第3章 非惯性参考系 作业

O
船对水： v uj
x
v
vt
v
2c d
yi
uj
xi
yj
x dx dx dy u dx 2c y dt dy dt dy d
dx 2c ydy ud
x c y2 ( y d 2) (1) ud
y d : 2
x cd 4u
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
设： vt k2 y b2 (d 2 y d)
F Fint ma 其中：
F N mg N sin i N cosj mgj
yN
Fint mω (ω r) 2mω v
mj [j (xi yj)] 2mj (xi yj) m2xi 2mxk
mg x
a xi yj
代入得:
i: j:
N sin m2x mx N cos mg my
圈为参考系(转动的非惯性系):
a (r r2 )er (r 2r)e
et m
en
r
O rt O r0
r02en r0et FN FN en
Fint m[at ω (ω r) 2ω v]
其中: at 2r0 (cosen sin et ) r r0en, v r0et
ω r r0et ω (ω r) 2r0en ω v r0en
ui k (xi bj) (u b)i xj
M点的加速度：
a a ω r ω (ω r) 2ω v
0 ω r k (xi bj) bi xj ω(ω r) k (bi xj) 2(xi bj)
ω v k ui uj
a 2xi (2u 2b) j
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
cos
2
cos
2t
g cos 4 2
sin
2t
cos 2
(v0
gt)
z
v0t
1 2
gt
2
t 2v0 g
h v02 2g
cos 2t 1 1 (2t)2
2
sin 2t 2t 1 (2t)3
6
代入得：
y 8h cos 2h
3
g
即：落地点偏西 8h cos 2h
3
g
y 2Asin 2t 2B cos 2t Cg
由初始条件得： C A , B Ag
y
A cos
2t
v0
Ag
2v0
sin
2v0 2t
A
v0
(v0
gt)
y (2)2 Acos 2t Ag 2 sin 2t
v0
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
代入(4)得：
A v0 cos 2
y
v0
其中： aO xi ap2 sin pt i p2xi
切向分量方程：
mp2x cos mg sin m dv ml (1)
即：
g sin
p
2
x
dt
cos
l
l
微小振动：
sin , cos 1
N
mp2 x mg
g
p2x
பைடு நூலகம்
p2a sin
pt
(2)
l
ll
设解： Acos kt B sin kt C sin pt k g l
2
π4 2 0
g( 2 cos ) 1 2r(sin 2 1) 1 r2
2
2
22
滑动反向时： 0
( 2 cos )[g 1 2r( 2 cos )] 0
2
22
cos 1
2 2
对应于初始位置
2 2g cos 2 2 2r
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
3.12 解: 如图所示，圆圈绕固定 点O以恒定角速度ω转动，选此圆
tan 2x x
g y
而
tan dy
4ay x2
x
dx
2a
y xx 2a
y x2 xx 2a
2x
x
x 2a
g
x22axx
1
x2 4a2
x
g 2a
x
2x
x 4a2
x2
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
3.15 解: 由(3.26)式：
x 2ysin (1)
t=0时，x y z 0
u cd (4u)
d2
d
x 2c y c y2 cd (d 2 y d ) (2) u du 2u
y d : x cd (3) 2u
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
综合(1), (2) ，得小船的航行轨迹：
c y2
( y d 2)
x
ud 2c y c y2 cd
(d 2 y d)
则： kAsin kt kBcos kt Cp cos pt
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
由：t 0时, 0
得： A 0,C k B
B(sin kt k sin pt) (3)
p
p
B(k 2 sin kt kpsin pt)
代入(2)得： B ap3
(4)
kl( p2 k 2 )
u du 2u
y cd cd
d
4u 2u
d2
O
x
抵达对岸的地点： y d, x cd (3) 2u
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
3.3 解: 地面系：O系； 旋转圆盘：O´系
图中O´系用不加 ´ 的Oxyz表示， 相应的单位矢量用i, j, k表示：
M点的速度：
v v ve v ω r
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
3.10 解: 以圆环为参考系(非惯性系):
F mg N mω (ω r) 2mω v ma
其中： r ren, v ret ω cosen sin et
en eb
et
r
ω r r sin eb
ω (ω r) 2r sin ( coset sin en ) ω v rcoseb
vx 4.8m s , vy 6.4m s , u 8.0m s
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
3.2 解: 设船速： v 水速：vt vti
y
设：vt k1y b1 ( y d 2)
由： ( y,vt ) (0,0); (d 2,c)
d
得： vt 2cy d ( y d 2)
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
3.1 解: 如图所示
设船速： vt ui
雨速： v vxi vy j
则：
vy 4 (1)
vx 3
vx2
v
2 y
82
(2)
v v x
4
2 3u
y
雨对船的速度： v v - vt (vx-u)i vy j vy 4 (3)
vx u 2
由(1)~(3)解得：
y 2(xsin zcos ) (2)
x y 0, z v0 z g 2ycos (3)
(1) x 2y sin
(3) z gt 2y cos v0
代入(2)得： y 42 y 2 cos (v0 gt) 0 (4)
设解： y Acos 2t Bsin 2t C(v0 gt)
由 F Fint ma 得:
et : en :
mmr20r0mFN2rm0 sin2r0 cos m2r0 2mr0
即:
2 sin 0 m2r0 FN m2r0(1 cos ) 2mr0
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
3.14 解:在旋转的非惯性系中研究小环m的运动，如图所示:
k (k rer ) 2k uer
k (re ) 2ue 2rer 2ue F mg ma m2rer 2mue
F m2rer 2mue mgk
(b) 圆盘非惯性系
F ma 0 F mg Fint F mg m(a-a)
F ma mg m2rer 2mue mgk
mg cosen mg sinet Nnen Nbeb m2r sin ( coset
sinen
切向方程：
) 2mr
mg sin
coseb m(r
m2r sin cos
d
dt
metrd(rr )12
en )
mr
d2
dt 2 d
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
积分：
(g cos 2r 1 sin 2 ) r 2
代入(3)得：
ap3 kl( p2 k 2 ) (sin
kt
k sin p
pt)
ap 2 l(k 2 p2 ) (sin
pt
p sin k
kt)
k g l
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
3.9 解: (a) 地面惯性系
a a at ω r ω(ω r) 2ωv
0
r rer, v uer, ω k
或：
v (u b)i xj
a dv (u b) di dx j x dj
dt
dt dt
dt
(u b)ω i uj xω j
(u b)j uj 2xi
2xi (2u 2b) j
理论力学
第三章 非惯性参考系 作业
3.7 解: 在O´系(平动的非惯性系)中:
F mg N maO ma
由： ( y, vt ) (d 2, c); (d,0)
得： vt 2c(1 y d) (d 2 y d)
v
vt
v
2c(1
y d
)i
uj
xi
yj
x dx dx dy u dx 2c(1 y )
dt dy dt dy
d
dx 2c (1 y )dy ud
x
dx
2c
y (1 y )dy