关于洛伦兹变换的推导

大 学 物 理

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COLLEGE PHYSICS

1998年8月 第17卷 第8期

关于洛伦兹变换的推导

王笑君1) 关　洪2)

1) 华南师范大学物理系，广州　510631；

2) 中山大学物理系，广州　510275)

摘　要　介绍了从时空的一些普遍性质出发而推导洛伦兹变换的几种有代表性的方法，特别阐明了每种方法的推导依据(包括隐含的依据)，并对这些依据所对应的物理意义进行了讨论.

关键词　洛伦兹变换；推导

分类号　O 412.1

长期以来，在国内刊物发表的一些文章［1］上，以及笔者不时有机会看到的一些稿件上，每每声称发现了推导狭义相对论里洛伦兹变换的新的基本方法.但在实际上，这些文稿往往只是前人工作的重复，并且还常常采取了一些不必要的或多余的假设；此外，一些已出版的书籍里，也存在着类似的问题.所以，系统介绍一下这方面的情况，相信是会有益处的.

我们所说的推导洛伦兹变换的基本方法，指的是从关于空间和时间的一些普遍性质出发而做的推导，不包括从例如电磁场方程的不变性那样的具体要求，或者从时间延长和长度收缩等“实验现象”(事实上不存在任何关于长度收缩的直接实验证据)出发所做的推导.下面按历史先后的顺序，简单地介绍几种有代表性的推导方法.

1　Einstein的光速不变原理

众所周知，作为Einstein的狭义相对论基础的两条支柱，是他的“光速不变原理”和“相对性原理”.这两条原理可以简单地陈述如下：

1) 物理定律在一切惯性参照系中都采取同样的形式.

2) 在任何给定的惯性系中，光速c都是相同的，且与光源的运动无关.

今设在一惯性系S里的空时坐标是x\,y\,z和t,在另一个惯性系S′里相对应的空时坐标是x′,y′,z′和t′.S ′相对于S的速度沿着x轴亦即x′轴的方向，其大小为v；而且当t=0时，两个参照系的原点相重合.那么，根据光速不变原理2)，对于从原点出发的光的传播过程，在参照系S和S′里应当分别有：

x2+y2+z2=c2t2

(1)

x′2+y′2+z′2=c2t′2

(2)

容易算出，满足条件(1)和(2)的坐标的齐次线性变换关系，必定采取以下形式：

这就是在Einstein的早期工作里得出的初步公式，其中含有一个未能确定的、仅含速度参数v的公共函数因子φ(v)［2］.这一因子的存在，反映了把任意参照系的空间和时间尺度乘上同一个系数，不会影响光的速度.从式(2)不难看出，如果采取光速c=1的自然单位，空间和时间的变换就呈现出某种对称性.但是，如果限于讨论两个惯性系之间的变换，单凭这种对称性或者单凭光速不变的要求，无法确定函数因子(v)，因此亦得不出完整的洛伦兹变换公式.

为了做出补救，Einstein再引进对于S′沿着x′方向以速度-v运动的第三个惯性系S″；并且认为，先后经过正反两次变换的参照系S″同原来的S应当是相对静止的，亦即回到了原来的参照系S［3］.据此不难算出关系式

φ(v)φ(-v)=φ(0)

(4)

而且，因为对于恒等变换有φ(0)=1，再加上对于横向(例如y轴方向)长度的测量结果不应当依赖于其运动方向的论证，可以断定φ(v)=φ(-v)，最后便得到φ(v)=1的结论.Einstein把这点也叫做相对性原理的要求.将这一结果代入式(3)，就得出洛伦兹变换式：

有了洛伦兹变换，就能推出沿x轴方向运动的质点的速度合成公式

式中u是质点在参照系S里的速度，u′是同一质点在S′里的速度.

Einstein所补充的、由式(4)所表示的条件，等价于认为如果参照系S′相对于S的速度为v,则S相对于S′的

速度为-v.不过，引入这一条件，表明了Einstein起初运用的方法是有“漏洞”的，而完善的理论方法应当自动地得出这个结果.

在Bergmann的《相对论引论》一书里进行了类似的推导［4］，但是没有用Einstein的条件(4)，而是引入亦被他称为相对性原理所要求的横向坐标不改变的条件：

从式(3)可以看出，这一条件亦相当于要求其中的函数因子φ(v)=1，自然能够收到相同的效果［5］.

在以上的推导里，暗含了空时的均匀性和空间的各向同性，以下不再申明.

2　变换的群的性质

1910～1912年间，Ignatowsky以及Frank和Rothe先后提出，不必从光速不变的条件出发，而仅从满足群的基本性质的要求，就可以导出洛伦兹变换.在Pauli的名著《相对论》一书里，有对这一方法的简单介绍［6］.在这些早期工作里，亦用到Einstein的补充条件.但在严格的群论方法里，是不需要这一条件的.Stephenson和Kilmister的《狭义相对论》一书，则给出了较详细的推导［7］.他们都把这种方法称为洛伦兹变换的公理式导出.

把对应着不同速度参数v值的每一个四维空时坐标的线性变换，看做是一个元素.那么，在存在单位元素(恒等变换)，以及对于每一个元素存在着逆元素(逆变换)的情况下，只要所有这些元素满足群的乘法规则，它们就组成一个群.

具体说来，设从参照系S到S′的空时坐标变换由速度参数为u的线性变换式描写，从参照系S′到S″的空时坐标变换由速度参数为v的同一线性变换式描写；那么，群的乘法规则要求：从参照系S到S″的空时坐标变换，必定由对应于某一个速度参数w的、一个相同形式的线性变换式描写.

从这些基本要求出发，就可以推导出式(5)所表示的坐标变换式(在文献［6］和［7］里，给出的都是简单的一维空间、一维时间的线性变换).而上述的三个变换的速度参数w和u,v之间的关系，正好满足上面的速度合成公式(6).

容易证明，所得的结果中所含有的常数c，具有在坐标变换下不改变的不变速度的意义.换句话说，从这种抽象的数学要求出发，就能知道自然界必定存在着一个不变速度.如果把这个不变速度c当做是无限大，就得到伽利略变换式；而把c证认为光速，则得到的是洛伦兹变换式.

我们回过头来观察Einstein引进的补充条件式(4)，不难看出它正体现了这里所讲的、洛伦兹变换的总体组成一个群的要求.

3　正交变换群

1907～1908年，Minkowski指出，洛伦兹变换可以看成四维空间中的赝转动，并且首次用四维空间中的张量形式来给出狭义相对论的描写.Einstein起初不以为然，以为那只是一些学究式的多余的话.后来，1912～1913年，Einstein在探索建立广义相以论的工作中，亦不得不开始采用Minkowski的张量方法了.

这种方法的核心是不变量的概念.如果定义三维空间和一维时间中的线元(平方)为

ds2=dx2+dy2+dz2-c2dt2

(8)

并且要求对于任何物理过程，ds2都是坐标变换下的不变量，那么它自然包含了ds2=0的光速不变情况.所以，可以把这种ds2不变的基本要求，看做是光速不变原理的一种推广.

一方面，观察第1节里的式(3)，容易看出，在ds2不变的假设下，必定要求变换中的函数因子φ(v)=1.这样就可以更自然的推导出洛伦兹变换式，而无需追加额外的条件.另一方面，下面将要说明，受到一定限制的这