自变量的取值范围与函数值的求法
函数值及自变量的取值范围
y
x 等腰三角形两底角相等。
（ 3 ） 如 图 ， 等 腰 直 角 △ ABC 的 直 角 边 长 与 正 方 形 MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上， 开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A 点与N点重合．试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式．
我们可以由自变量结合函数本身求出因变量，此时这个因变量的值称为该自变量
函数值 对应的
；同时，我们也可以由因变量结合函数本身求出自变量的值！
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1） y＝3x－1； （2） y＝2x2＋7；
（3）
y=
x
1
2
；
（4） y＝ x 2 ．
解：（1）中x取任意实数，3x－1都有意义 .
(2)中x 取任意实数， 2x2＋7都有意义 .
（3）中，x≠－2时，函数有意义．
（4）中x≥2时，函数有意义．
试一试: 求下列函数自变量的取值范围
⑴ y= x2 x 1 ⑵ y= 3 x
⑶ y= 1
⑷ y= x 2
x2
x ⑸ y=(x1)0 ⑹ y=
说明:四种基本类型的函数自变量取值范围
x 1 29
1 整式-----一切实数
2 分式-----分母不为零
偶次根式 (被开方数≥0) 3 根式-----
奇次根式 (被开方数为一切实数 ) 4 零指数-----底数≠0
练习：一
P33习题中第4题 P31练习第3题
练习二：P32第2题
2.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变 量的取值范围：
函数值及自变量的取值范围
1、理解函数值的概念，并会求 某个自变量所对应的函数值；
变量的关系函数自变量的取值范围的确定方法
一、自变量的取值范围的确定方法
①当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；
②当解析式是分数的形式时，自变量的取值范围是使分母不为零的所有实数；
③当解析式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
④当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
二、变量及函数的定义
函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个自变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
变量：
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。
（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量：函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量(函数)：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
三、变量的关系：
1.在具体情境中，感受两个变量之间的关系，就是一个变量随着另一个变量的变化情况，例如随着一个变量的变化，有的变量是呈匀速变化的，有的变量是呈不匀速变化的；
2.进而发现实际情景中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量和因变量，会用运动变化的基本观点观察事物。
也就是说，在两个有相依关系的变量中，其中一个是自变量，另一个是因变量；
3.自变量和因变量之间的变化关系可以用表格来刻画，也可以用图象来描述，并能对未来的趋势加以预测。
四、函数自变量的取值范围的确定方法：
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数自变量的取值范围．。
高中数学：求函数值域的方法十三种(一)
2
2
26
又 ∵ 在 [m, n] 上 当
x
增大时
f (x)
也
增
大
所
以
f (x)max f (n) f (x)min f (m)
3n 3m
m 4, n 0
解得
评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m ，n 的取值范围，
避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
(2) 求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1] 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a ，
当 a
1 2
即a
1 时， 2
f ( x )max
f ( 2 ) 4a 5 ；
当 a 1 2
即 a1 2
时，
f ( x )max f ( 1 ) 2a 2
。
f ( x )max 42aa52,,aa2121 。
y
x2 x2 x
x 1
x2 x x2
11 x 1
1
(x
1 1)2
3
不妨令：
24
f (x) (x 1)2 3 , g(x) 24
1 ( f (x) 0) 从而 f (x)
f
(
x)
3,
4
注意：在本题中应排
除
f
(x)
0 ，因为
f
(x)
作为分母。所以
g(x) 0,
3 4
故
y
1,1
3
f (x)max f (x)min
f (1) f (n)
3n 3m
，无解
④若
，则
f f
( x) max ( x) min
求函数自变量的取值范围的确定方法
求函数自变量的取值范围的确定方法确定函数自变量的取值范围是数学问题中的一个重要环节，它涉及到函数的定义域、排除可能的异常情况，以及满足问题背景要求的合理取值范围等。
在本文中，我将从多个角度解释如何确定函数自变量的取值范围。
1.首先，根据函数的定义来确定自变量的取值范围。
在确定函数自变量的取值范围之前，我们需要了解函数的定义。
函数可以通过数学表达式、描述或者图像来定义。
对于数学表达式来说，自变量一般不应使函数的分母为零或者函数内存在不合法值（例如负数的平方根）等情况。
对于描述和图像来说，需要根据问题背景对自变量的限制进行理解。
例如，一个描述中可能指定了自变量必须为正整数，或者一个图像中显示了自变量只能在一些特定范围内取值。
2.其次，根据问题的背景确定自变量的取值范围。
问题的背景可能涉及到实际世界的限制条件，例如物理问题中对时间、空间的限制。
在这种情况下，我们需要根据问题的具体要求来确定自变量的取值范围。
例如，如果问题要求求解一个物体在一段时间内的位移，那么时间必须在非负范围内取值。
3.然后，考虑函数所处的数学领域以及函数类型。
不同的数学领域和函数类型对自变量的取值范围有不同的要求。
例如，对于实数域上的函数，自变量的取值范围可以是整个实数集；对于复数域上的函数，自变量的取值范围可以是整个复平面。
此外，特殊类型的函数（例如三角函数、指数函数）也会有特定的自变量取值范围。
在确定函数自变量的取值范围时，需要考虑到这些领域和类型的特殊要求。
4.最后，通过排除可能的异常情况来确定自变量的取值范围。
在解决实际问题时，常常需要考虑一些异常情况，例如除零错误或其他无法计算的情形。
在这些情况下，我们需要通过排除这些异常情况来确定自变量的取值范围。
例如，如果函数在一些自变量值附近没有定义，则需要将这个值排除在自变量的取值范围之外。
总结起来，确定函数自变量的取值范围需要结合函数的定义、问题的背景、数学领域和函数类型以及异常情况等因素综合考虑。
函数的定义域和值域的求法
(题型二) :已知f gx的定义域,求f (x)的定义域
例2.已知f 2x 1的定义域 (1,5], 求f (x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
3 2x 1 9
f (x)的定义域为 3,9
变式练习
已知f (2x 1)的定义域1,5,求f (2 5x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
2、求函数的值域通常有： （１）直接法； （２）分离常数法； （3）图像法；（4）判别式法；（5）换元法
方法一、直接法（观察法）
例1，（1）已知函数f(x)=2x－3, x∈{0,1,2,3,5},求f(x)的值域
（2）已知函数y=-2x+1,x∈（3,6），求该函 数的值域
变式练习：求下列函数的值域：(观察法)
x2-x+3 x2-x+1
的值域
方法归纳：形如y= aa12xx22++bb12xx++cc1（2 a1≠0或a2 ≠0) 的值域的求法。一般可用判别式△≥0求得。
练习：1 求函数y= 2 求函数y=
3x x2+4 的值域 2x2+4x-7 x2+2x+3 的值5 x 3x 1
函数的定义域指自变量的取值集合。 中学数学中涉及的求定义域问题一般 有两大类：一类是求初等函数的定义 域问题；一类是求抽象函数的定义域 问题。
使函数有意义的x的取值范围
1、整式： R 2、分式： 使分母不为0的x的集合 3、偶次根式：被开方式≥0
4、零次幂式： 底式不等于0 5、几个因式的和（差、积）的形式：列方程组（不等
解 ： 令t 3x 1,则x 1（t 2 1) 3
且t 0,
函数自变量的取值范围
函数自变量的取值范围
函数自变量的取值范围：
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
取值范围怎么求
函数的自变量x的取值范围指的就是函数的定义域，用初中的说法就是使得函数的式子有意义的x的范围。
（1）解析式为整式的，自变量可取任意实数；
（2）解析式是分式的，自变量应取母不为0的实数；
（3）解析式是二次根式或偶次根式的，自变量取被开方数不小于0的实数等；
（4）对于函数解析式复杂的复合函数，应全面考虑，使其解析式中各式都有意义。
如y=1/x+根（3x-1），其取值为x≥1/3.2，对于有实际意义的函数，应当根据实际意义确定其自变量的取值范围。
有限区间
(1)开区间例如:{x|a<x<b}=(a,b)
(2)闭区间例如:{x|a≤x≤b}=[a,b]
(3)半开半闭区间例如:{x|a<x≤b}=(a,b]
{x|a≤x<b}=[a,b)
b-a成为区间长度。
有限区间在数学几何上的意义表现为：一条有限长度的线段。
求函数自变量的取值范围的确定方法
求一次函数自变量取值的方法1 函数自变量取值范围的确定在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．在解答与函数有关的问题时，常常要求出函数的自变量x 的取值范围，下面我们来介绍这一类问题的解法．经典例题在函数32--=x x y 中，求自变量x 的取值范围． 解题策略2x -分子中的二次根式被开方数必须为非负数，而且分母不为0．即自变量x 为下面不等式组的解：20,30.x x -≥⎧⎨-≠⎩ 解这个不等式组便可求得自变量x 的取值范围是x ≥2，且x ≠3．画龙点睛求函数自变量的取值范围，要注意以下几点：1． 若函数的解析式是整式，自变量的取值范围是全体实数；2． 若函数的解析式是分式，自变量的取值范围是使分母不等于0的一切实数；3． 若函数的解析式是二次根式，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的一切实数；4． 若函数的解析式含有以上几类式子时，则应分别求出各自的取值范围，再求出它们的公共部分．举一反三1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x >2的函数是（ ）．（A ）2-=x y（B ）12-=x y （C ）21-=x y （D ）121-=x y2．求函数2||1--=x x y 中自变量x 的取值范围． 3．求函数1||y x =-x 的取值范围． 融会贯通4．若函数25(2)34kx y k x k+=++-自变量x 的取值范围是一切实数，求实数k 的取值范围．参考答案1．C ．在四个选择分支A 、B 、C 、D 中，它们的自变量x 的取值范围依次是x ≥2，x ≥12，x >2，x >12．故选C ．2．由不等式组10,||20,x x -≥⎧⎨-≠⎩解得x ≤1， 且x ≠-2．3．由不等式1-|x |>0，得|x |<1，于是-1<x <1．4．要使函数自变量x 的取值范围是一切实数，就必须使分母不等于0．(1)当k =0时，分母等于3；(2)当k >0时，k (x +2)2≥0，要使分母不等于0，就应有3-4k >0，k <34，于是有0<k <34；(3)当k <0时，k (x +2)2≤0，要使分母不等于0，就应有3-4k <0，于是有k >34，这与k <0矛盾．综上所述，k 的取值范围是0≤k <34．。
初二函数自变量的取值范围方法和经典题型
班级_______ 姓名______ 耀华学号______ 分数___________中考宝典之----确定函数自变量的取值范围的秘诀：（1）关系式为整式时，自变量的取值范围为全体实数；如：27y x =- 中，x 可以取任意实数（2）关系式分母含有变量时，整个分母不等于零；如：y =中，分母含有变量x ，分母为 1x + ，故分母10x +≠（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；中，被开方数为 21x -，则 210x -≥（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；即：()010a a =≠，如：()01y x =+ ，底数为1x + ，则 10x +≠ （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
如：某汽车的油箱内装有200 升的油，行驶时每百公里耗油10升，设行使的里程为 x （百公里），则油箱中所剩下的油 y (升）与 x 之间的函数关系式是：20010y x =-，则自变量 x 的范围是 020x ≤≤我一定都能过关！1、（2009·哈尔滨中考）函数y ＝22x x -+的自变量x 的取值范围是 . 2、（2010黑龙江哈尔滨）函数21-+=x x y 的自变量的取值范围是 。
3、（2010江苏苏州）函数11y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≠0 B ．x ≠1 C ．x ≥1 D ．x ≤1 4、（2009·桂林中考）在函数y =x 的取值范围是 ．5、函数x x y 中自变量1-=的取值范围是 ，当2=x 时，函数值y= .6、（2010·威海中考）在函数x y -=3中，自变量x 的取值范围是 ．7、（2010湖南常德）函数y =x 的取值范围是 .8、函数y =x 的取值范围是___________.9、（2010广东湛江）函数1-=x y 的自变量x 的取值范围是（ ）A.1≥xB. 1-≥xC. 1-≤xD. 1≤x10、（2009·牡丹江中考）函数12y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 11、函数y=11+x 中自变量x 的取值范围是____________.12、函数中，自变量的取值范围应是（ ）、 、 、 、13、在函数3y x =-中，自变量x 的取值范围是 。
函数值域的求法及例题
函数值域的求法及例题
函数值域是一个重要的概念。
它指函数的定义域中的所有可能函数值的集合。
了解函数值域的求法，可以帮助我们更有效地使用函数，对解决实际问题也很有帮助。
函数值域的求法有两种：直接和间接。
直接求法：如果可以确定函数的解析式，则可以直接求出函数值域。
具体步骤如下：
(1) 求函数定义域：即可以使用此函数的所有自变量x的取值范围
(2)求函数值域：即当自变量x在定义域内任意取值时，函数的值的取值范围。
例子：若函数：y=3x+2，
它的定义域为x∈R
那么，函数值域就是y∈R
间接求法：当不能确定函数的解析式时，可以采用间接的求法，即分情况求解。
即将函数定义域上的所有取值情况分类讨论，将其分解为一些能求出函数值域的子问题。
例子：若函数：y=x²，
它的定义域为x∈R
这里分情况讨论：
当x ≥ 0 时，y ≥ 0；
当 x＜0 时，y＜0；
即函数值域为y∈[0，+∞) ∪ (-∞，0]，
总之，了解函数值域的求法是有必要的，有助于我们理解函数的概念，也有助于解决各种函数问题。
函数中自变量的取值范围的确定
函数中自变量的取值范围的确定作者：严小松来源：《成才之路》 2012年第24期贵州遵义● 严小松研究函数，确定自变量的取值范围是一个重要问题。
在新课标中，这也是中考内容的一个重要知识点。
然而，怎样确定自变量的取值范围呢？很多同学对此不很明确，常常因考虑不周而出现错误。
为了使同学们学习这部分知识时不出错或少出错，现将自己多年积累的经验归纳说明如下，供大家参考。
一、整式型例1 求函数y=2x-3的自变量的取值范围。
分析：因为不论x取任意实数，2x-3都有意义，所以自变量x的取值范围是全体实数。
例2 在函数y=x2+3x+1中，自变量x的取值范围是( )。
A.全体实数B.x≤0C.x≠-1D.x≥0分析：不论x取任意实数， x2+3x+1都有意义，所以自变量x的取值范围是全体实数。
故正确答案应为A。
二、分式型当函数解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数。
例3 在函数y＝1/x-3中，自变量x的取值范围是()。
A.X≠3B.X≠0C.X＞3D.X≠-3分析：当X=3时，1/x-3没有意义，所以自变量X的取值范围是X≠3。
故答案为A。
例4 判断函数y1＝x1与y2＝x是否相同？分析：两个函数是否相同，必须具备两个条件：（1）函数解析式相同（化简后）；（2）自变量的取值范围相同。
函数y1＝x2/x＝x中，自变量x的取值范围是x≠ 0 ；而函数y2＝x 中，自变量x的取值范围是全体实数。
两个函数的解析式虽然相同，但自变量x的取值范围不同，所以它们不同。
三、偶次根式型当函数解析式是偶次根式时，自变量的取值范围是使被开方式非负的实数。
四、实际问题型当遇到实际问题或几何问题时，自变量的取值还必须符合实际意义或几何意义。
例6 南京到上海的铁路长为311千米，一列火车以90千米/时的速度从南京开往上海，h 小时后火车距上海S千米，用解析式表示S与h之间的函数关系，并求自变量h的取值范围（不考虑停站时间）。
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法函数的定义域和值域是数学中的重要概念，它们描述了函数的输入和输出的范围。
在不同的数学领域和实际应用中，求解函数的定义域和值域有不同的方法和技巧。
函数的定义域是指函数中自变量的取值范围。
换句话说，定义域是使函数有意义的输入值的集合。
下面介绍一些常用方法来求解函数的定义域：1.分式函数：分式函数的定义域通常要求分母不等于零，因此我们需要找到分母为零的点，并将其排除。
求解分母为零的方程，得到函数的定义域。
2.平方根函数：平方根函数的定义域要求根号内的值大于等于零。
因此，需要将根号内的表达式>=0，并求解方程，得到函数的定义域。
3.指数函数和对数函数：指数函数的定义域通常为全体实数，而对数函数的定义域要求基数和真数都大于零。
因此，对于指数函数，不存在特定的求解方法；而对于对数函数，需要使基数和真数大于零，并求解相应的方程。
4.复合函数：复合函数的定义域由内层函数和外层函数的定义域共同确定。
首先求解内层函数的定义域，将其结果作为外层函数的自变量的定义域。
注意需要将两个函数的定义域进行交集运算，得到复合函数的定义域。
5.根式函数：根式函数的定义域需要满足根号内的表达式大于等于零。
求解根号内的方程，得到函数的定义域。
函数的值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
下面介绍一些常用方法来求解函数的值域：1.分析法：通过分析函数的特点、性质和图像，推断出函数的值域。
例如，通过观察函数的单调性、奇偶性、对称性、极值等特点，可以确定函数的值域的范围。
2.等式法：通过解方程求函数的值域。
将函数的表达式等于一个未知数，解方程得到未知数的取值范围，即为函数的值域。
3.代数运算法：通过对函数进行代数运算，得到函数的值域。
例如，对于一次函数，通过对其进行线性变换和平移，可以推导出函数的值域的范围。
4.图像法：通过绘制函数的图像，观察函数的上下界，以及是否存在水平渐近线和垂直渐近线，可以推断出函数的值域。
函数自变量取值范围的确定方法
函数自变量取值范围的确定方法在数学中，函数是一种映射关系，它将自变量的取值映射到因变量的取值。
确定函数自变量的取值范围是非常重要的，它决定了函数的定义域，也就是函数能够接受的有效输入。
以下是几种确定函数自变量取值范围的方法：1.函数定义式：函数的自变量取值范围可以通过函数的定义式来确定。
例如，对于一个有理函数f(x)=1/(x+1)，我们可以通过分析定义式知道x的取值范围不能为-1，因为分母不能为零。
2.分段函数：如果一个函数在不同的自变量范围内有不同的定义式，那么我们需要考虑每个定义式的自变量取值范围。
例如，对于一个分段函数f(x)=，x，我们知道在x<0时，f(x)=-x；在x≥0时，f(x)=x。
因此，对于x<0和x≥0，我们需要考虑两个不同的自变量取值范围。
3.函数图象：函数的图象可以提供有关函数自变量的取值范围的一些线索。
我们可以通过观察函数的图象来确定函数自变量的取值范围。
例如，对于一个简单的二次函数f(x)=x^2，我们可以看到函数图象是一个开口朝上的抛物线，意味着函数自变量的取值范围为实数集。
4.函数的性质和约束：函数的性质和约束也可以提供有关函数自变量取值范围的信息。
例如，对于一个表示物体高度的位置函数f(t)，我们知道物体不能以负的高度存在，因此自变量t的取值范围不能小于零。
5.实际问题：当函数被用于解决实际问题时，问题所涉及的条件和限制可以帮助确定函数自变量取值范围。
例如，对于一个描述人的体重变化的函数f(t)，我们知道体重不能为负，因此自变量t的取值范围不能小于零。
总之，确定函数自变量取值范围的方法包括分析函数的定义式、分段函数的定义式、观察函数图象、考虑函数的性质和约束以及解决实际问题时考虑问题所涉及的条件和限制等。
通过这些方法，我们可以确定函数自变量的取值范围，从而确保函数的定义域是有效的。
初中数学中考函数自变量取值范围的确定方法素材
初中数学中考函数自变量取值范围的确定方法素材在初中数学中，函数是一个非常重要的概念和工具。
在考试中，经常会出现关于函数定义域和值域的问题。
函数的自变量取值范围的确定方法是关键的一部分。
下面就是一些关于函数自变量取值范围的确定方法的素材，供你参考。
一、基本概念1.函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个集合的每个元素对应到另一个集合的唯一元素上。
2.定义域：函数中自变量的取值范围。
3.值域：函数中因变量的取值范围。
二、常见函数类型的自变量取值范围确定方法1. 一元一次函数：y = kx + b，自变量取值范围通常为所有实数。
2. 一元二次函数：y = ax^2 + bx + c，自变量取值范围通常为所有实数。
3.绝对值函数：y=，x，自变量取值范围通常为所有实数。
4.平方函数：y=x^2，自变量取值范围通常为所有实数。
5.倒数函数：y=1/x，自变量取值范围通常不能为0。
6. 正比例函数：y = kx，自变量取值范围通常为所有实数。
7.反比例函数：y=k/x，自变量取值范围通常不能为0。
三、常用方法1. 对于给定的函数表达式，通过观察函数的性质来确定自变量的取值范围。
例如，对于一元一次函数y = kx + b，由于直线延伸到无穷远，自变量的取值范围为所有实数。
2.对于一些特定函数，可以通过图像来确定自变量的取值范围。
例如，对于平方函数y=x^2，我们可以观察到图像在x轴左侧和右侧都有延伸，因此自变量的取值范围为所有实数。
3.对于一些函数，可能存在自变量取值的限制条件。
例如，对于正方形的面积函数S=x^2，自变量x的取值范围通常是非负实数，因为面积不可能为负值。
4. 对于一些应用题，需要根据题目的实际情况来确定自变量的取值范围。
例如，对于一个长方形的长和宽分别为x和y，而面积要求为100平方米，那么自变量x和y的取值范围需要满足条件xy=100。
四、常见错误1.将定义域和值域混淆。
定义域是自变量的取值范围，而值域是函数结果的取值范围。
高中数学函数的自变量取值范围与函数值计算
高中数学函数的自变量取值范围与函数值计算在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数的自变量是指函数中的输入值，而函数的值则是指函数对应的输出值。
在解题过程中，确定自变量的取值范围以及计算函数的值是必不可少的步骤。
本文将通过具体的例子，分析函数的自变量取值范围与函数值计算的考点，并给出解题技巧和指导。
一、自变量取值范围的确定在确定函数的自变量取值范围时，我们需要考虑两个方面的因素：函数定义域和实际问题的限制条件。
1. 函数定义域的确定函数的定义域是指自变量的取值范围，也就是使函数有意义的输入值的集合。
例如，对于函数y = √x，由于根号下不能为负数，所以定义域为x ≥ 0。
在解题时，我们需要根据函数的定义域确定自变量的取值范围。
2. 实际问题的限制条件有些函数在实际问题中存在一些限制条件，这些条件也会影响自变量的取值范围。
例如，如果一个函数表示一个物体的运动轨迹，那么自变量的取值范围可能会受到时间、空间等方面的限制。
在解题时，我们需要考虑这些限制条件，确定自变量的取值范围。
二、函数值的计算确定了自变量的取值范围之后，我们就可以计算函数的值了。
计算函数的值需要根据函数的表达式和自变量的取值进行运算。
下面通过几个例子来说明函数值的计算方法。
例1：计算函数y = 2x + 1在x = 3时的值。
解析：将x = 3代入函数表达式中，得到y = 2 × 3 + 1 = 7。
因此，函数y = 2x + 1在x = 3时的值为7。
这个例子中，我们只需要将给定的自变量的值代入函数表达式中进行计算即可得到函数的值。
例2：计算函数y = |x - 2|在x = 4时的值。
解析：将x = 4代入函数表达式中，得到y = |4 - 2| = 2。
因此，函数y = |x - 2|在x = 4时的值为2。
这个例子中，函数的表达式中含有绝对值符号，我们需要根据自变量的值的正负情况进行计算。
当x - 2 ≥ 0时，|x - 2| = x - 2；当x - 2 < 0时，|x - 2| = -(x - 2)。
高中数学求函数值域解题方法大全
高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。
例1：求函数y=x+1的值域。
解析：由于x≥-1，所以x+1≥0，因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。
例2：求函数y=1/x的值域。
解析：显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.因此函数的值域是：例3：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。
解析：因为x∈{-1,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(2)=-1，f(1)=-∞，所以：y∈{-1,3}。
注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。
二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。
例1：求函数y=x2-2x+5，x∈[-1,2]的值域。
解析：将函数配方得：y=(x-1)2+4，当x=1∈[-1,2]时，y取得最小值4，当x=-1或x=2时，y取得最大值8，因此函数的值域是：[4,8]。
变式：已知f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，且在区间[-1,1]内的最小值为1，求函数在[-2,2]上的最值。
解析：由已知，可得a>0，且f(x)在x=0处取得最小值1，即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1，所以a≤4.将f(x)配方得：f(x)=a(x-1)2+1，当x=-2或x=2时，f(x)取得最大值5a+1；当x=1时，f(x)取得最小值1.因此，当a=4时，函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时，函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法：对于一些特殊的函数，可以采用其他方法求解。
例：已知函数f(x)=sinx+cosx，求函数的值域。
1函数定义域值域求法总结
1函数定义域值域求法总结函数的定义域和值域是数学中常用的概念，在解析函数的性质和特点时非常重要。
下面将总结函数定义域和值域的求法。
首先，我们来看函数的定义域。
定义域是函数中自变量的取值范围，即能使函数有意义的输入值的集合。
对于不同类型的函数，求解定义域的方法也有所不同。
1.有理函数的定义域：有理函数是指多项式函数与多项式函数的商，即f(x)=p(x)/q(x)，其中p(x)和q(x)是多项式函数。
求有理函数的定义域，需要考虑到分母q(x)不能为0，因此需要排除使得q(x)=0的x值。
将q(x)=0的方程求解，即可得到定义域。
2.根式函数的定义域：根式函数包括平方根函数、立方根函数等。
根式函数的定义域需要满足根式内部的表达式有意义，即根式内部不能为负数或使得分母等于0。
因此，将根式内部的表达式求解，使其不小于0，并且将整个根式函数形式中分母为0的情况排除，即可得到定义域。
3.指数函数和对数函数的定义域：指数函数的定义域为实数集，即所有实数都可以作为指数函数的输入。
对数函数的定义域需要满足对数底数大于0且不等于1，因此需要排除底数小于等于0或等于1的情况。
4.三角函数和反三角函数的定义域：三角函数的定义域为实数集，即所有实数都可以作为三角函数的输入。
反三角函数的定义域需要使得其在该区间内有定义，即反三角函数的取值范围在[-1,1]之间。
接下来，我们来看函数的值域。
值域是函数的输出值的范围，即函数在定义域内的取值集合。
求函数的值域有不同的方法。
1.分析法：通过对函数的性质进行分析，可以大致确定函数的值域。
例如，对于多项式函数，根据函数的最高次项的系数和项数的奇偶性，可以确定其值域的范围。
2.增减法：通过求解函数的导数，找出函数的极值点和增减区间，可以确定函数的值域的范围。
函数在增减区间内递增或递减，可以推断函数的值域的变化。
3.图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的变化情况，可以确定函数的值域的范围。
高一数学《函数的值域》的求法
高一数学《函数的值域》的求法函数的值域是函数的三要素之一，它是函数这部分内容中一个重要的知识点。
本文介绍高一数学中求函数值域的几种常见方法：1.直接法：从自变量$x$的范围出发，推出$y$的取值范围；2.二次函数法：利用换元法，将函数转化为二次函数求值域（或最值）；3.反函数法：将求函数的值域转化为求它反函数的定义域；4.判别式法：使用方程思想，依据二次方程有实根，求出$y$的取值范围；5.单调性法：利用函数的单调性求值域；6.图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域（或最值）。
例如，对于函数$y=x^2-2x-3$，我们可以通过以下几种方法求其值域：1.直接法：当$x=-1$时，$y=0$；当$x=0$时，$y=-3$；当$x=1$时，$y=-4$。
因此，所求值域为$\{0,-3,-4\}$。
2.二次函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4$，然后求出最值。
当$y=-3$时，$y_{\max}=12$；当$x=1$时，$y_{\min}=-4$。
因此，所求值域为$[-4,12]$。
3.反函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4\geq -4$。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
4.判别式法：将函数转化为$y=-x^2+2x+3$，然后求出判别式的取值范围。
由于判别式为$4-4\times (-1)\times 3=16>0$，因此$y$的取值范围为$(-\infty,-4]\cup [1,+\infty)$。
5.单调性法：当$x1$时，函数单调递增。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
6.图象法：函数$y=x^2-2x-3$的图象是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为$(1,-4)$。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
除了以上这些方法，我们还可以通过改变$x$的范围来求函数的值域。
例如，将$x\in R$改为$x\in [-3,2]$或$x\in [-3,+\infty)$等。
(完整word版)函数定义域、值域求法总结,推荐文档
函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数 yf x 中的自变量 x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面下手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于 0。
（4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1（5）y=tanx 中 x ≠k π+π/2； y=cotx 中 x ≠k π等等。
( 6 ) x 0 中 x 0二、值域是函数 yf x 中 y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （ 1）直接法 （2）图象法（数形联合） （3）函数单一性法（ 4）配方法 （5）换元法 （包含三角换元） （6）反函数法（逆求法）（ 7）分别常数法 （8）鉴别式法 （9）复合函数法（ 10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯串了高中数学的一直。
三、典例分析1、定义域问题例 1 求以下函数的定义域：① f ( x)1f ( x) 3x 2 ；③ f ( x)x 11；②2 xx 21解：①∵ x-2=0 ，即 x=2 时，分式无心义，1 x 2而 x 2 时，分式存心义，∴这个函数的定义域是x | x2 .2x②∵ 3x+2<0 ，即 x<-2时，根式3x 2 无心义，3而 3x 20 ，即 x2 2 才存心义，时，根式 3x32 ∴这个函数的定义域是{ x | x}.31③∵当 x1 0且2 x 0 ，即 x1 且 x2 时，根式 x1 和分式同时存心义，{ x | x 1 且 x 2 }2x∴这个函数的定义域是另解：要使函数存心义，一定：x 1 0 x 12 xx 2例 2 求以下函数的定义域：① f ( x)4 x 21② f (x)x 2 3x 4x 1 2③ f ( x)1 1111x⑤ yx2313x 73解：①要使函数存心义，一定：( x1) 0④ f ( x)x x4 x 2 1即：3x 3∴函数 f (x)4 x 21 的定义域为： [3, 3 ]②要使函数存心义，一定： x 23x 4 0x 4或 x 1x 1 2x3且 x 1x3或 3 x1或 x 4∴定义域为： { x| x3或 3 x1或 x 4}x1x③要使函数存心义，一定：1 0 x 1xx111 0211x1}∴函数的定义域为：{ x | x R 且 x 0, 1,2④要使函数存心义，一定：x 1 0x 1xxx 0∴定义域为：x | x1或 1xx 2 3 0x R⑤要使函数存心义，一定：x73x737 或x>7 ∴定义域为： { x | x 7}即 x<333例 3若函数 yax 2ax 1 的定义域是 R ，务实数 a 的取值范围a解：∵定义域是R,∴ ax 2ax1 0恒建立，a∴ 等价于a 010 a2a 24aa例 4 若函数 yf (x) 的定义域为 [ 1， 1]，求函数 yf (x1) f ( x 1 ) 的定义域44解：要使函数存心义，一定：1 x15 314x33441 3 5 x41 x41 4x44∴函数 y f (x1) f ( x1) 的定义域为：x | 3x 3444 4例 5 已知 f(x) 的定义域为 [－1，1]，求 f(2x －1)的定义域。
1.1函数的定义域、值域的求法
函数的定义域、值域的求法第一讲：函数的定义域（一）基础知识回顾：1．自变量的取值范围叫做函数的定义域；函数值的集合叫做函数的值域.2．求定义域的主要依据是：整式函数实全体；分式分母 不为0_；偶次根式被开方数为 大于等于0；对数的真数 大于0；实际问题具体分析，要符合_题意. 3.复合函数的定义域：已知f(x)的定义域是]b ,a [x ∈，求f[g(x)]的定义域，就是求满足不等式a<g （x ）<b 的 x 的集合。
（二）例题分析： 1．求下列函数的定义域（1）)1(log log 225.0+=xy （2）y=log a [log a (log a x)]（3）x x y sin lg 162+-=2．设f(x)是定义在[－3，2]上的函数，求下列函数的定义域（1）)2(-=x f y（2）)0)((≠=a axf y（3）y=f(2x)+f(x+m) (m>0)3．若函数3412++-=ax axax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.4．已知扇形的周长为10，求此扇形的半径r 与面积S 之间的函数关系式及其定义域. 【备用题】 5函数315coslog+=x y π的定义域是（ ）A ．（－3，+∞）B ．),2[+∞-C ．（－3，－2）D ．]2,(--∞ 6若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数)(log 21x f 的定义域是（ ）A ．]2,21[B ．]2,0(C ．),2[+∞D ．]21,0(7函数1122---=x x y 的定义域是___________，函数y=(1+x)的定义域是____________.8函数y=log 2x －1(32－4x)的定义域是____________.9若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数y=f(x+1)+f(x －1)的定义域为____________. 10函数11)(+-=xx ee xf 的反函数f －1(x)的定义域是_____________.【拓展练习】 11函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<-=)41()10(2)0()(2x x x x x x f 的定义域为____________.12函数|)|lg(42x x xy+-=的定义域为__________________,2|1|42-+-=x xy的定义域为____________.13已知函数f(x)的定义域为[a,b]，其中0<－a<b ，则F(x)=f(x)－f(－x)的定义域为___________，若y=log 2(x 2－2)的值域为[1，log 214]，则其定义域为_____________. 14已知f(x)的定义域为[0，1]，则]2[lg2x xf +的定义域为______________.15若x 为三角形内角，x 取何值时，xxtan 12sin-无意义___________________.16若函数aax axy12+-=的定义域为R ，则实数a 的取值范围为______________.17求函数y=log a (a x－1) (a>0,a ≠1)的定义域.18求函数)4lg(3sin 1x x xy-+-+=的定义域.19在△ABC 中，BC=2，AB+AC=3.中线AD 的长为y ，若以AB关系，指出其定义域.20在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从点B 开始，沿折线BCD 向点A 运动，设 点P 移动的中程为x ，△ABP 的面积为y ，求函数y=f(x)及其定义域.21求函数2))(1(lg+--=x a x x y 的定义域.第二讲 函数的值域的求法1.求函数值域主要的方法与技巧: (1)分析观察法；（2）配方法；（3）数形结合法；（4）最大（最小）值法；（5）利用函数的单调性；（6）换元法 （7）反函数法注：由于值域取决于定义域和对应法则，所以不论采取什么方法求值域，都要考虑定义域。
求函数自变量的取值范围的方法总结
求函数自变量的取值范围的方法总结函数自变量的取值范围是指函数中自变量可以取的所有实数值的集合。
确定函数自变量的取值范围有多种方法，以下总结了几种常见的方法：1.根据函数的定义域确定自变量的取值范围：-如果函数的定义域是实数集（即没有限制），则自变量的取值范围也是实数集。
-如果函数的定义域有限制，需要根据这个限制来确定自变量的取值范围。
例如，如果一个函数的定义域是正实数集（即大于零的实数），则自变量的取值范围也是正实数集。
2.根据函数的图像确定自变量的取值范围：-观察函数的图像，确定自变量在图像上的取值范围。
例如，如果一个函数的图像是一个上升的直线，那么自变量的取值范围是整个实数集。
-需要注意的是，函数图像的性质可能会给出一些限制，例如函数图像是一个分段函数，那么需要根据每个分段函数的定义域确定自变量的取值范围。
3.使用代数方法确定自变量的取值范围：-对于一些特殊的函数，可以使用代数方法来确定自变量的取值范围。
例如，对于有分母的函数，需要考虑分母不能等于零的条件。
这样就可以通过求解不等式来确定自变量的取值范围。
-另一个例子是要求函数的值在一定范围内，可以通过解方程或者不等式来确定自变量的取值范围。
例如，对于一个二次函数，如果要求函数的值在大于等于0的范围内，可以通过求解不等式来确定自变量的取值范围。
4.使用函数性质确定自变量的取值范围：-函数的一些性质可以给出自变量取值范围的一些限制。
例如，对于奇函数来说，只有在定义域的一些小范围内，自变量的正负不同，才能保证函数是奇函数。
在具体问题中，需要根据函数性质来确定自变量的取值范围。
总结起来，确定函数自变量的取值范围需要根据函数的定义域、图像、代数方法和函数性质等多方面的因素综合考虑。
根据具体的问题，选择合适的方法来确定自变量的取值范围，可以帮助我们更好地理解函数的特性和解决相关的数学问题。
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§18.1.2自变量取值范围与函数值的求法
(第二课时)
教学过程
一、复习引入
教师提问：举一个生活中的实例，用实例中的量来说明什么是变量？什么是自变量？什么是因变量？什么是一个变量的函数？
学生回答后教师总结：某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。
如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数。
教师提问：填写如图18.1.2-1所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么？如果把这些涂黑的横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y 与x的函数关系式。
二、探究新知
（一）几个例子
1、教师让学生与邻桌同学讨论后引导学生发现：图18.1.2-1—1
（b）中涂黑的格子都在一条直线上，并且会发现y+x=10，即有函数关
系式：y=10-x。
2、教师提问：
试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系
式。
学生回答后教师给出答案：y 与x 的函数关系式y=180°-2x 。
3、如图18.1.2-1—2，等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合。
试写出重叠部分面积ycm 2与MN 长度xcm 之间的函数关系式。
学生回答后教师给出答案：y 与x 的函数关系式：22
1x y
. （二）变量的取值范围
1、教师讲解：大家会发现，上述的几个实例中，虽然函数关系式本身中的自变量可以取任意实数，但就每一个具体问题而言，每一个自变量的取值都有一个范围。
2、教师提问：
（1）在上面问题中所出现的各个函数中，每个自变量的取值范围是怎样的？
（2）在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？
3、教师可以作以下分析帮学生思考：
在思考第1个问题时，主要观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围； 在思考第2个问题时，要考虑三角形内角和是180°，所以等腰三角形的底角的度数x 不可能大于或等于90°。
在思考第3个问题时，主要考虑开始时A 点与M 点重合，MA 长度为0cm ，随着△ABC 不断向右运动过程中，MA 长度逐渐增长，最后A 点与N 点重合，这时MA 长度达到10cm 。
4、学生回答后老师给出答案：
（1）问题1，自变量x 的取值范围是：1≤x ≤9；问题2，自变量x 的取值范围是：0<x<90；问题3，自变量x 的取值范围是：1≤x ≤10。
（2）当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4。
上面例子中的函数都是利用解析法表示的，如如：s=60t ；S=πR 2都是用解析法表示的。
现在我们可以对函数自变量的取值范围作如下描述：在用解析式表示函数时，第一要考虑自变量的取值必须使解析式有意义（各分母不能为零）。
第二，如果遇到实际问题，必须使实际问题有意义。
例如：函数解析式S=πR 2中自变量R 的取值范围是全体实数。
如果式子表示圆面积S 与圆半径R 的关系，那么自变量R 的取值范围就应该是R>0。
对于函数y=x(30-x)，当自变量x=5时，对应的函数y 的值是y=5×(30-5)=5×25=125。
125叫做这个函数当x=5时的函数值。
（三）例题讲解
教师与学生共同完成以下例题，第1、2题为求自变量的取值范围的例题；第3题为求函数值的题目。
1、求下列函数中自变量x 的取值范围：
（1）y=3x-1; (2)y=2x 2+7; (3)2
1+=x y (4)2-=x y 学生做题时，教师给予适当的提示，用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值。
例如，在（1）（2）中，x 取任意实数，3x-1与2x 2+7 都有意义；而在（3）中，x=-2时，2
1+x 没有意义；在（4）中，x<2时，2-x 没有意义。
学生做完题后教师给出答案：（1）x 取值范围是任意实数；（2）x 取值范围是任意实数；（3）x 取值范围是x ≠-2；（4）x 取值范围是≥2。
教师总结：四个小题代表三类题型，（1）（2）题给出的是只含有一个自变量的整式；
（3）题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；（4）题给出的是只含有一个自变量的二次根式。
2、分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
（1）某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y （元）关于用电度数x 的函数关系式；
（2）已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x(cm) ，求底边上的高y(cm)关于x 的函数关系式；
（3）在一个半径为10cm 的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环，设圆环的面积为S （x cm 2），求S 关系r 的函数关系式。
学生做完后教师给出答案：（1）y=0.05x ，x 可取任意正数；（2）x y 40=
，x 可取任意正数；（3）S=100π-πr 2，r 的取值范围是0<r<10。
3、求下列函数当x=2时的函数值：
（1）52-=x y （2）23x y -= （3）1
2-=x y （4）x y -=2 教师提示：函数值就是y 的值，因此求函数值就是求代数式的值。
学生解完后教师板书答案：
（1）当x=2时，1522-=-⨯=y ; （2）当x=2时，12232-=⨯-=y ；
（3）当x=2时，;21
22=-=
y ； （4）当x=2时，022=-=y ； 三、随堂练习：
课本第28页练习第1题、第2题、第3题。
四、课时总结
1、求函数自变量取值范围的两个依据：
（1）要使函数的解析式有意义；
①函数的解析式整式时，自变量可取全体实数；
②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母不等于零；
③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于等于零。
（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。
2、求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值。
五、布置作业
1、课本第29页习题18.1第4、5、6题。
2、选用课时作业优化设计。
六、板书设计
黑板分为左、中、右三部分，中间与右边用于教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左边用于板书以下内容。
第二课时作业优化设计
1、下列函数中，自变量x 的取值范围是x>2的函数是（ ）
A 、2-=x y
B 、12-=x y
C 、21
-=x y D 、121
-=x y
2、下列函数中，自变量x 的取值范围选取错误的是（ ）
A 、y=2x 2中，x 取全体实数；
B 、2-=x y 中，x 取2≥x 的实数；
C 、11+=x y 中，x 取1-≠x 的实数；
D 、31+=x y 中，x 取3-≥x 的实数。
3、一次函数y=(m+2)x-m-3与y 轴的交点在x 轴上方，则y 随x 增大而减小，则m 的取值范围是 。
4、函数x x y 1
-=中自变量的取值范围是 。
5、求下列各式中自变量x 的取值范围。
（1）y=3x 2-5x （2）6
12--+=x x x y （3）x y 25-= （4）y=2x 2+(2x-1)0 6、已知,3
42-+=x x y 求： （1）当x 取1、-1时的函数值；（2）当y 等于31-
、-2时的x 的值。