自变量的取值范围与函数值的求法

§18.1.2自变量取值范围与函数值的求法

(第二课时)

教学过程

一、复习引入

教师提问：举一个生活中的实例，用实例中的量来说明什么是变量？什么是自变量？什么是因变量？什么是一个变量的函数？

学生回答后教师总结：某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数。

教师提问：填写如图18.1.2-1所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么？如果把这些涂黑的横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y 与x的函数关系式。

二、探究新知

（一）几个例子

1、教师让学生与邻桌同学讨论后引导学生发现：图18.1.2-1—1

（b）中涂黑的格子都在一条直线上，并且会发现y+x=10，即有函数关

系式：y=10-x。

2、教师提问：

试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系

式。

学生回答后教师给出答案：y 与x 的函数关系式y=180°-2x 。

3、如图18.1.2-1—2，等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合。试写出重叠部分面积ycm 2与MN 长度xcm 之间的函数关系式。

学生回答后教师给出答案：y 与x 的函数关系式：22

1x y

. （二）变量的取值范围

1、教师讲解：大家会发现，上述的几个实例中，虽然函数关系式本身中的自变量可以取任意实数，但就每一个具体问题而言，每一个自变量的取值都有一个范围。

2、教师提问：

（1）在上面问题中所出现的各个函数中，每个自变量的取值范围是怎样的？

（2）在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？

3、教师可以作以下分析帮学生思考：

在思考第1个问题时，主要观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围； 在思考第2个问题时，要考虑三角形内角和是180°，所以等腰三角形的底角的度数x 不可能大于或等于90°。

在思考第3个问题时，主要考虑开始时A 点与M 点重合，MA 长度为0cm ，随着△ABC 不断向右运动过程中，MA 长度逐渐增长，最后A 点与N 点重合，这时MA 长度达到10cm 。

4、学生回答后老师给出答案：

（1）问题1，自变量x 的取值范围是：1≤x ≤9；问题2，自变量x 的取值范围是：0

（2）当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4。

上面例子中的函数都是利用解析法表示的，如如：s=60t ；S=πR 2都是用解析法表示的。

现在我们可以对函数自变量的取值范围作如下描述：在用解析式表示函数时，第一要考虑自变量的取值必须使解析式有意义（各分母不能为零）。第二，如果遇到实际问题，必须使实际问题有意义。例如：函数解析式S=πR 2中自变量R 的取值范围是全体实数。如果式子表示圆面积S 与圆半径R 的关系，那么自变量R 的取值范围就应该是R>0。

对于函数y=x(30-x)，当自变量x=5时，对应的函数y 的值是y=5×(30-5)=5×25=125。 125叫做这个函数当x=5时的函数值。

（三）例题讲解

教师与学生共同完成以下例题，第1、2题为求自变量的取值范围的例题；第3题为求函数值的题目。

1、求下列函数中自变量x 的取值范围：

（1）y=3x-1; (2)y=2x 2+7; (3)2

1+=x y (4)2-=x y 学生做题时，教师给予适当的提示，用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值。例如，在（1）（2）中，x 取任意实数，3x-1与2x 2+7 都有意义；而在（3）中，x=-2时，2

1+x 没有意义；在（4）中，x<2时，2-x 没有意义。 学生做完题后教师给出答案：（1）x 取值范围是任意实数；（2）x 取值范围是任意实数；（3）x 取值范围是x ≠-2；（4）x 取值范围是≥2。

教师总结：四个小题代表三类题型，（1）（2）题给出的是只含有一个自变量的整式；

（3）题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；（4）题给出的是只含有一个自变量的二次根式。

2、分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：

（1）某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y （元）关于用电度数x 的函数关系式；

（2）已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x(cm) ，求底边上的高y(cm)关于x 的函数关系式；

（3）在一个半径为10cm 的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环，设圆环的面积为S （x cm 2），求S 关系r 的函数关系式。

学生做完后教师给出答案：（1）y=0.05x ，x 可取任意正数；（2）x y 40=

，x 可取任意正数；（3）S=100π-πr 2，r 的取值范围是0

3、求下列函数当x=2时的函数值：

（1）52-=x y （2）23x y -= （3）1

2-=x y （4）x y -=2 教师提示：函数值就是y 的值，因此求函数值就是求代数式的值。

学生解完后教师板书答案：

（1）当x=2时，1522-=-⨯=y ; （2）当x=2时，12232-=⨯-=y ；

（3）当x=2时，;21

22=-=

y ； （4）当x=2时，022=-=y ； 三、随堂练习：

课本第28页练习第1题、第2题、第3题。

四、课时总结

1、求函数自变量取值范围的两个依据：

（1）要使函数的解析式有意义；

①函数的解析式整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母不等于零；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于等于零。

（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。

2、求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值。

五、布置作业

1、课本第29页习题18.1第4、5、6题。

2、选用课时作业优化设计。

六、板书设计

黑板分为左、中、右三部分，中间与右边用于教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左边用于板书以下内容。