新课改省份专用版高考数学一轮复习第五章平面向量复数第一节平面向量的概念及线性运算讲义

错误!
名称定义备注
向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量
的大小叫做向量的长度（或称模）
平面向量是自由向量，平面向量可
自由平移
零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0
单位向量长度等于１个单位的向量非零向量a的单位向量为±错误!
平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共
线向量
0与任一向量平行或共线
相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较
大小
相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0
一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（１）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．（）
（２）若a与b不相等，则a与b一定不可能都是零向量．（）
答案：（１）×（２）√
二、填空题
１．如果对于任意的向量a，均有a∥b，则b为________．
答案：零向量
２．若e是a的单位向量，则a与e的方向________．
解析：∵e＝错误!，∴e与a的方向相同．
答案：相同
３．△ABC中，点D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，在以A，B，C，D，E，F为端点的有向线段所表示的向量中，与错误!共线的向量有________个．
答案：7个
错误!
１．（２0１8·海淀期末）下列说法正确的是（）
Ａ．方向相同的向量叫做相等向量
Ｂ．共线向量是在同一条直线上的向量
Ｃ．零向量的长度等于0
Ｄ．错误!∥错误!就是错误!所在的直线平行于错误!所在的直线
解析：选C 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当错误!∥错误!时，错误!所在的直线与错误!所在的直线可能重合，故D不正确．
１若|a|＝|b|，则a＝b；
２若|错误!|＝|错误!|，则四边形ABCD是平行四边形；
３若m＝n，n＝k，则m＝k；
４若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中，假命题的个数是（）
Ａ．１Ｂ．２
Ｃ．３Ｄ．４
解析：选C 对于１，|a|＝|b|，a，b的方向不确定，则a，b不一定相等，所以１错误；对于２，若|错误!|＝|错误!|，则错误!，错误!的方向不一定相同，所以四边形ABCD不一定是平行四边形，２错误；对于３，若m＝n，n＝k，则m＝k，３正确；对于４，若a∥b，b∥c，则b＝0时，a∥c不一定成立，所以４错误．综上，假命题的是１２４，共３个，故选Ｃ．
３．（２0１9·赣州崇义中学模拟）向量错误!与错误!共线是A，B，C，D四点共线的（）
Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
解析：选B 由A，B，C，D四点共线，得向量错误!与错误!共线，反之不成立，可能AB∥CD，所以向量错误!与错误!共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件，故选Ｂ．
错误!
关于平面向量的３个易错提醒
（１）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；（２）大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；
（３）向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．
突破点二平面向量的线性运算
错误!
１．向量的线性运算
向量运算定义法则（或几何意义）运算律
加法求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
减法求a与b的相反向量
—b的和的运算
a—b＝a＋（—b）
数乘求实数λ与向量a的
积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，
λa与a的方向相同；当λ
＜0时，λa与a的方向相
反；当λ＝0时，λa＝0
λ（μ a）＝（λμ）a；（λ
＋μ）a＝λa＋μa；
λ（a＋b）＝λa＋λb
向量b与a（a≠0）共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.３．向量的中线公式及三角形的重心
（１）向量的中线公式：
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．
（２）三角形的重心：
已知平面内不共线的三点A，B，C，错误!＝错误!（错误!＋错误!＋错误!）⇔G是△ABC的重心．特别地，错误!＋错误!＋错误!＝0⇔P为△ABC的重心．
错误!
一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（１）a∥b是a＝λb（λ∈R）的充要条件．（）
（２）△ABC中，D是BC的中点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．（）
答案：（１）×（２）√
二、填空题
１．在如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则错误!＋错误!＝________.
答案：错误!
２．化简：（错误!—错误!）—（错误!—错误!）＝________.
解析：（错误!—错误!）—（错误!—错误!）＝错误!—错误!—错误!＋错误!＝（错误!—错误!）＋（错误!—错误!）＝错误!＋错误!＝0.
答案：0
３．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（２λ—１）b，若c与d共线反向，则实数λ的值为________．
答案：—错误!
错误!
考法一平面向量的线性运算
应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．
（１）加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；
（２）减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；
（３）数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．
[例１] （１）（２0１9·湖北咸宁联考）如图，在△ABC中，点M为AC的中点，
点N在AB上，错误!＝３错误!，点P在MN上，错误!＝２错误!，那么错误!＝（）Ａ．错误!错误!—错误!错误!Ｂ．错误!错误!—错误!错误!
Ｃ．错误!错误!—错误!错误!Ｄ．错误!错误!＋错误!错误!
（２）如图，在直角梯形ABCD中，错误!＝错误!错误!，错误!＝２错误!，且错误!
＝r错误!＋s错误!，则２r＋３s＝（）
Ａ．１Ｂ．２
Ｃ．３Ｄ．４
[解析] （１）错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.故选Ｄ．
（２）根据图形，由题意可得错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.
因为错误!＝r错误!＋s错误!，所以r＝错误!，s＝错误!，则２r＋３s＝１＋２＝３．
[答案] （１）D （２）C
[方法技巧]
１．平面向量的线性运算技巧
（１）不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
（２）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
２．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
（１）没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
（２）利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
（３）比较、观察可知所求．
考法二平面向量共线定理的应用
求解向量共线问题的注意事项
（１）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
（２）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
（３）直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔错误!＝（１—t）·错误!＋t错误!（O为平面内任一点，t∈R）．
[例２] （１）（２0１9·南昌莲塘一中质检）已知a，b是不共线的向量，错误!＝λa＋b，错误!＝a ＋μb（λ，μ∈R），若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是（）
Ａ．λμ＝１Ｂ．λμ＝—１
Ｃ．λ—μ＝—１Ｄ．λ＋μ＝２
（２）（２0１9·郑州模拟）设e１与e２是两个不共线向量，错误!＝３e１＋２e２，错误!＝k e１＋e２，错误!＝３e１—２k e２，若A，B，D三点共线，则k的值为________．
[解析] （１）∵错误!与错误!有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使错误!＝t错误!，即λa＋b＝t a＋μt b，则错误!消去参数t得λμ＝１；反之，当λμ＝１时，错误!＝错误!a＋b，此时存在实数错误!使错误!＝错误!错误!，故错误!和错误!共线．∵错误!与错误!有公共点A，∴A，B，C三点共线．故选Ａ．
（２）由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得错误!＝λ错误!.
又错误!＝３e１＋２e２，错误!＝k e１＋e２，错误!＝３e１—２ke２，
所以错误!＝错误!—错误!＝３e１—２ke２—（ke１＋e２）
＝（３—k）e１—（２k＋１）e２，
所以３e１＋２e２＝λ（３—k）e１—λ（２k＋１）e２，
又e１与e２不共线，
所以错误!解得k＝—错误!.
[答案] （１）A （２）—错误!
[方法技巧] 平面向量共线定理的３个应用
１．错误!在等腰梯形ABCD中，错误!＝—２错误!，M为BC的中点，则错误!＝（）
Ａ．错误!错误!＋错误!错误!Ｂ．错误!错误!＋错误!错误!
Ｃ．错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!错误!＋错误!错误!
解析：选B 因为错误!＝—２错误!，所以错误!＝２错误!.又M是BC的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，故选Ｂ．
２．错误!在△ABC中，AB＝２，BC＝３，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于（）
Ａ．１Ｂ．错误!
Ｃ．错误!Ｄ．错误!
解析：选D 由题意易得错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，
则２错误!＝错误!＋错误!错误!，即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.
故λ＋μ＝错误!＋错误!＝错误!.
３．错误!设两个非零向量a与b不共线．
（１）若错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），求证：A，B，D三点共线；
（２）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
解：（１）证明：∵错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），∴错误!＝错误!＋错误!＝２a＋8b＋３（a—b）＝５（a＋b）＝５错误!，∴错误!，错误!共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
（２）∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），即（k—λ）a＝（λk—１）b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴错误!∴k２—１＝0．∴k＝±１．。