华理概率论习题5答案

华理概率论习题5答案

华东理工大学

概率论与数理统计 作业簿（第五册）

学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________

第十三次作业

一． 填空题：

1． 已知二维随机变量),(ηξ的联合概率分布为

ξ

0 1

1

2

0.1 0.15

0.25 0.2

0.15 0.15

则

()_______,),max (_______,)(2sin ____,______,==⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ηξηξπηξE E E E ()_______),m ax (=ηξD 。

2. 设随机变量321,,ξξξ相互独立，1ξ~)6,0(U ，2ξ~)4,0(N ，3ξ~)3(E ，则：

)32(321ξξξ+-E = ____4___，)32(321ξξξ+-D = __20_。

二． 选择题：

设),N(10~ξ，)4,0(~N η，ηξς+=，下列说法正确的是（ B ）。 A. )5,0(~N ς B. 0=ςE C. 5=ςD D. 3=ςD

05.15.025.02.136.0

三． 计算题：

1. 设二维随机变量),(ηξ的联合概率密度函数为

⎪⎩⎪⎨⎧<

<<<+=其他0

2

0,20)(81

),(y x y x y x p

求)(,,ξηηξE E E 。 解：ηξE y y x x x y x y x xp E D

==+=

=⎰⎰⎰⎰6

7

d )(d 81d d ),(2020

34

d )(d 81d d ),()(2020=+==⎰⎰⎰⎰y y x xy x y x y x xyp E D

ξη

2. 二维随机变量),(ηξ服从以点(0, 1)，(1, 0)，(1, 1)为顶点的三角形区域上的均匀分布，试求)(ηξ+E 和)(ηξ+D 。 解:

),(ηξ～2, (,),

(,)0, (,),x y G p x y x y G ∈⎧=⎨

∉⎩ 1

1

14()2()3

y E dy x y dx ξη-+=+=

⎰⎰, 11

220111

()2()6

y E dy x y dx ξη-+=+=

⎰⎰,

2211161

()()[()]6918

D E E ξηξηξη+=+-+=-=

3. 有10个人同乘一辆长途汽车，沿途有20个车站，每到一个车站时，如果没有人下车，则不停车。设每位乘客在各站下车是等可能的，且各乘客是否下车是相互独立的，求停车次数的数学期望。

解：

设1, ,0, ,

i

i i ξ

⎧=⎨

⎩第站有人下车第站没人下车

则P

P i ==}0{ξ{10个人在第i 站都不下

车}

10

2011⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=，

从而10

20111}1{⎪

⎭

⎫ ⎝⎛

--==i P ξ

于是

10

20111}1{1}0{0⎪

⎭

⎫ ⎝⎛

--==⨯+=⨯=i i i P P E ξξξ,

长途汽车停车次数20

21

ξξξ

ξ+++=Λ，故

⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=1020

212019120ξξξξE E E E Λ

第十四次作业

一．填空题：

1．已知9,4==ηξD D ，则当12)(=-ηξD 时，____=ξη

ρ；当4.0=ξη

ρ时，_______)(=+ηξD 。

2. 设二维随机变量)5.0;4,1;4,1(~),(N ηξ，ηξζ-=，则=),cov(ζξ .

二. 选择题：

1. 已知随机变量X 与Y 独立同分布，记Y X U +=，Y X V -=，则U 与V 必

（ D ）

A. 独立

B. 不独立

C. 相关

D.不相关 2. 设随机变量ξ与η的方差存在且不等于0，则ηξηξD D D +=+)(是ξ与η

（ C

）

121

8

.172

A. 独立的充要条件

B. 独立的充分条件，但不是必要条件

C. 不相关的充要条件

D. 不相关的充分条件，但不是必要条件

三. 计算题：

1. 已知二维随机变量),(ηξ的联合概率分布为

ξ

0 1 2 3

1

3

0 83 8

3

0 81 0 0 8

1

(1)求ξη

ρ；(2) ξ与η是否独立？说明理由。

解: (1)边际分布

ξ 1

3 ()

P i ξ=

3

4

14

η

1 2

3

()

P j η=

18

38

38

18

于是,

313

13442

E ξ=⨯+⨯=

,

13313

012388882

E η=⨯+⨯+⨯+⨯=

,