第二章 2.1 2.1.1 离散型随机变量(优秀经典课时作业练习及答案详解)

[A组学业达标]
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②解答高考数学卷Ⅰ的时间是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是()
A．1B．2
C．3 D．4
解析：由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的．
答案：D
2．将一个骰子掷两次，不能作为随机变量的是()
A．两次掷出的点数之和
B．两次掷出的最大点数
C．第一次与第二次掷出的点数之差
D．两次掷出的点数
解析：将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．同理，两次掷出的最大点数、第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量，而两次掷出的点数不是一个变量．
答案：D
3．下列叙述中，是离散型随机变量的为()
A．将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
解析：选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量．选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量．选项D，事件发生的可能性不是随机变量．故选C.
答案：C
4．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值是( )
A ．1,2，…，5
B ．1,2，…，10
C ．2,3，…，10
D ．1,2，…，6
解析：第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.
答案：C
5．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为X ，则X ＝k 表示的试验结果为( )
A ．第k －1次检测到正品，而第k 次检测到次品
B ．第k 次检测到正品，而第k ＋1次检测到次品
C ．前k －1次检测到正品，而第k 次检测到次品
D ．前k 次检测到正品，而第k ＋1次检测到次品
解析：X 就是检测到次品前正品的个数，X ＝k 表明前k 次检测到的都是正品，第k ＋1次检测到的是次品．
答案：D
6．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是________(填序号)．
①2枚都是4点；
②1枚是1点，另1枚是3点；
③2枚都是2点；
④1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点．
解析：抛掷2枚骰子，其中1枚是x 点，另1枚是y 点，其中x ，y ＝1,2，…，6. 而ξ＝x ＋y ，
ξ＝4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝2.
答案：④
7．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．
①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X ；
②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X ；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X ；
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
解析：①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量，故填②.
答案：②
8．一批产品共有12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．
解析：可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品．X的结果有0,1,2,3.
答案：0,1,2,3
9．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产了1件次品、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为X，写出X的可能取值．解析：X的可能取值为0,1,2.
X＝0表示在两天检查中均发现了次品．
X＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品．
X＝2表示在两天检查中没有发现次品．
10．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：
(1)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；
(2)在西安至成都的高铁线上，每隔500 m有一电线铁塔，将电线铁塔进行编号，则某一电线铁塔的编号X；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.
解析：(1)不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出．
(2)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始，可以一一列出．
(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
[B组能力提升]
11．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为()
A．X＝4 B．X＝5
C．X＝6 D．X≤4
解析：第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.
答案：C
12．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为Y，则Y所有可能值的个数是()
A．25 B．10
C．7 D．6
解析：∵Y表示取出的2个球的号码之和，又1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9，故Y的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个．答案：C
13．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大值可能为________．
解析：由题意可知X取最大值时只剩下一把钥匙，但锁此时未打开，故试验次数为4.
答案：4
14．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时总共拨的次数为X，则随机变量X的所有可能取值的种数为________．
解析：由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A44＝24种．
答案：24
15．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，写出X的所有可能取值，并说明X 的值表示的随机试验的结果．
解析：X的所有可能取值是－1,0,1,2,3.
(1)X＝－1表示：甲抢到1题但答错了，而乙抢到2题都答错了．
(2)X＝0表示：甲没抢到题，乙抢到的题答错至少2个题或甲抢到2题，但回答1对1错，而乙答错1题．
(3)X＝1表示：甲抢1题且答对，乙抢到2题且1对1错或全错或甲抢到3题，且2对1错．
(4)X＝2表示：甲抢到2题均答对．
(5)X＝3表示：甲抢到3题均答对．
16．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值；
(2)若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量类型．
解析：(1)
(2)由题意可得Y＝5X＋6，
而X可能的取值范围为{0,1,2,3}，
所以Y对应的各值是6,11,16,21.
故Y的可能取值为6,11,16,21，显然Y为离散型随机变量．。