拉格朗日中值定理的证明与应用

拉格朗日中值定理的证明与应用屈俊1，张锦花2摘要:本文首先用辅助函数法,区间套法,参数变异法,巴拿赫不动点定理法,行列式法,旋转坐标法，面积法证明了拉格朗日中值定理。

然后用具体的例子,说明了如何应用拉格朗日中值定理求极限,证明不等式,恒等式,求函数的解析性,证明级数的收敛性,解决估值问题。

关键字:拉格朗日中值定理 证明 应用三大微分中值定理（其中包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值）是《数学分析》中的一个重要章节。

微分中值定理建立了函数与导数之间的联系，他们使微积分建立在严密而坚实的基础上，构成了微积分优美的基本理论，而且是利用导数研究函数的性质与状态的重要理论基础。

拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。

由于罗尔中值定理条件的限制，他的用途没有拉格朗日中值定理广泛，在证明拉格朗日中值定理时方法多样，下面介绍证明拉格朗日中值定理时常常采用的方法以及用具体的例子说明拉格朗日中值定理的应用。

(一)拉格朗日中值定理的证明拉格朗日(Lagrange)中值定理:若函数(x)f 满足如下条件： (1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得'()()()f b f a f b aξ-=-拉格朗日中值定理的几何意义：函数()y f x = 在区间[,]a b 上的图形是连续光滑曲线弧AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB.从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()f x 在闭区间[]a,b ,两端点的函数值相等，即()()f a f b = ，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()f x 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.证明：1.1：辅助函数法目前教材的常见证明方法如下： 作辅助函数()()()(x)()(),[,],f b f a x f f a b a x a b b aϕ-=---∈-由于函数()f x 在闭区间[]a,b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，并且有()()0,a b ϕϕ==于是由Rolle 定理，至少存在一点(,)a b ξ∈ ，使得'()0.ϕξ= 对()x ϕ 的表达式求导并令'()0.ϕξ=整理后便得到'()()()f b f a f b aξ-=-1.2行列式令()1()()1.()1f a a F x f b b f x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭根据拉格朗日中值定理的条件知，函数()F x 在闭区间[]a,b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，并且有''()1()()1(x)10f a a F x f b b f ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由于()F(a)0,F b == 所以根据罗尔中值定理知，在(,)a b 内至少有一点ξ ，使得'()0F ξ= ，即'()1()10()10f a a f b b f ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭根据行列式的性质不难得到'()1()f(a)00,()10f a a f b b a f ξ⎛⎫ ⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭在按照第三列展开该行列式得'[()()]()()0,f b f a f b a ξ---=即'()()()f b f a f b aξ-=-证毕1.3旋转坐标法分析：做辅助函数'(x)y sin ()cos ,F x f x θθ==-+ 因为(b)sin (b)cos ,()sin ()cos ,F b f F a a f a θθθθ=-+=-+由sin ()().cos f b f a tg b aθθθ-==- 可得()().F a F b =经此坐标轴的旋转变换，使旋转角θ 满足()().f b f a tg b aθ-=- 由此，构造辅助函数为()sin ()cos F x x f x θθ=-+即可把问题转化为符合罗尔定理的条件。

证明：作坐标轴的旋转变换，使旋转角θ 满足()().f b f a tg b aθ-=-有坐标轴的旋转公式：''cos sin sin cos x x y y x y θθθθ⎛⎫=+ ⎪=-+⎝⎭得'sin ()cos y x f x θθ=-+作辅助函数'()sin ()cos ,F x y x f x θθ==-+ 则(b)sin (b)cos ,F b f θθ=-+ ()sin ()cos ,F a a f a θθ=-+因为sin ()().cos f b f a tg b aθθθ-==-经检验可得()().F a F b =且()F x 满足罗尔中值定理的另外两个条件，故至少存在一点(,),a b ξ∈ 使得''()sin ()cos 0,F f ξθξθ=-+= 即得'sin ()()()cos f b f a f b aθξθ-==- 1.4区间套法引理1 若()f x 满足：（1）在[,]a b 上连续，则存在属于[,]a b 的,αβ 使得 (1)()()()();(2)2b a f b f a f f b a βαβαβα----==-- 证明：设 1()()()[()()]22b a F x f x f x f b f a -=+--- 有条件可知F()x 在[,]2a ba + 上连续，且11()()[()()]()[()()]2222a b a b F a f a f b f a f f b f a ++=+--=-+11()()()[()()][()()]()()2222222a b a b b a a b a b F f f f b f a f b f a f F a ++-++=+---=+-=-①若 ()0,F a = 则 1()[()()]22a b f f b f a +=+令,,2a b a αβ+==显然有22b aβα--=且11()()()()[()()]()[()()]222a b f f f f a f b f a f a f b f a βα+-=-=+-=-∴()()()(a)f f f b f b aβαβα--=--此时， ,2a ba + 即为引理1要求的,αβ ； 同理可证，,2a bb +也为引理1要求的,αβ 。

②()0,F a ≠ 则由闭区间上连续函数的性质可知，存在(,),2a ba a +∈ 使得()0F a = 。

即1()()[(b)()]22b a f a f a f f a -+-=- 亦即1()()[(b)()]0,22b a f a f a f f a -+---=1[()(a)]()()()(a)21()2f b f f f f b f b a b a βαβα---==---∴ 综合①②引理1得证。

引理2 若(x)f 在(,)a b 内一点0x 可导，{}{},n n b α 为任意两个数列，且0n n x αβ≤≤ ，0lim lim ,n n n n x αβ→→∞∞==则 '000()()lim()n n n f f x f x x ββ→∞-=-证明：∵()f x 在点0x 可导且0lim n n x β∞→=∴00''0000()()lim()()lim()()n n n n n n f f x x f f x f x f x x ββββ→∞→∞---==-∴对于10,,N ε∀>∃ 当1n N > 时，恒有'000()()()2n n f f x f x x βεβ--<-同理，对于20,,N ε∀>∃ 当2n N > 时，恒有'000()()()2n n f f x f x x αεα--<-所以对于120,max{,},N N N ε∀>∃= 当n N > 时，有''0000000000''000000000000()()()(x )()(x )()()()(x )()(x )()[()]()(x )[n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n f f x f f x f f f x f x x x x f f x x f f x f x f x x x x f f βαββααβαβαββααβββαααβαββαβααβαβββαβ------=-------------=-----------≤--''000000''000000()(x )()][()]()(x )()(x )()()22n n n n n n n n n x f f f x f x x x f f f f f x f x x x ααβααβαβαεεε---+-----≤-+---<+=0000(0,1)n n n n x x βαβαβα--≤≤--所以'000()()lim()n n n f f x f x x ββ→∞-=-拉格朗日中值定理证明：()f x 在[,]a b 上连续，有引理1可知，存在11[,][,],a b αβ⊂使得111111,2()()()()b af f f b f a b aβαβαβα--=--=--同理，存在2211[,][,],αβαβ⊂112222112211,24()()()()b af f f f βαβαβαβαβαβα---==--=--以此类推，可得[,]a b 上的一系列闭区间{}00[,](0,1,2,;),,3nnb n a αββα⋯===满足11(1,2,3,)2()[,][,](1,2,3,)(?)(1,2,3,()()()())n n n n n n nn n n n f f f b f a b ab an n n βαββααααββ++--==⋯⊂=⋯=--=-⋯-（ⅰ）ⅱⅲ有区间套定理可知，在(,)a b 内存在一点ξ ，有lim lim n n n n αβξ∞∞→→== 应用引理2，有'00()()()()()()()limlim n n n n f f f b f a f b f a f b a b aβαξβα→∞∞→---===--- 即'()()()()f b f a f b a ξ-=-证毕1.5参数变易法设()()f b f a k b a-=-则有()()()f a f b k b a -=-所以()()f b kb f a ka -=-令()(x)kx x f ϕ=-由于()f x 闭区间[,]a b 上连续，开区间(,)a b 内可导，所以()x ϕ 满足罗尔定理的三个条件闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()a b ϕϕ= ，因此在(,)a b 内至少有一点ξ ，使得''()()0,f k ϕξξ=-=即在(,)a b 内至少有一点ξ，使得'()()()().f b f a f b a ξ-=-证毕1.6巴拿赫不动点定理法因为任意闭区间在通常的欧几里得度量下是完备的，针对[,]a b 上凸（凹）函数()f x 可以先证明拉格朗日中值定理成立，对任意小的0ε> 成立，在闭区间[,]a b εε+- 上构造自映射'()()()()f b f a A x x f x b a-=-+-假设12,[,],x x a b εε∈+- 且12x x < ，则有''121212(x )(()())Ax Ax x f x f x -=-+-假设()f x 在闭区间[,]a b 上是凸函数，由凸函数的导数性质，可知'(x)f 在区间[,]a b εε+-内单调递减，所以有''12()()0f x f x ->从而存在一个数(0,1)λ∈ ，使得''12120()()()x x f x f x λ<-<-因此1212(1).Ax Ax x x λ-=≤--所以()A x 是[,]a b εε+-上的压缩映射。