计算流体力学 不可压缩N-S方程的求解.
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
针对非牛解方法 ，以揭示其复杂的流动行为和机理。
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N-S方程的改进和发展
数值方法
为了解决N-S方程的求解问题， 研究者们发展出了许多数值方法，
如有限差分法、有限元法、谱方 法等。
近似模型
针对某些特定流动，研究者们提出 了许多近似模型，如雷诺平均N-S 方程、湍流模型等，以简化求解过 程。
多物理场耦合
随着计算技术的发展，多物理场耦 合成为研究流体流动的重要方向， 如流固耦合、流热耦合等。
应力张量
01
应力张量是描述流体内部应力的二阶张量，包括正应力和剪切 应力。
02
正应力表示流体在单位面积上受到的压力，而剪切应力表示流
体在单位面积上受到的切向力。
应力张量是流体的状态函数，其值取决于流体的状态和所处的
03
边界条件。
03 纳维-斯托克斯方程的推 导
纳维方程的推导
01
02
03
从质量守恒、动量守恒 和牛顿第二定律出发， 推导出描述流体运动的
考虑流体的粘性和惯性
02
N-S方程中包含了流体的粘性和惯性力，能够描述粘性流体在运
动过程中的受力情况和运动规律。
涉及到复杂的数学处理
03
N-S方程的推导涉及到复杂的数学处理，包括微积分、线性代数
和偏微分方程等。
02 流体的基本性质
流体的定义和分类
流体是能够流动的物质，具有连续性和 不可压缩性。根据其流动特性，流体可 分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。
04 N-S方程的应用和限制
N-S方程的应用领域
流体力学
N-S方程是描述流体运动的基本方程，广泛应用于航空、航海、 气象、环境等领域。
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)名称由来Navier-Stokes equations描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
因1821年由C.-L.-M.-H.纳维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名。
该方程是可压缩流体的N-S方程。
其中，Δ是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；pN-S方程意义后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。
N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。
它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。
例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（=－Ñp+ρF）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。
在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。
基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。
第一个是流体是连续的。
这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。
另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度，温度Q，等等。
该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。
对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。
该有限体积记为\Omega，而其表面记为\partial\Omega。
该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·盖伯利尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
流体力学-N-S方程
实际流体的运动微分 方程
——纳维-斯托克斯方程式 （N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力 在粘性不起作用的平衡流体 中，或者在没有粘性的理想运动 流体中，作用在流体微元表面上 的表面力只有与表面相垂直的压 应力，而且压应力又具有一点上 各向同性的性质。
图一
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速 度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的 法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的 各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由 于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上 由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最 后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可 压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这 给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便， 我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各 向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此 算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际 运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当 微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表 面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元 有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同 性的性质了。
N-S方程相关知识课件
一、流体力学简介
流体力学研究内容
流体是气体和液体的总称。在人们的生活和生产活动中随时随地都 可遇到流体，所以流体力学是与人类日常生活和生产事业密切相关的。 大气和水是最常见的两种流体，大气包围着整个地球，地球表面的70%是 水面。大气运动、海水运动(包括波浪、潮汐、中尺度涡旋、环流等)乃 至地球深处熔浆的流动都是流体力学的研究内容。
N-S方程相关知识
李晓艳
一、流体力学简介 二、N-S方程的命名及应用 三、 N-S方程的基本内容 四、 N-S方程的求解
一、流体力学简介
流体
流体是液体和气体的总称。 流体是由大量的、不断地作热运动而且无固定平衡位置的分子构成的， 它的基本特征是没有一定的形状和具有流动性。流体都有一定的可压 缩性，液体可压缩性很小，而气体的可压缩性较大，在流体的形状改 变时，流体各层之间也存在一定的运动阻力（即粘滞性）。当流体的 粘滞性和可压缩性很小时，可近似看作是理想流体，它是人们为研究 流体的运动和状态而引入的一个理想模型。
②非线性位流方程：假设气体无粘性，对含有弱激波的跨音速绕流问 题，即使在小扰动假定下，也不能将方程线性化，但仍可假设存在速 度位，这时采用的方程为非线性位流方程。
③非线性欧拉方程：由L.欧拉建立的只假设气体无粘性的方程。它比上 面两种方程更为精确。对于具有较强激波或有分离涡面的流动和其他 一些复杂的问题，在求气动力时常采用这种方程。
三、N-S方程基本内容
N-S方程表示
在直角坐标系中，其表示形式为：
方程(1)为不可压缩流体的动量方程保证动量守恒，方程(2)为连续方 程确保质量守恒。u为速度，p为压力，ρ为流体的密度，v是流体运动 粘度系数，f为外力，“.”为矢量点积，微分算子（哈密顿算子） ∇= / x, / y, / z ∇2为拉普拉斯算子。
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S(Navier-Strokes)方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。
当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。
本文旨在对二维定常不可压缩N-S方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。
量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。
流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。
流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。
相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。
根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。
在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。
例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。
雷诺数是用来判断流体流动特性的无量纲量，对于封闭环境内的流动，当雷诺数小于2300时的流动为层流，能用N-S 方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用N-S方程表示。
流体力学第七章不可压缩流体动力学基础
第七章不可压缩流体动力学基础在前面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的观点，求得平均量。
但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。
本章的内容介绍流体运动的基本规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。
第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。
位移和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。
在直角坐标系中取微小立方体进行研究。
一、平移：如果图（a ）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成了液体基体的单纯位移，其移动速度为z y x u u u 、、。
基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不变）。
二、线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比A 点和D 点大了dy yu y ∂∂，而yu y ∂∂就代表1=dy 时液体基体运动时，在单位时间内沿y 轴方向的伸长率。
x u x ∂∂，y u y ∂∂，zuz ∂∂ 三、角变形（角变形速度）ddd DCABCDBAdt yu dy dt dy y u d x x ∂∂=⋅∂∂=α dt x udx dt dx x u d yy∂∂=⋅∂∂=β θβθα+=-d d 2βαθd d -=∴ 角变形： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=+=-=x u y u d d d y x z 212βαθαθ ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=x u z u z x y 21θ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=y u z u z y x 21θ 四、旋转（旋转角速度）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-=y u x u x y z 21θω ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y zx 21ω 即， ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y 21ωzyxu u u z y x k ji ∂∂∂∂∂∂=21ω 那么，代入欧拉加速度表达式，得：z x x x x x x z y y z z y y y y y y y x z z x x z z z z z z z y x x y y x x y du u u u u u u u dt t xu u u u u u u u dt t y u u uu u u u u dt t z αθθωωαθθωωαθθωω∂∂⎫==++++-⎪∂∂⎪∂∂∂⎪==++++-⎬∂∂⎪⎪∂∂∂==++++-⎪∂∂⎭各项含义： （1） 平移速度（2）线变形运动所引起的速度增量（3）（4）角变形运动所引起的速度增量 （5）（6）微团的旋转运动所产生的速度增量流体微团的运动可分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变形运动之和。
高等计算流体力学讲义(8)
高等计算流体力学讲义（8）第三章 不可压缩流动的数值方法§1 基本方程及其性质一、基本方程考虑不可压缩NS 方程： 0∇=u（1）()p tρρρτ∂+∇=-∇+∇∂u uu f（2）其中粘性应力为， 2τμ=S（3）12()T=∇+∇S u u如果粘性系数为常数，τμ∇=∆u （4）经无量纲化，常粘性系数不可压缩NS 方程可以写为：()p tυ∇=∂+∇=-∇+∆∂u u uu f u，其中/υμρ=为运动粘性系数。
NS 方程也可以写为无量纲化形式01()R ep t∇=∂+∇=-∇+∆∂u u uu f u其中ρ已经吸收到p 中（p 代表/p ρ）。
不可压缩方程的边界条件为：固体壁面：wall =u u ， 进口条件：in =u u ，出口条件：n∂=∂u 0。
不可压缩方程中的压力场可以相差任一常数而对速度场无影响，所以压力场只是在相差任意常数的条件下是确定的。
为了确定全场压力值，还应指定流场中某一点的压力。
二、不可压N －S 方程的特点：（1） 方程为二阶偏微分方程，二阶项中包含参数μ（粘性系数）。
边界层、分离、湍流…（2） 方程是非线性的，表现为对流项()∇uu 。
对一维问题，非线性项为u ux∂∂。
假定u 的波数为k 的Fourier 分量为()s i n u u t k x = （5） 则：21sin 22u uukx x∂=∂ 。
即振幅由212u u→ ；波数由2k k →。
也就是说，振幅呈现非线性变化，且可以产生高频成分。
粘性的作用，使得解的结构进一步复杂化，考虑模型方程221Re u u tx∂∂=∂∂把（5）式带入模型方程，得2(/Re)()k tut e -=可见，雷诺数越大，或频率越低（流动结构的尺度越大），振幅衰减越慢。
综上所述：由于非线性的作用，会产生高频的流动结构；在大雷诺数的条件下，这些高频结构有较长的生命周期，并且与衰减缓慢的低频结构相互作用，使得流动表现出复杂的的非线性、多尺度特征。
计算流体-二维
和式 (2) 在图3所示的网格上的离散形式如下 [ pi+1, j − pi, j ] 1 1 n ( C + D ) − uin,+ = u + dt − A − B + i, j j Re ∆x [ p i , j +1 − p i , j ] 1 1 n vin, + ( G + H ) − = v + dt − E − F + i, j j Re ∆y 其中 A = ui, j B= ui+1, j − ui−1, j 2∆ x
对于式样 (4) 的迭代方式非常简单. 每一步迭代, 本文都对每一个压强点用上式计算迭代后的 值, 一步迭代完成后, 检查一下同一压强点上的迭代前后值相差的最大值是否为 ε = 0(实际计算 过程中,ε 取一个非常小的值, 当迭代前后的 p′ 相差的最大值小于 ε 即认为迭代完成)
3.3
பைடு நூலகம்
边界条件
在交错网格中, 边界处理相对于非交错网格较为复杂, 一些量的节点恰好在边界上, 而另一些 节点则分布在边界两侧, 因此在施加边界条件时要非常小心, 本文对速度应用狄利克雷边界条件 (Dirichlet boundary condition), 压强施加诺伊曼边界条件 (Neumann boundary condition). 对 于速度恰好在边界上的情况, 应用边界条件时真接将这些速度设为边界上的速度 Ub (对于固壁 边界条件, Ub = 0), 比如在左右边界上的 u 及上下边界上的 v. 而对于速度点分布在边界两边的 情况, 比如在上下边界的 v 和左右边界的 v, 其边界条件为 u i , j + u i , j +1 = Ub ⇐= ui, j = 2Ub − ui, j+1 或 ui, j+1 = 2Ub − ui, j 2 对于边界上的压力的边界条件, 压力在边界法向上的导数 ∂ p/∂n 由边界两边对应的两个压 强点定义. 比如对于左边界, 诺伊曼边界条件为 p i , j +1 − p i , j = 0 =⇒ pi, j+1 = pi, j dy 实际上, 在本文的交错网格中, 固壁边界外的压力点并不参与到边界内速度的计算中, 因此在固 壁上并不需要对压强施加边界条件. 只在最后结果的后处理中将压强平均到网格节点上时需要.
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析
二维定常不可压缩N-S 方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S（Navier-Strokes）方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。
当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S 方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。
本文旨在对二维定常不可压缩N-S 方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。
量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。
流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。
流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。
相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。
根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。
在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。
例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。
雷诺数是用来判断流体流动特性的无量量，共有18个应力分量X 轴的运动微分方程：(2.1)最后导出沿x 轴的(2.2) (2.3)(2.4)纲量，对于封闭环境内的流动， 当雷诺数小于 2300时的流动为层流， 能用N-S方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用 N-S 方程表示。
n—s方程supg有限元解法
N-S方程（即Navier-Stokes方程）是流体力学中最基本的描述流体运动的方程，由法国数学家威廉·纳维尔和英国数学家马克斯·斯托克斯在1822年提出，经过多年的发展，N-S方程已成为流体力学领域的基本方程。
N-S方程可以用来描述流体的运动规律，是流体力学的基础，也被广泛应用于工程中，比如气动、液动、热传导等。
N-S方程的有限元解法是一种常用的解决N-S方程的数值计算方法，它将N-S方程空间中的复杂运动场模拟成多个离散的有限元（即多边形），用有限元的方法来求解N-S方程，从而实现对流体运动的数值模拟。
有限元解法的最大优点在于它可以更准确地模拟流体运动，它不仅可以模拟出流体的瞬态运动，更可以模拟出流体的湍流和湍流的演变过程，从而更好地模拟出流体的真实运动状态。
另外，有限元解法还可以解决复杂的边界条件，使得流体运动更加精确。
有限元解法的应用非常广泛，如气动学中，有限元解法可以用来模拟飞机、喷气机等航空器的气动特性，并可用来计算飞机的推力、抗力和阻力等。
在船舶技术中，有限元解法可以被用来计算船舶的抗力、推进力和阻力等，从而更好地优化船舶的设计。
此外，有限元解法还可以用来模拟水力机械的运动、水力发电机组的水力特性等。
“每个人都应该把自己的智慧用于推动科学发展，并用科学的手段解决实际问题。
”——爱因斯坦。
N-S方程有限元解法提供了一种有效的方法，使我们能够更加准确地模拟流体运动，从而解决实际问题。
有限元解法的发展还在不断深入，随着计算机技术的发展，它的应用也越来越广泛。
未来，有限元解法将会发挥更大的作用，为我们提供更多的科学研究和实际应用的支持。
“科学的进步给我们带来的，不仅仅是更多的知识，更重要的是它给我们带来的生活的乐趣。
”——爱因斯坦。
N-S方程有限元解法是科学进步的一个重要成果，它为我们提供了更多的科学研究和实际应用的可能性，也让我们能够更好地理解流体运动，更好地改善人们的生活。
流体力学第八章答案
流体力学第八章答案【篇一：流体力学第8、10、11章课后习题】>一、主要内容（一）边界层的基本概念与特征1、基本概念：绕物体流动时物体壁面附近存在一个薄层，其内部存在着很大的速度梯度和漩涡，粘性影响不能忽略，我们把这一薄层称为边界层。
2、基本特征：（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；（2）边界层内沿边界层厚度方向的速度变化非常急剧，即速度梯度很大；（3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；（4）由于边界层很薄，因而可以近似地认为边界层中各截面上压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；（5）在边界层内粘性力和惯性力是同一数量级；（6）边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流2种状态。
（二）层流边界层的微分方程（普朗特边界层方程）??v?vy?2v1?p?vy?????vx?x?y??x?y2????p??0?y???v?vy???0?x?y??其边界条件为：在y?0处，vx?vy?0 在y??处，vx?v(x)（三）边界层的厚度从平板表面沿外法线到流速为主流99%的距离，称为边界层的厚度，以?表示。
边界层的厚度?顺流逐渐加厚，因为边界的影响是随着边界的长度逐渐向流区内延伸的。
图8-1 平板边界层的厚度1、位移厚度或排挤厚度?1?1?2、动量损失厚度?2?vx1?(v?v)dy?(1?)dy x??00vv?2?1?v2???vx(v?vx)dy???vxv(1?x)dy vv（四）边界层的动量积分关系式??2???p?vdy?v?vdy?????wdx xx??00?x?x?x对于平板上的层流边界层，在整个边界层内每一点的压强都是相同的，即p?常数。
这样，边界层的动量积分关系式变为?wd?2d?vdy?vvdy?? x?x??00dxdx?二、本章难点（一）平板层流边界层的近似计算根据三个关系式：（1）平板层流边界层的动量积分关系式；（2）层流边界层内的速度分布关系式；（3）切向应力关系式。
不可压缩流体n-s方程
不可压缩流体n-s方程不可压缩流体N-S方程是描述流体运动的基本方程之一。
在流体力学中，不可压缩流体是指其密度在空间和时间上保持恒定的流体。
N-S方程是由物理学家Navier和Stokes在19世纪提出的，它是描述流体的运动和变形的方程组。
不可压缩流体的N-S方程可以分为连续性方程和动量方程两部分。
连续性方程描述了流体的质量守恒，它表达了流体的质量在空间和时间上的连续性。
在不可压缩流体中，质量守恒方程可以简化为速度场的散度为零，即流体的速度场是无散的。
这意味着流体在任何一个点的流入和流出速度是相等的，从而保证了质量的守恒。
动量方程描述了流体中的力学运动，它是通过牛顿第二定律和黏性力的作用来推导的。
动量方程可以分为三部分：惯性项、压力梯度项和黏性力项。
惯性项描述了流体质点在单位时间内由于速度变化引起的动量变化，压力梯度项描述了流体由于压力差产生的力，而黏性力项描述了流体由于黏性作用而产生的力。
在不可压缩流体中，由于密度恒定，惯性项可以简化为流体质点的加速度乘以密度。
压力梯度项可以表示为压力场的梯度。
而黏性力项则是由流体的黏性特性决定的。
黏性力的大小与流体的黏度成正比，黏度越大，黏性力越大。
不可压缩流体的N-S方程可以进一步简化，当黏度较小、流动速度较小以及流体的粘滞性较低时，黏性力可以忽略不计。
这时，N-S 方程可以简化为欧拉方程，它是描述理想流体运动的方程。
欧拉方程只考虑了流体的惯性和压力梯度，忽略了黏性力的作用。
不可压缩流体的N-S方程在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。
在天文学中，N-S方程可以用来研究行星和恒星的运动；在气象学中，N-S方程可以用来研究大气运动和气候变化；在航空航天工程中，N-S方程可以用来研究飞机和火箭的飞行性能。
不可压缩流体的N-S方程是描述流体运动的基本方程之一。
它通过连续性方程和动量方程来描述流体的质量守恒和力学运动。
N-S方程在科学研究和工程应用中有着广泛的应用，对于理解和预测流体运动具有重要意义。
研究生课程计算流体力学知识点复习题
一、问答题1. 什么是流体？什么是流体微团答：流体：在任何微小剪切力持续作用下连续变形的物质叫做流体（易流动性是命名的由来）。
流体微团(流体质点)：流体微团(流体质点)：在研究流体的机械运动中所取的最小流体单元，它的体积无穷小却又包含无数多个流体分子。
2. 什么是连续介质模型，该模型的引入对流体的研究有何意义？答：连续介质模型：认为流体是由无数质点（流体微团）组成、质点之间没有空隙、连续地充满其所占据空间的连续体。
物理意义：将流体看成是连续介质，描述流体运动的各物理要素可用连续函数来表征，从而利用微积分的方法研究流体的受力和运动规律。
3. 作用在流体上的力分为哪些、表达式，各有何特点？答：根据力的作用方式不同，作用在流体上的力分为质量力(体积力)和表面力（面积力）。
质量力：是作用在流体每一个质点（或微团）上与受作用流体的质量成正比的力，常采用单位质量力的坐标分量来表示，Zk Yj Xi f ++=4. 表面力：是作用在所考察的流体（或称分离体）表面上与受作用流体的表面积成正比的力，常用单位面积上表面力，分为切向力τ（内摩擦力）和法向力p （压强）来表示。
5. 什么是流体的粘性,粘性有何特征？答：流体的粘性：流体内部相邻质点间或流层间存在相对运动时，在其接触面上会产生内摩擦力（内力）以反抗（阻碍）其相对运动的性质。
粘性的特征：粘性是流体的固有属性，粘性阻碍或延缓液体相对运动的过程而不能消除，静止流体的粘性无法表现表现。
6. 牛顿内摩擦定律及其各项含义是什么？描述流体粘性的物理参数及其关系是什么？答：牛顿内摩擦定律：dy du /μτ=τ ：单位面积上的内摩擦力； dy du ：速度梯度，表示速度大小沿垂直于速度方向y 的变化率，单位为s -1；μ ：动力粘度（动力粘滞系数）。
单位N /（m 2·s ）或Pa ·s ，表征单位速度梯度时的切应力；ν ：运动粘度（运动粘滞系数），单位s m 2，ν = μ/ρ。
高等工程流体力学-纳维—斯托克斯方程的解
r0 r
1 2
r03 r3
v
U
sin
1
3 4
r0 r
1 4
r03 r3
（3-29）
p
p
3 2
Ur0 r2
cos
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第四节 低雷诺数流动
沿球面积分压强和切应力，可得总
阻力FD为
FD 6r0U
（3-30）
阻力系数
FD
CD
A 1 2
U 2
（3-31）
CD
二维楔形区域内的流动如图3-14所示。 流动由扩张角为2α的两壁面所限制，在
原点处的点源引起渐扩流动（点汇则引
起渐缩流动），
采用极坐标系，
则有
1 r
r
rvr
0
点源或点汇
O
r, vr
r
（参见附录C）（3-43） 图3-14 二维楔形流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第五节 楔形区域的流动
设相似速度剖面为
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
29
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动 如图3-16所示，流体以速度U平行流过一
无限长的多孔平壁面，由于流体黏性的作用， 在近壁面区域形成了较大速度梯度的薄层。
作业：p49 3-6
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
38
r02
FD 1 U 2 2
24
Ud0
24 Re
（3-32）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
流体力学讲义8-2
2 v r v 2 vr vz v 2 2 t r r z r r r r v r v 1 p
t vr v z r v v z r
D 2
v
v v
v
v z
2
c1
v
1
dP
4 dz
r
2
c 1 ln r c 2
根据该问题的物理特性，在管道中的流动速度应处处有界，所以必有： c 1 0 。
0 ，得： 2 c
由管壁边界条件， v
1 dP 4 dz
r
D 2
R
R 。
2
dP dz
P1 P 2
，
L
速度场的解为:
v r
84不可压缩牛顿流体的解析解二两平行平板间流动的速度场1物理问题及简化水平放置的两块无限大平行平板间充满了不可压缩牛顿流体不计质量力平板间的距离为2h如图已知上板以等速度u求平板间速度分布及应力分布平面couette流动示意图84不可压缩牛顿流体的解析解1物理问题及简化流动的几何边界是平行平面流动方向平行于x轴用直角坐标描述该流场最合适
力 矩：因为内柱面上的切应力和旋转方向相反，所以为阻力矩，其大小等于
M
z
0 r
2
r R1
R d
2 1
4 R 1 R 2
2
2
R
2 2
R
2 1
上式也可用作测量流体粘度的公式，只要测定内圆柱上流体作用力矩和转速以及内 外圆柱的半径，就可由该式计算流体动力粘度系数。 压强分布： 可将速度分布公式代入径向动量方程积分求出， 说 明： 压强的定解条件是必须给定流场一点的压强。
计算流体力学课件-part1
2024/2/28
19
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的概念
➢完整方程
连续方程
动量方程
能量方程
2024/2/28
20
❖Computational Fluid Dynamics
沿特征线，扰动波的幅值不变，传播速度为c
则在t>0时，传播过程如下图：
2024/2/28
27
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的特征
➢单波方程
➢c>0时，传播沿x正向 ➢C<0时，传播沿x负向 ❖扰动波以有限速度传播是双曲型方程的重要 特征（波形和波幅可能会变化，此处为什么不 变？）
如何表达初始形状三角形
如何存储数据 如何积分
数值积分，HOW？
如何显示结果
TECPLOT
尝试改变几个常数，看看结果有何变化，常数反映了什么？
2024/2/28
22Biblioteka ❖Computational Fluid Dynamics
回顾
控制方程
模型方程
➢NS ➢EULER ➢Impressible NS ➢RANS
➢单波方程可以模拟EULER方程的一些特征
2024/2/28
28
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的特征
求解非定常不可压N—S方程的预处理方法
， 因而
用 预 处 理 法 计 算 非 定 常 流 时 ， 用 双 时 间推 进 使
法求 解 ． 理 时 间导 数项 做 为源 项 处理 ， 物 在每 一 物 理
时 间层 沿伪 时 间 方 向迭 代 求 解 ． 由于 沿 物 理 时 间 推 进 时需 沿伪 时间层 迭 代求 解 ， 因此 ， 代 收敛 速 度 的 迭
［ 者 简 介 】薛 具 奎 （９ ３．） 男 ， 肃 秦 安 ， 教 授 ， 士 ， 作 １６ ， 甘 副 博 主要 从 事 计 算 流 体 力 学 和 大 气 边 界 层 物 理 的 研 究
维普资１ ９卷
ｆ △层 ｌ ， ２： （ Ａ ， ，， Ｐ ） ２ Ａｑ ２
１ 控 制 方 程 及 数 值 方 法
１ １ 控 制 方 程 及 通 ■ 差 分 分 裂 法 ．
ｆ ＝ （ Ｅ Ｅ…， ２一Ｅ ，）Ａ ２ ｌ ｘ，
Ｊ ， ［＋ 巨一… 盒 巨 ＋ ］ …＝ 。
【川＝ △川一Ｅ △ ＋Ｅ ， Ｅ △ 一Ｅ △ 。 ［ 川 ］
维普资讯
第 １ ９卷 第 ５期 ２ ０ 年 ９月 ０２
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＯＭＰＵＴＡＴＩ ＯＮＡＬ ＰＨＹＳ ＣＳ Ｉ
计
算
物
理
Ｖ 】１． ． ０．９Ｎｏ５
Ｓ ｐ． ２ ０ ｅ ， ０２
［ 章 编 号 ］ １０ —４ Ｘ ２０ ）５００ ・５ 文 ０ １２６ ｛０２ ０ — ３０ ４
Ｊ ＝ ｄａ （ ， ， ） Ｐ～ ＝ ｉｇ０ １ １ ，
Ｐ。称 为 预处 理矩 阵 ，， 为 、 。 ｌ ｌ 、 Ｙ方 向 速 度 ， Ｐ为 流
场压 力 ， ｒ为伪 时 间 ． （ ） 是 双 时 间 推 进 方 程组 ． 式 １就
第6章-流体流动微分方程-例题
0 0 0
θ:
2 v ∂v v v ∂vθ ∂v ⎡ ∂ ⎛1 ∂ 1 1 ∂p ⎞ 1 ∂ vθ 2 ∂vr ⎤ + ν ⎢ ⎜ （rvθ） + + vr θ + θ θ + r θ = fθ − + ⎟ 2 ρ r ∂θ r r ∂θ r
∂r ⎝ r ∂r ∂t ∂r ∂θ 2 r 2 ∂θ ⎥ ⎠ ⎣ ⎦
工程流体力学——第六章 流体流动微分方程——例题
CH6-5
r:
2 ⎡ ∂ ⎛1 ∂ ∂vr ∂v v ∂v v 2 1 ∂p ⎞ 1 ∂ vr 2 ∂vθ ⎤ + vr r + θ r − θ = f r − + − 2 + ν ⎢ ⎜ （rvr） ⎥ ⎟ 2 2 r r ∂ r ∂θ ⎦ θ r N ρ ∂r ∂t ∂ ∂r ⎝ r ∂r ⎠ r ∂θ ⎣
∂vz dv =μ z ∂r dr
由此可知：(a)不可压缩一维稳态层流每点各方向正应力=-p，因此分析 相应问题时微元体表面正应力可直接以压力标注；(b)管内流体既有沿 z 方向 的切应力，同时也伴随有 r 方向的切应力。 ⑤ 因 ∂p*/ ∂z = ∂p / ∂z =const 且 vz =vz (r ) ，故 z 方向运动方程为常微分方程， 其边界条件为 vz r = R = 0 、 (dvz /dr ) r =0 = 0 ；积分运动方程并以 −Δp /L 替代 ∂p / ∂z 可得 速度分布，进而得到切应力分布，其结果为：
CH6-7
对于内筒转动外筒固定的情况， 由于离心 力与压差力均指向外壁， 两者都促使流体向外 层运动， 故流体沿切向的层流流动难以保持稳 定。该条件下，雷诺数定义及过渡雷诺数分别 为：
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第十二讲 不可压缩Navier-Stokes方程的求解
李新亮 lixl@ ；力学所主楼219； 82543801
知识点：
拟压缩性方法 求解压力Poisson方程法 涡流函数法 Simple方法
讲义、课件上传至 (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 讲课录像及讲义上传至网盘 /browse.aspx/.Public
ui 1, j ui 1, j ui, j 1 ui, j 1 4ui , j f i , j 2
Gauss-Seidel迭代
n n
Jacobi迭代
n
n
n+1
n+1
n+1
n
n+1
LU-ADI
n
n+1
n+1
n+1
n+1
LU-SGS
n n n+1
n
Copyright by Li Xinliang 3
u13 u 23 u 33
u1n u2n u3 n u nn
a j x j 1 b j x j c j x j 1 d j
x j Aj x j 1 B j
2
Copyright by Li Xinliang
知识回顾
迭代法
2u 2u f ( x, y ) x 2 y 2 u g ( x, y )
u u p 1 2 u u v u t x x Re y
vi , j 1 / 2
在u的网格点上离散
pi 1, j
ui 1 / 2, j
pi 1, j pi , j p x x i 1/ 2, j
pi , j
v v v p 1 2 u v u t x y y Re
pi 1, j pi 1, j 2x pi , j 1 pi , j 1 2y
pi , j 1 pi , j 1 p y 2y i , j
0,
0
特点： 高压-低压点间隔分布
采用中心差分格式计算出：
p p 0 x y
流场竟然“保持稳定” “奇偶失联”
Copyright by Li Xinliang 7
常用措施： 交错网格
u v 0 x y u u p 1 2 u u v u t x x Re y v v v p 1 2 u v u t x y y Re
密度为常数的不可压缩Navier-Stokes方程组：
V 0 V 1 2 V V p V t Re
V V (VV)
温度对密度的影 响可忽略不计
特点： 动量方程与能量方程解耦 压力属于约束变量而不是发展变量
压力不能时间推进 求解
可压缩 易处 压力可推进求解，易于使用 显格式
a11 a12 0 a 22 A 0 0 0 0
a13 a23 a 33 0
0
a1n a2 n a 3n ann
a11 LU分 a21 解法 a 31 an1
追赶法：
a12 a22 a32 an 2
3
知识回顾
二、 网格生成 1. 代数网格生成法 2. 解椭圆型方程网格生成法 A F 物 理 空 间
y 2 y 2 ( x)
E
B C D
y1 y1 ( x)
F’
E’
D’
计 算 空 间
A’
Copyright by Li Xinliang
B’
C’
4
12. 1 不可压缩Navier-Stokes方程的特点
静止流体或无粘流体中力的 平衡—— 动力学压力的概念
热力学压力： 分子对固壁的碰撞， 产生压力
6
Copyright by Li Xinliang
奇偶失联与交错网格 压力项，通 u v 0 常采用中心 x y 差分离散 u u p 1 2 u u v u pi 1, j pi 1, j p t x x Re y , x 2 x i, j v v v p 1 2 u v u t x y y Re 极端情况： 棋盘式压力场 高压 低压
a1n 1 u11 u12 l a23 a2 n 1 u 22 21 a 33 a3n l31 l32 1 an3 ann ln1 ln 2 ln3 1 a13
p 22 p 22Fra bibliotekPij p ij 2ij
连续介质微元体的受力平衡： 应力的概念
热力学压力—— 由分子动力学性质决定 —— 状态方程 完全气体：
p RT
热力学压力
p
p n pn
p
可压缩N-S方程： 动力学与热力学耦合；动力学压力= 热力学压力 不可压缩N-S方程： 动力学与热力学解耦 由不可压缩条件确定压力 （纯动力学概念）
不可压缩 压力方程具有椭圆性，无法推进 求解。压力方程收敛性差
难处 研究重点
可能出现间断 激波捕捉
不会出现间断 压力处理
Copyright by Li Xinliang
5
1） 压力的处理原则
p11
p12
pn P n
概念澄清： 压力—— 动力学压力及热力学压力
动力学压力 动力学压力—— 应力的中各向同性部分
Copyright by Li Xinliang 1
知识回顾
一、 代数方程组的求解 直 接 法 Gauss 消元法
a11 a12 a a22 21 A a31 a32 a n1 a n 2 a13 a23 a 33 an 3
Ax b
a1n a2 n a 3n ann