等差数列前n项和的性质及应用

5ห้องสมุดไป่ตู้4
2 7
,3
4 7

的前
n
项和
为
S
，求使得
n
Sn 最大的序号 n 的值。
分析：
等差数列的前n项和公式可以写成Sn

d 2
n2

(a1

d 2
)n
，
所
以S
可
n
以
看
成
函
数
y

d 2
x2

(a1

d )x 2
(
x

N

)
当x

n时
的函
数
值。
另
一
方
面，
容
易
知
道S
关
n
于
n的图象是一条抛物线的一些点。因此，我们可以利用
= ( pn2 qn r) [ p(n 1)2 q(n 1) r] = 2 pn ( p q)
令p + q + r = 2p – (p + q)，得r = 0。
所以当r = 0时，数列 {an }是等差数列，首项a 1 = p + q，
公差d an an1 [2 pn ( p q)] [2 p(n 1) ( p q)] 2 p
等差数列的前n项的最值问题
一、a1 0,d 0, Sn有最大值 aann100
a1 0,d 0, Sn有最小值 aann100
二、Sn An2 Bn,配方，看对称轴 三、特别的Sm Sm1 am1=0
等差数列的前n项的最值问题
例题：已知等差数列
分析：
Sn a1 a2 a3 an1 an
Sn1 a1 a2 a3 an1 (n 1)
所以当n > 1时，
an

Sn
Sn1

n2

1 n [(n 1)2 2

1 (n 1)] 2
2n
1 2
当n = 1时，a1
S1
能力提升
已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得
1
1
313 3 2 d 1113 1110 d
2
2
S
∴ d=－12
n
Sn 13n 2 n(n 1) (2)
n2 14n (n 7)2 49
探究：如果一个数列 {an}的前n项和为 Sn pn2 qn r
，其中p、q、r为常数，且 p 0，那么这个数列一定是
等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
分析：由 Sn pn2 qn r，得 S1 a1 p q r
当n 2时 an Sn Sn1

3 2
也满足上式。
因而，数列 {an
}是一个首项为
3 2
，公差为2的等差数列。
注：由上例得S
与
n
an
之间的关系：
由 S n 的定义可知，当n = 1时，S1 a1
当n ≥ 2时， an Sn Sn1
即an

SS1n(n
1) S n1 (n

2)
新课1
课前练习
1,在等差数列{ａn}中，S2 4, S4 =19，求S6 = 2，在等差数列{ａn}中，a1+a2 +a3 =8,a4 +a5 +a6 =12, 求a7 +a8 +a9 = 3，在等差数列{ａn}中，Sm =30,S2m =100,求S3m
2，设为等差数列{an} ，公差d=-2， Sn为其前n项和，若S10 =S11则a1
小结：{an}为等差数列，求Sn的最值。
a1 0,d 0, Sn有最大值 aann100
a1 0,d 0, Sn有最小值 aann100 Sn An2 Bn,配方，看对称轴
n
3 71
∴当n=7时,Sn取最大值49.
1
已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
解法2 由S3=S11得 d=－2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
aann1
0
0
得



n n

15 2 13 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
新课2
等差数列{an}前n项和的性质
性质1:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= － (m+p) 性质2:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0
2018年3月
知识回顾：
1. {an}为等差数列 an+1- an=d 2an+1=an+2+an .
an=an+b a、b为常数， an= a1+(n-1)d ，
更一般的，an= am+(n-m)d
，d=
an am nm
.
n(a1 an ) 2.等差数列前n 项和Sn = 2
已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2<0
则Sn的图象如图所示
Sn
又S3=S11
所以图象的对称轴为
3 11
n
n
7
2
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
练习1:已知数列{an}的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为
= na1
n(n 1) d 2
.
复习：
• 等差数列的前n项和公式
Sn

n(a1 2
an )
Sn

na1

n(n 1)d 2
1、通项公式与前n项和的关系：
例1、已知数列{a n}的前n项和
为
Sn

n2

1n 2
，求这个数列的通项
公式。这个数列是等差数列吗？如果是，
它的首项与公差分别是什么？
(C)
A.12 B.13 C.12或13 D.14
练习2:等差数列｛ an ｝ 中，a1 0, s4 s9，则
前A．n项6 ；和取最大值时，Bn．为7（；C）
C．6或7；
D．以上都不对 ；
作业
1、数列{an}是等差数列，an 24 3n,则前多少项的和最大？ 2、在等差数列{an}中，an 2n 17,则前多少项的和最小？
二次函数来求n的值。
解：由题意知，等差数列5，4 2，3 4 ，的公差为- 5 ，
77
7
所以Sn

n [25 2
(n
1)(
5)] 7
75 5n2
14
5 (n 15)2 1125 14 2 56
于是，当n取与15 2
最接近的整数即7或8时，S
取最大值。
n
练习：
1：数列{an}是等差数列，a1 50, d 0.6 （1）从第几项开始有 an 0 （2）求此数列前n项和的最大值