网络中不同 的基因的作用。然后提出基因干预的治疗或基因控制 策略。然而，网络的规模随基因数量的增长而呈指数 阶增长。一个PBN可以建立有关Markov模型，进而利 用该Markov链模型分析该网络; 在信用危机模型中的 应用中，信用等级在信用危机分析和建模中非常重要。 以往建立信用等级和他们之间的转移的常规的方法就 是Markov链模型及其概率转移矩阵。当今 人们面临的 问题越来越复杂，复杂的事物通常可以用高维数据来 刻画。
非负张量（5）来计算有关概率分布向量。
对计算高阶张量的在时刻t概率分布 x ( t )
[Qi，2019]等给出了如下模型:
x(t ) P(-t1 x.)x .(t. m 1)(
p i2 k.k .m .xk (2 t 1).x .k (m t. m 1)in 1,（6）
k2,.k.m . 1 ,
高阶马尔科夫链的张量模型
黎稳 华南师范大学数学科学学院
广州，510631
Joint work with Prof. Michael Ng and LB Cui
提纲
引言 关于张量模型平稳分布存在与唯一性 求解张量模型平稳分布的迭代法 平稳分布的扰动分析 数值例子
一、引言：
Markov链的研究有非常悠久的历史，在建模以及 分析实系统时，Markov链的应用非常广泛，例如对制 造系统，随机自动化网络（SAMs），排队系统，生物 信息工程，数据序列、网页排序以及其他和计算有关的 应用和网络决策分析等等, Markov链模型能作出很好 的预测和优化计划等作用。
张量有非常重要的应用. 这里，我们比 较感兴趣的是与高阶Markov链有关的非负 张量的谱理论，张和祁给出张量谱理论的很 好的综述。张量的H-特征值和特征向量定义 为：
Am x-1 x[m1],
其中 A m - 1 x i n 1 ,i . m 1 .a i . 1 ,, i m .x i . 1 ..x i m .,.x [ m 1 ] [ x 1 m 1 ,x .1 m 1 . ]..
最近，高阶非负张量用于建立高阶Markov链模型， 这给研究Markov链带来新的具有挑战性的课题。
因此，对Markov过程及其应用的研究至今仍然是 数学及许多领域的研究热点，其研究在生物、医学、 计算机科学、数据分析和数学等各方面都要重要的理 论和实践意义。
1、 Markov链模型
给定一个Markov链过程x(t)，设它在 离散的时间段t = 1, 2, 3, . . .内在状态空
在某些应用研究中，例如在生物信息学中，不同基 因之间的相互作用构成了复杂的细胞活动。对作用于细 胞、组织和器官的基因共同性研究在生物信息学中是一 个重要的课题。代替独立看待单细胞，全局的或历史性 的观点在理解细胞作用和控制大量正常功能运作的机制 中显得越来越重要。通过概率布尔网络(PBN)建立基 因调控网络模型，利用实际的数据推断网络结构和
其中，P满足（5），且 x(t ) 0,
x n (t ) i1 i
1
则平稳概率分布向量可以通过如下模型得到：
n
xPm x -1(
pik2..k.mxk2..xk.m)in 1 （7）
k2,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk .m .,1
其中
x
0,
x n i1 i
1
对模型（7）我们有如下需要解决的问题：
（a）模型（7）的解向量，即平稳分布x是存在吗？唯一吗？
n
P o ( r x tb k 0 |x t 1 k 1 ,,.x t .n .k n ,) i 1iq k 0 k i.2 ( )
2、高阶非负张量模型
对高阶Markov模型的分析也可以利用高 阶非负张量的有关理论，所谓m阶n维非负 张量指 A ( a i 1 ,. i m .) .,,a i 1 ,. i m . .0 ,,1 i 1 ,i .m .n .,
Axm1- x,
x ( 0 ) C n ,x 1 1 :Z 1 eig;ex n 2 1 p : Z a 2 e ir ige
(see Chang and Zhang, manuscript, 2019).文 [Ng,Qi, Zhou, SIMAX, 2009]指出，对某些数据系列建 立高阶Markov模型时通常可以计算如下高阶转移概率：
间S = {1, 2, . . . , m}内取值，x t 1 的概率
只和 x t 有关。一个Markov过程是由它的概
率转移矩阵 P( pij )刻画的，其中， p i j P o ( x t 1 r b i | x 0 i 0 , x 1 i 1 ,x . t j . ) P .o , ( x t 1 r b i | x t j ) (1. )
这时，P 是列和为1的非负矩阵。
对某些数据序列进行分析时， 一阶Markov模型不能满足进一 步的分析要求，因为在时刻t的概率与它前面的n 个时刻有关， 即需要求如下概率:
P o ( r x tb k 0 |x t 1 k 1 ,,.x t . n .k n ,).
Raftery于1985年给出了估计方法：
0Por(bxt k1|xt1k2,,..xt.n,km)pk1,.k.m .,1,
n
pk1,.k.m .,1, 1k2,.k.m . ,n
k11
（5）
在模型（2）和（4）中， pk1 ,...,km 的值分别由某些 p kik j
的线性组合近似得到。由非负张量的关于H-特征值的 Perron-Frobenius定理知道[N-Q-Z，09]可以直接利用
如果不唯一，什么情况下唯一？
（b）保证唯一性条件下，如何给出（7）平稳概率分布向量
的求解算法？
（c） 如何给出（7）的敏感性（扰动）分析？
二、关于模型（7）平稳分布存在唯一性
1、存在性：文[Li, Ng, 2019]定理2.2 (p.21) 给出了对 不可约非负张量，方程（7）的存在性证明，即:
2、唯一性：文[Li, Ng, 2019]给出了如果概率转移张量P没有任何 限制，（7）的解不是唯一的（p. 24 Remark 1）。对方程（7）文 [Li,Ng, 2019]首次给出了唯一性的充分条件（见Theorems 2.3 and 2.4, p. 22--35），即
参数。这有助于我们理解基因网络和理解网络中不同 的基因的作用。然后提出基因干预的治疗或基因控制 策略。然而，网络的规模随基因数量的增长而呈指数 阶增长。一个PBN可以建立有关Markov模型，进而利 用该Markov链模型分析该网络; 在信用危机模型中的 应用中，信用等级在信用危机分析和建模中非常重要。 以往建立信用等级和他们之间的转移的常规的方法就 是Markov链模型及其概率转移矩阵。当今 人们面临的 问题越来越复杂，复杂的事物通常可以用高维数据来 刻画。
非负张量（5）来计算有关概率分布向量。
对计算高阶张量的在时刻t概率分布 x ( t )
[Qi，2019]等给出了如下模型:
x(t ) P(-t1 x.)x .(t. m 1)(
p i2 k.k .m .xk (2 t 1).x .k (m t. m 1)in 1,（6）
k2,.k.m . 1 ,
高阶马尔科夫链的张量模型
黎稳 华南师范大学数学科学学院
广州，510631
Joint work with Prof. Michael Ng and LB Cui
提纲
引言 关于张量模型平稳分布存在与唯一性 求解张量模型平稳分布的迭代法 平稳分布的扰动分析 数值例子
一、引言：
Markov链的研究有非常悠久的历史，在建模以及 分析实系统时，Markov链的应用非常广泛，例如对制 造系统，随机自动化网络（SAMs），排队系统，生物 信息工程，数据序列、网页排序以及其他和计算有关的 应用和网络决策分析等等, Markov链模型能作出很好 的预测和优化计划等作用。
张量有非常重要的应用. 这里，我们比 较感兴趣的是与高阶Markov链有关的非负 张量的谱理论，张和祁给出张量谱理论的很 好的综述。张量的H-特征值和特征向量定义 为：
Am x-1 x[m1],
其中 A m - 1 x i n 1 ,i . m 1 .a i . 1 ,, i m .x i . 1 ..x i m .,.x [ m 1 ] [ x 1 m 1 ,x .1 m 1 . ]..
最近，高阶非负张量用于建立高阶Markov链模型， 这给研究Markov链带来新的具有挑战性的课题。
因此，对Markov过程及其应用的研究至今仍然是 数学及许多领域的研究热点，其研究在生物、医学、 计算机科学、数据分析和数学等各方面都要重要的理 论和实践意义。
1、 Markov链模型
给定一个Markov链过程x(t)，设它在 离散的时间段t = 1, 2, 3, . . .内在状态空
在某些应用研究中，例如在生物信息学中，不同基 因之间的相互作用构成了复杂的细胞活动。对作用于细 胞、组织和器官的基因共同性研究在生物信息学中是一 个重要的课题。代替独立看待单细胞，全局的或历史性 的观点在理解细胞作用和控制大量正常功能运作的机制 中显得越来越重要。通过概率布尔网络(PBN)建立基 因调控网络模型，利用实际的数据推断网络结构和
其中，P满足（5），且 x(t ) 0,
x n (t ) i1 i
1
则平稳概率分布向量可以通过如下模型得到：
n
xPm x -1(
pik2..k.mxk2..xk.m)in 1 （7）
k2,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk .m .,1
其中
x
0,
x n i1 i
1
对模型（7）我们有如下需要解决的问题：
（a）模型（7）的解向量，即平稳分布x是存在吗？唯一吗？
n
P o ( r x tb k 0 |x t 1 k 1 ,,.x t .n .k n ,) i 1iq k 0 k i.2 ( )
2、高阶非负张量模型
对高阶Markov模型的分析也可以利用高 阶非负张量的有关理论，所谓m阶n维非负 张量指 A ( a i 1 ,. i m .) .,,a i 1 ,. i m . .0 ,,1 i 1 ,i .m .n .,