应用数理统计期末考试押题
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0, k Fn ( x ) , n 1, 若x x ( 1 ) , 若x ( k ) x x ( k 1 ) , 若x x ( n ) .
3. 参数估计
例1 设X1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本，无论 X 服从何种分布，都有 （1）若总体均值 E ( X ) 存在，则样本均值 X 是总 体均值 的无偏估计量；
u u0.05 1.96
2
0.05 2
z 值落入拒绝域，所以拒绝 H 0 . 即认为新机床加工零件的椭圆 度总体均值不等于以前均值，有显著差别.
例2 某机器制造出的肥皂平均厚度为5cm，今欲了 解机器性能是否良好，随机抽取10块肥皂为样本，
测得平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm，试分别以
0.05，0.01的显著性水平检验机器性能良好(即平
均厚薄合乎规定)的假设.
解:
H 0 : 5 H1 : 5
已知 n 10 , x 5.3 , s 0.3 , 得
x 0 5.3 5 t 3.16 s / n 0.3 / 10 当 0.05 时， t 0.05 (10 1) 2.2622 ， 由于
t ( n 1) t0.05 (4) 2.1318,
的置信水平为0.95 的置信下限
s x t ( n 1) 1065. n
8. 假设检验 例1 某机床厂加工一种零件，根据经验知道，该 厂加工的零件的椭圆度渐近服从正态分布,其
总体均值0.081mm，总体标准差为 0.025 mm.
8 .1
2 0.05
(5) 11.07，由于
2 8.1 02.05 (5) 11.07
故接受 H 0 ，即认为骰子六个面是均匀的。
10. 单因子方差分析
例4 表4.1.3给出了小白鼠在接种三种不同菌型 的伤感杆菌后的存活天数，问接种这三种伤感杆 菌后小白鼠的平均存活天数有无显著差 异 ( 0.05) ？
表4.1.3
菌型
接种后存活天数 4 6 11 3 8 6 2 5 6 4 10 7 7 7 9 7 12 5 2 6 10
A1 ）2 I型（ 5 A2 ） 5 II型（ 6 7 IIIA 型 3 6 （ ）
解：提出假设
H 0：接种这三种伤寒杆菌后，小白鼠的 平均存活天数之间无差异。
表4.1.4
方差来源 方差和 因素 A 误差 E 总和 T 自由度 均方和 2 24 26 33.444 5 4.6574
min{ X k }, X ( n ) max { X k } 其中， X (1) 1 k n 设x1,x2,…,xn是总体X的一个容量为 n的样本值. 先将x1,x2,…,xn按自小到大的次序 排列, 并重新编号, 设为 x(1)x(2)…x(n),则经验分布函数Fn(x)的 观察值为
今另换一种新机床进行加工，取200个零件进
行检验，得到椭圆度均值为0.076mm.试问新 机床加工零件的椭圆度总体均值与以前有无 显著差别.
解：
H0 : 0.081 ; H1 : 0.081
已知 n 200, x 0.076, 0.025, 于是 x 0 0.076 0.081 u 2.83 / n 0.025/ 200 取 0.05 ，查表得 u 1.96 ，由于
ˆ 1 ， ˆ 2 ， ˆ 3 都是未知参数 这表明， 的无偏估计．
1 9 1 3 1 1 ˆ 1 D X 1 D X 1 D X 2 D X 3 D X2 X3 25 100 4 10 2 5
1 2 9 2 1 2 684 2 25 100 4 1800
n 1 n 1 证： （ 1 ） E ( X ) E ( X i ) E ( X i ) n i 1 n i 1
1 n n X是的无偏估计量
n 1 n k 1 （2） E ( Ak ) E ( X i ) E ( X ik ) n i 1 n i 1
由此得到
1 I ( p) p(1 p)
故 p 的无偏估计的R—C下界为
p ( p 1) n
6. 双侧区间估计
7. 单侧区间估计
例8 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均 值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限. 解 1 0.95, n 5, x 1160, s 2 9950,
由于
ˆ 2 D ˆ 1 D ˆ3 , D
ˆ 1 、 ˆ 2 、 ˆ 3 这三个估计量中 ˆ 2 最有效． 所以在 ，
5. 罗—克拉美（Rao-Cramer）不等式
例6 设总体 X 有概率密度函数
X1 , X n 是来自总体
p x (1 p)1 x , x 0,1 f ( x; p) 其他 0 , 0 p 1
1 25 1 5 1 1 ˆ 2 D X 1 X 2 D X 2 D X 3 D X 3 D X 1 16 144 4 12 3 9 1 1 25 2 625 2 2 2 9 16 144 1800
1 1 1 1 1 1 ˆ D X 2 D X 3 D 3 D X 1 X 2 X 3 D X 1 36 4 6 2 3 9 1 2 1 2 1 2 700 2 9 36 4 1800
1. 理解相关概念 总体、个体、样本、样本空间、简单 随机样本、统计量、样本均值、修正 样本方差、修正样本标准差、k阶原点 矩
2. 计算有关统计量的值
样本均值：
修正样本方差：
修正样本标准差：
1 n k k 阶原点矩： Ak X i n i 1
顺序统计量：设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 为样本，
F 值
QA 66.8889
QE 111.7778
QT 178.6667
7.1809
这里r 3, n 27，对给定的水平 0.05 ， 查 F 分布表，得 F0.05 3.40 。 因为 F 7.1809 3.4 F0.05 (2, 24) ，所以拒 绝 H o ，认为接种这三种伤寒杆菌后小白 鼠的平均存活天数之间有显著差异。
( 2) 若总体k阶矩E ( X k ) k ( k 1)存在，则样本k阶 矩Ak 是总体k阶矩 k的无偏估计量；
(3) 若总体方差 D( X ) 2存在, 则修正样本方差 S *2 是总体方差 2的无偏估计量； (4) 若总体方差 D( X ) 2存在, 则样本方差 S 2是总 体方差 2的渐进无偏估计量。
1 n [ D( X i ) E 2 ( X i )] ( D( X ) E 2 ( X )) n i 1
n( 2 2 ) 2 ( 2) n n n 1 2 n lim E ( S 2 ) 2
n
S 2是 2的渐进无偏估计量
4. 有效性
例3 设总体 X ~ N ， 2 ，其中 未知，
X 1 , X 2 , X 3 是从该总体中抽取的一 个样本．
试验证： ˆ1
ˆ2 ˆ3 1 3 1 X1 X 2 X 3; 5 10 2 1 1 5 X1 X 2 X 3; 3 4 12 1 1 1 X1 X 2 X 3 3 6 2
例4车间有3位工人，有4台不同型号的车床，生产同一 品种的产品，现在让每位工人轮流在4台车床上操作3 天，记录3天的日产量，结果如表4.2.3所示。在水平 0.05 下检验，这3位工人技术之间的差异是否显著？不同型 号的车床之间的差异是否显著？交互影响是否显著？
都是未知参数 的无偏估计，并指出在这三个 的估 计中，哪一个最有效？
解 ： 由于
3 1 1 ˆ 1 E X 1 E X2 X3 10 2 5 1 3 1 1 3 1 E X 1 E X 2 E X 3 5 10 2 5 10 2 1 5 1 ˆ 2 E X 1 X 2 E X3 4 12 3 1 1 5 1 1 5 E X 1 E X 2 E X 3 3 4 12 3 4 12 1 1 1 ˆ E 3 E X 1 X 2 X 3 6 2 3 1 1 1 1 1 1 E X1 E X 2 E X 3 3 6 2 3 6 2
n n( 2 2 ) 2 ( ( 2 )) n 1 n n 2
S *2是 2的无偏估计量
n 1 （4） E ( S 2 ) E[ ( X i X )2 ] n i 1 1 n E ( X i2 ) E ( X 2 ) n i 1
2
t t 0.05 (9)
2
从而拒绝 H 0 ，认为该机器的性能不好. 当 0.01 时， t 0.01 (9) 3.2498 ，则
t t 0.01 (9)
2
2
于是接受 H 0 ，认为该机器的性能良好.
9.
2 拟合检验
例1 检验一颗骰子的六个面是否匀称 0.05 现在掷120次，结果如下： 点数 1 2 3 4 5 6 频数 21 28 19 24 16 12
1 2 3 4 5 6 解：H 0 : X ~ 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
(mi npi ) mi n npi i 1 i 1 npi 2 6 mi 120 i 1 20
2 l 2 l
2
1 (212 28 2 19 2 24 2 16 2 12 2 ) 120 20
* * * ( x1 , x2 , , xn ) 为样本值，且 x1 x2 xn
当
取值为 ( x1 , x2 , , xn )
时，定义 r.v. X (1) , X ( 2) , , X ( n )
* , k 1,2,, n 为顺序统计量. 则称统计量 X ( k ) xk
估计的R—C下界。 解：由题知
X 的样本，试求 p 的无偏
从而
ln f ( x; p) x 1 x x ln p (1 x) ln(1 p) p p p 1 p
2 ln f ( x; p) 2 x 1 x x 1 1 x E p (1 p) p p p p(1 p) x0,1
1 n k k n
Ak是 k的无偏估计量
n 1 （3） E ( S *2 ) E[ ( X i X )2 ] n 1 i 1 n 1 n [ E ( X i2 ) E ( X 2 )] n 1 n i 1
n 1 n [ ( D( X i ) E 2 ( X i )) ( D( X ) E 2 ( X ))] n 1 n i 1
3. 参数估计
例1 设X1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本，无论 X 服从何种分布，都有 （1）若总体均值 E ( X ) 存在，则样本均值 X 是总 体均值 的无偏估计量；
u u0.05 1.96
2
0.05 2
z 值落入拒绝域，所以拒绝 H 0 . 即认为新机床加工零件的椭圆 度总体均值不等于以前均值，有显著差别.
例2 某机器制造出的肥皂平均厚度为5cm，今欲了 解机器性能是否良好，随机抽取10块肥皂为样本，
测得平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm，试分别以
0.05，0.01的显著性水平检验机器性能良好(即平
均厚薄合乎规定)的假设.
解:
H 0 : 5 H1 : 5
已知 n 10 , x 5.3 , s 0.3 , 得
x 0 5.3 5 t 3.16 s / n 0.3 / 10 当 0.05 时， t 0.05 (10 1) 2.2622 ， 由于
t ( n 1) t0.05 (4) 2.1318,
的置信水平为0.95 的置信下限
s x t ( n 1) 1065. n
8. 假设检验 例1 某机床厂加工一种零件，根据经验知道，该 厂加工的零件的椭圆度渐近服从正态分布,其
总体均值0.081mm，总体标准差为 0.025 mm.
8 .1
2 0.05
(5) 11.07，由于
2 8.1 02.05 (5) 11.07
故接受 H 0 ，即认为骰子六个面是均匀的。
10. 单因子方差分析
例4 表4.1.3给出了小白鼠在接种三种不同菌型 的伤感杆菌后的存活天数，问接种这三种伤感杆 菌后小白鼠的平均存活天数有无显著差 异 ( 0.05) ？
表4.1.3
菌型
接种后存活天数 4 6 11 3 8 6 2 5 6 4 10 7 7 7 9 7 12 5 2 6 10
A1 ）2 I型（ 5 A2 ） 5 II型（ 6 7 IIIA 型 3 6 （ ）
解：提出假设
H 0：接种这三种伤寒杆菌后，小白鼠的 平均存活天数之间无差异。
表4.1.4
方差来源 方差和 因素 A 误差 E 总和 T 自由度 均方和 2 24 26 33.444 5 4.6574
min{ X k }, X ( n ) max { X k } 其中， X (1) 1 k n 设x1,x2,…,xn是总体X的一个容量为 n的样本值. 先将x1,x2,…,xn按自小到大的次序 排列, 并重新编号, 设为 x(1)x(2)…x(n),则经验分布函数Fn(x)的 观察值为
今另换一种新机床进行加工，取200个零件进
行检验，得到椭圆度均值为0.076mm.试问新 机床加工零件的椭圆度总体均值与以前有无 显著差别.
解：
H0 : 0.081 ; H1 : 0.081
已知 n 200, x 0.076, 0.025, 于是 x 0 0.076 0.081 u 2.83 / n 0.025/ 200 取 0.05 ，查表得 u 1.96 ，由于
ˆ 1 ， ˆ 2 ， ˆ 3 都是未知参数 这表明， 的无偏估计．
1 9 1 3 1 1 ˆ 1 D X 1 D X 1 D X 2 D X 3 D X2 X3 25 100 4 10 2 5
1 2 9 2 1 2 684 2 25 100 4 1800
n 1 n 1 证： （ 1 ） E ( X ) E ( X i ) E ( X i ) n i 1 n i 1
1 n n X是的无偏估计量
n 1 n k 1 （2） E ( Ak ) E ( X i ) E ( X ik ) n i 1 n i 1
由此得到
1 I ( p) p(1 p)
故 p 的无偏估计的R—C下界为
p ( p 1) n
6. 双侧区间估计
7. 单侧区间估计
例8 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均 值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限. 解 1 0.95, n 5, x 1160, s 2 9950,
由于
ˆ 2 D ˆ 1 D ˆ3 , D
ˆ 1 、 ˆ 2 、 ˆ 3 这三个估计量中 ˆ 2 最有效． 所以在 ，
5. 罗—克拉美（Rao-Cramer）不等式
例6 设总体 X 有概率密度函数
X1 , X n 是来自总体
p x (1 p)1 x , x 0,1 f ( x; p) 其他 0 , 0 p 1
1 25 1 5 1 1 ˆ 2 D X 1 X 2 D X 2 D X 3 D X 3 D X 1 16 144 4 12 3 9 1 1 25 2 625 2 2 2 9 16 144 1800
1 1 1 1 1 1 ˆ D X 2 D X 3 D 3 D X 1 X 2 X 3 D X 1 36 4 6 2 3 9 1 2 1 2 1 2 700 2 9 36 4 1800
1. 理解相关概念 总体、个体、样本、样本空间、简单 随机样本、统计量、样本均值、修正 样本方差、修正样本标准差、k阶原点 矩
2. 计算有关统计量的值
样本均值：
修正样本方差：
修正样本标准差：
1 n k k 阶原点矩： Ak X i n i 1
顺序统计量：设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 为样本，
F 值
QA 66.8889
QE 111.7778
QT 178.6667
7.1809
这里r 3, n 27，对给定的水平 0.05 ， 查 F 分布表，得 F0.05 3.40 。 因为 F 7.1809 3.4 F0.05 (2, 24) ，所以拒 绝 H o ，认为接种这三种伤寒杆菌后小白 鼠的平均存活天数之间有显著差异。
( 2) 若总体k阶矩E ( X k ) k ( k 1)存在，则样本k阶 矩Ak 是总体k阶矩 k的无偏估计量；
(3) 若总体方差 D( X ) 2存在, 则修正样本方差 S *2 是总体方差 2的无偏估计量； (4) 若总体方差 D( X ) 2存在, 则样本方差 S 2是总 体方差 2的渐进无偏估计量。
1 n [ D( X i ) E 2 ( X i )] ( D( X ) E 2 ( X )) n i 1
n( 2 2 ) 2 ( 2) n n n 1 2 n lim E ( S 2 ) 2
n
S 2是 2的渐进无偏估计量
4. 有效性
例3 设总体 X ~ N ， 2 ，其中 未知，
X 1 , X 2 , X 3 是从该总体中抽取的一 个样本．
试验证： ˆ1
ˆ2 ˆ3 1 3 1 X1 X 2 X 3; 5 10 2 1 1 5 X1 X 2 X 3; 3 4 12 1 1 1 X1 X 2 X 3 3 6 2
例4车间有3位工人，有4台不同型号的车床，生产同一 品种的产品，现在让每位工人轮流在4台车床上操作3 天，记录3天的日产量，结果如表4.2.3所示。在水平 0.05 下检验，这3位工人技术之间的差异是否显著？不同型 号的车床之间的差异是否显著？交互影响是否显著？
都是未知参数 的无偏估计，并指出在这三个 的估 计中，哪一个最有效？
解 ： 由于
3 1 1 ˆ 1 E X 1 E X2 X3 10 2 5 1 3 1 1 3 1 E X 1 E X 2 E X 3 5 10 2 5 10 2 1 5 1 ˆ 2 E X 1 X 2 E X3 4 12 3 1 1 5 1 1 5 E X 1 E X 2 E X 3 3 4 12 3 4 12 1 1 1 ˆ E 3 E X 1 X 2 X 3 6 2 3 1 1 1 1 1 1 E X1 E X 2 E X 3 3 6 2 3 6 2
n n( 2 2 ) 2 ( ( 2 )) n 1 n n 2
S *2是 2的无偏估计量
n 1 （4） E ( S 2 ) E[ ( X i X )2 ] n i 1 1 n E ( X i2 ) E ( X 2 ) n i 1
2
t t 0.05 (9)
2
从而拒绝 H 0 ，认为该机器的性能不好. 当 0.01 时， t 0.01 (9) 3.2498 ，则
t t 0.01 (9)
2
2
于是接受 H 0 ，认为该机器的性能良好.
9.
2 拟合检验
例1 检验一颗骰子的六个面是否匀称 0.05 现在掷120次，结果如下： 点数 1 2 3 4 5 6 频数 21 28 19 24 16 12
1 2 3 4 5 6 解：H 0 : X ~ 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6
(mi npi ) mi n npi i 1 i 1 npi 2 6 mi 120 i 1 20
2 l 2 l
2
1 (212 28 2 19 2 24 2 16 2 12 2 ) 120 20
* * * ( x1 , x2 , , xn ) 为样本值，且 x1 x2 xn
当
取值为 ( x1 , x2 , , xn )
时，定义 r.v. X (1) , X ( 2) , , X ( n )
* , k 1,2,, n 为顺序统计量. 则称统计量 X ( k ) xk
估计的R—C下界。 解：由题知
X 的样本，试求 p 的无偏
从而
ln f ( x; p) x 1 x x ln p (1 x) ln(1 p) p p p 1 p
2 ln f ( x; p) 2 x 1 x x 1 1 x E p (1 p) p p p p(1 p) x0,1
1 n k k n
Ak是 k的无偏估计量
n 1 （3） E ( S *2 ) E[ ( X i X )2 ] n 1 i 1 n 1 n [ E ( X i2 ) E ( X 2 )] n 1 n i 1
n 1 n [ ( D( X i ) E 2 ( X i )) ( D( X ) E 2 ( X ))] n 1 n i 1