湖北省武汉市2020年全国高等学校统一招生考试二月调考仿真模拟理科数学试题(含答案详解)

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2020年2月仿真考试理科数学答案解析
一、单选题
1.若集合{}1,2,3,4U =,集合{}1,2A =,{}2,3B =,则U A B =U ð( ) A .{}2
B .{}1,3
C .{}1,2,4
D .{}1,2,3
【答案】C 【解析】【分析】根据补集和并集的定义直接求出即可.
【详解】{}1,4U B =ð,{
}1,2,4U A B =U ð.故选:C. 2.已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
【答案】A 【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈,由i i z z ⋅=+得:()(1)a bi i a b i +=++,由复数相等可得,a b 的值,进而求出z ,即可得解.
【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,由i i z z ⋅=+得:()(1)a bi i a b i +=++,即(1)ai b a b i -=++,
由复数相等可得:1b a a b -=⎧⎨=+⎩,解之得:12
1
2a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
,则1122z i =-,所以1212z i =+,在复平面对应的点的
坐标为11
(,)22
,在第一象限.故选:A.
3.已知x ,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
,则点(),P x y 所在区域的面积是( )
A .1
B .2
C .
54
D .
45
【答案】C 【详解】不等式表示的平面区域如图:
直线220x y +-=的斜率为2-,直线21x y --的斜率为1
2
,所以两直线垂直,故BCD ∆为直角三角形,易得(1,0)B ,1(0,)2
D -,(0,2)C ,5
BD =
,5BC =所以阴影部分面积11555224
BCD S BD BC ∆=
⋅=⨯⨯=.故选:C. 4.已知a ,b R ∈,则“0a b >>”是“11a b +>+”的什么条件( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】A 【详解】充分性:0a b >>⇒11a b +>+,充分性成立;
必要性:当2,1a b =-=-时,11a b +>+成立,但0a b <<,故必要性不成立; 所以“0a b >>”是“11a b +>+”的充分不必要条件.故选:A.
5.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研,每个县区至少派一位专家,则甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为( ) A .
16
B .
14
C .
13
D .
12
【答案】A 【详解】派四位专家对三个县区进行调研,每个县区至少派一位专家
基本事件总数:234336n C A ==,甲,乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数:212
2326m C C A ==
∴甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为:61366
m p n =
==本题正确选项:A 6.某四面体的三视图如图所示,正视图,俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,侧视图是边长为2的正方形,则此四面体的四个面中面积最大的为( )
A .2
B .3
C .4
D .26【答案】B 【解析】解:如图所示,该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC - ,
其中面积最大的面为: B 23P C S =V .本题选择B 选项.
7.等差数列{}n a 中,1a 与4037a 是()4ln m
f x x x x
=--的两个极值点,则20192log a =( ) A .1
B .2
C .0
D .1
2
【答案】B 【详解】()222
441m x x m f x x x x
-+'=-+=,因为1a 与4037a 是()4ln m f x x x x =--的两个极值点,令2
()4g x x x m =-+,所以1a 与4037a 是方程240x x m -+=的两个根,
即140374a a +=,也即201924a =,所以20192a =,则201922
log
2log 22a ==.故选:B.
8.()()()()5
2
5
012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L 则3a =( ) A .40
B .40
C .80
D .80-
【答案】C 【详解】Q ()()()()5
2
5
012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L ,
令1=x t -,则=1x t +∴()5
25012521t a a t t a t a +=++++L ,()5
21t +展开式的通项为:
515(2)1r r r r T C t -+=,令53r -=,2r =,所以23335(2)80T C t x ==,所以380a =.故选:C.
9.已知i 为虚数单位,执行如图所示的程序框图,则输出的A 值为( )
A .9
B .9i
C .8-
D .8
【答案】D 【详解】模拟执行程序框图,得: 当1n =时,A i =; 当2n =时,2A =-;
⋅⋅⋅
当8n =时,8A =,9n =,循环结束,输出结果. 故选:D.
10.已知向量a r ,b r
满足4a =r ,b r 在a r 上投影为2-,则3a b -r r 的最小值为( )
A .12
B .10
C 10
D .2
【答案】B 【详解】b r 在a r 上投影为2-,即cos ,2b a b <>=-r r r 0b >r Q cos ,0a b ∴<><r r
又[)cos ,1,0a b <>∈-r
r min
2b ∴=r 2222223696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+r r r r r
r r r r r r r r
min
3946410a b
∴-=⨯+=r r
,本题正确选项:B
11.已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点,12F F ,
为双曲线C 的左、右焦点,若112PF F F =,且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切,则C 的渐近线方程为( )
A .4
3
y x =±
B .34
y x =?
C .35
y x =±
D .53
y x =±
【答案】A 【详解】依据题意作出图象,如下:
则1122PF F F c ==,OM a =,又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切,所以2OM PF ⊥,所以
222MF c a b =-=,由双曲线定义可得:212PF PF a -=,所以222PF c a =+,
所以()()()
()
222
22222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+,整理得:2b a c =+,即:2b a c -=
将2c b a =-代入222c a b =+,整理得:
4
3b a =,所以C 的渐近线方程为43
b y x x a =±=±,故选A 12.已知函数()f x x =,()2
g x ax x =-,其中0a >,若[]11,2x ∀∈,[]21,2x ∃∈,使得
()()()()1212f x f x g x g x =成立,则a =( )
A .1
B .
1
2
C .
23
D .
32
【答案】D 【详解】由题可得(
)()2
2
12112
2x x ax x ax
x =--,则()1212120ax x ax x x x --=,故1212ax x x x =+,
则12121211x x a x x x x +=
=+,故12111,12a M x x ⎡⎤-=∈=⎢⎥⎣⎦,1111,2a a a N x ⎡⎤
-∈--=⎢⎥⎣⎦
, 因为1[1,2]x ∀∈,2[1,2]x ∃∈,使得()()()()1212f x f x g x g x =成立,即N M ⊆,
故1
121
12a a ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩
,解得32a =,故选:D.
二、填空题
13.若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为y=250+4x,当施化肥量为50 kg 时,预计小麦产量为_____kg.
【答案】450【详解】根据回归方程为y=250+4x ,当施化肥量为50kg ,
即x =50kg 时,y =250+4x =250+200=450kg ,故答案为:450
14.函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直,则a =_____.
【答案】1.【详解】Q 函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-垂直,∴函数x y axe =的图象在
0x =的切线斜率1k =()x x
f x ae axe '=+Q ()01f a '∴==,本题正确结果:1
15.已知正四棱锥的底边边长为2,侧棱长为
5,现要在该四棱锥中放入一个可以任意旋转的正方体,则该正方体的体积最大值是________. 【答案】827
【详解】
设此正方体外接球半径为R ,体积最大的球应与四棱锥各个面都相切,
设球心为S ,连SA SB SC SD SE 、、、、,则把此四棱锥分为五个棱锥,它们的高均为R ,易知四棱锥的32,高为2,
∴A BCDE S BCDE S ABC S ABE S ADE S ACD V V V V V V ------=++++, 即1111
223224223332
R R ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯, ∴
3R =
, 正方体的体对角线是其外接球直径,故其体对角线为
323
R =
,棱长为23,
∴正方体体积的最大值为V=827.故答案为:827
16.设()P n 表示正整数n 的个位数字,记()()()3
2
n P n
P n ψ=-,M 是(){}n ψ的前4038项的和,函数
()1
ln 1f x x x =++,若函数()g x 满足()22
82Mx Mx f g x Mx Mx ⎡⎤---=⎢⎥+⎣
⎦,则数列(){}g n 的前2020项的和为________. 【答案】
20202021
-
【详解】
n 的个位数为1时有:()()()3
2
1110P n
P n ψ=-=-=,
n 的个位数为2时有:()()()3
2
2844P n P n ψ=-=-=,
n 的个位数为3时有:()()()3
2
3792P n
P n ψ=-=-=-, n 的个位数为4时有:()()()3
2
4462P n P n ψ=-=-=-,
n 的个位数为5时有:()()()3
2
5550P n
P n ψ=-=-=,
每5个一循环,这10个数的和为:0,
40385807÷=余3,余下三个数为:()40360ψ=,()40376ψ=-,()
40382ψ=-,
∴数列(){}n ψ的前4038项和等于:
()()()4036403740388
ψψψ++=-,
即有8M =-,又(1)2f =,
()2282(1)Mx Mx f g x f Mx Mx ⎡⎤---==⎢⎥+⎣⎦
,可得()22
81Mx Mx
g x Mx Mx ---=+, 则
()2111()
(1)11
g n n n n n n n -=-=-=-+++,即有,
则数列(){}
g n 的前2020项和为,
2020
111112020(1)()()2232020202012021S ⎡⎤=--+-+⋅⋅⋅+-=-
⎢⎥+⎣⎦
, 则数列的前2020项和为
20202021-.故答案为:20202021
-.
三、解答题
17.已知函数(
)()2
22cos 1x R f x x x =-+∈.
(1)求()f x 的单调递增区间;
(2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时,求()f x 的值域.
【详解】(1) 函数()2
3sin 22cos 1322226f x x sin x cos x in x x s π⎛

⎪=⎝
=-+-=⎭
-
, 令222()2
6
2
π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈k x k k Z ,求得()6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈,
故函数f (x )的增区间为,()6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣

; (2)若,64x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
,则2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,故当262x ππ-=-时,函数f (x )取得最小值为−2;当
26
3
x π
π
-
=
时,函数f (x )取得最大值为3,所以函数的值域为2,3⎡⎤-⎣⎦.
18.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,ABC ∆是等腰直角三角形,1AC BC ==,12AA =,点D 是侧棱1AA 的上一点.
(1)证明:当点D 是1AA 的中点时,1DC ⊥平面BCD ; (2)若二面角1D BC C --的余弦值为
329
29
,求AD 的长. 【详解】(1)证明:由题意:BC AC ⊥且1BC CC ⊥,1AC CC C =I
BC ∴⊥平面11ACC A ,则1BC DC ⊥D Q 是1AA 的中点 AC AD ∴=,又90CAD ∠=︒
45ADC ∴∠=︒同理1145A DC ∠=︒190C DC ∴∠=︒,则1DC DC ⊥1DC ∴⊥平面BCD
(2)以C 为坐标原点,分别以CA ,CB ,1CC 为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系
设AD h =,则()1,0,D h ,()0,1,0B ,()10,0,2C ,由条件易知CA ⊥平面1BC C ,故取()1,0,0m =v

平面1BC C 的法向量,设平面1DBC 的法向量为(),,n x y z =v ,则n BD ⊥u u u v v 且1n BC ⊥u u u u v v ()1,1,BD h u u u Q v =-,()10,1,2BC =-u u u u v 020x y hz y z -+=⎧∴⎨-+=⎩,取1z =,得()2,2,1n h =-v
由329cos ,m n m n m n ⋅==⋅v v
v v v v 12
h =,即1
2AD =
19.已知点()0,2P ,点A ,B 分别为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右顶点,直线BA 交C 于点Q ,ABP
△是等腰直角三角形,且35
PQ PB =u u u v u u u v
.
(1)求C 的方程;
(2)设过点P 的动直线l 与C 相交于M ,N 两点,O 为坐标原点.当MON ∠为直角时,求直线l 的斜率.
【详解】(1)由题意ABP ∆是等腰直角三角形,则()2,2,0a B =,设点00()Q x y ,,由35
PQ PB =u u u v u u u v

则065x =,045y =,代入椭圆方程解得2
1b =,∴椭圆方程为2214
x y +=;
(2)由题意可知,直线l 的斜率存在,令l 的方程为2y kx =+,则()11,M x y ,()22,N x y ,
则22
2
1
4
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理可得()21416120k x kx +++=,∴()()
22
1648140k k ∆=-⨯+>,解得234k >, ∴1221614k x x k +=-
+,122
12
14x x k
=+,当MON ∠为直角时,1OM ON k k ⋅=-,∴12120x x y y +=, 则()()(
)()2
1212121212
1222124x x y y x x kx kx k
x x
k x x +=+++=++++
(
)2
2
2112162401414k k k k k =
⎛⎫ ⋅⎪
⎝⎭
++-+=++,解得2
4k =,即2k =±,故存在直线l 的斜率为2±,使得MON ∠为直角.
20.某高校为增加应届毕业生就业机会,每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估,
已知某年度参与评估的毕业生共有2000名.其评估成绩Z 近似的服从正态分布2
N μσ(,).现随机抽取
了100名毕业生的评估成绩作为样本,并把样本数据进行了分组,绘制了如下频率分布直方图:
(1)求样本平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A 、B 、C 三家公司的面试.
用样本平均数x 作为的估计值ˆμ
,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ.请利用估计值判断这2000名毕业生中,能够参加三家公司面试的人数;
16112.7≈若随机变量2
Z N μσ~(,),则0.6826P
Z μσμσ-+=(<<),220.9544P Z μσμσ-+=(<<).
【详解】(1)由所得数据绘制的频率直方图,得:
样本平均数x =45×
0.05+55×0.18+65×0.28+75×0.26+85×0.17+95×0.06=70; 样本方差s 2=(45-70)2×0.05+(55-70)2×0.18+(65-70)2×0.28+(75-70)2×0.26+(85-70)
2
×0.17+(95-70)2×
0.06=161; (2)由(1)可知,ˆ70μ=,2ˆ161σ=,故评估成绩Z 服从正态分布N (70,161), 所以()()10.6826
82.70.15872
ˆˆP Z P Z μ
σ->=>+==. 在这2000名毕业生中,能参加三家公司面试的估计有2000×0.1587≈317人. 21.已知函数2()(1)2x f x x e kx =--+ (1)若0k =,求()f x 的极值;
(2)若[)0,x ∀∈+∞,都有()1f x ≥成立,求k 的取值范围.
【详解】(1)0k =时,()12()x f x x e =-+,()x f x xe '=,令()0f x xex '==,解得0x =, ∴0x =时,函数()f x 取得极小值,(0)1f =;无极大值;
(2)()()22x x f x xe kx x e k '=-=-,
①当0k ≤时,20x e k ->,
所以,当0x <时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>,
则()f x 在区间(,0)-∞上是减函数,在区间(0,)+∞上是增函数,
所以()f x 在区间[)0,+∞上的最小值为(0)f ,且(0)1f =,符合题意;
②当0k >时,令()0f x '=,得0x =或ln 2x k =, 所以,当102
k <≤时,ln 20k ≤,在区间(0,)+∞上()0f x '>,()f x 为增函数, 所以()f x 在区间[)0,+∞上的的最小值为(0)f ,且(0)1f =,符合题意; 当12
k >时,ln 20k >, 当(0,ln 2)x k ∈时,()0f x '<,()f x 在区间(0,ln 2)k 上是减函数,
所以(ln 2)(0)1f k f <=,不满足对任意的[)0,x ∈+∞,()1f x ≥恒成立,
综上,k 的取值范围是1
(,]2
-∞.
22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩
(α为参数),在以坐标原点O 为极
点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点M 的极坐标为34π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
,直线l 的极坐标方程为
sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
. (1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程;
(2)若N 是曲线C 上的动点,P 为线段MN 的中点,求点P 到直线l 的距离的最大值.
【详解】(1)因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛
⎫-+= ⎪⎝⎭
,即ρsinθ-ρcosθ+4=0.由x =ρcosθ,
y =ρsinθ,可得直线l 的直角坐标方程为x -y -4=0.将曲线C 的参数方程x y sin αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数a ,
得曲线C 的普通方程为2
213
x y +=. (2)设N
α,sinα),α∈[0,2π).点M
的极坐标(,3π4
),化为直角坐标为(-2,2).
则11,sin 12P αα⎫-+⎪⎪⎝⎭

所以点P 到直线l
的距离2d ==≤, 所以当5π6α=时,点M 到直线l
的距离的最大值为2
. 23.已知函数()2f x ax =-,不等式()4f x ≤的解集为{}
26x x -≤≤.
(1)求实数a 的值;
(2)设()()()3g x f x f x =++,若存在x ∈R ,使()2g x tx -≤成立,求实数t 的取值范围.
【详解】(1)由24ax -≤得424ax -≤-≤,即26ax -≤≤, 当0a >时,26x a a -≤≤,所以2266a a
⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得1a =; 当0a <时, 62x a a ≤≤-,所以2662a a
⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,无解,所以实数a 的值为1; (2)由已知()()()312g x f x f x x x =++=++-=21,13,1221,2x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩

不等式()2g x tx -≤,即()2g x tx ≤+,
由题意知()y g x =的图象有一部分在直线2y tx =+的下方,作出对应图象:
由图可知,当0t <时,EM t k ≤,当0t >时,FM t k ≥,又因为1EM k =;12FM k =,所以1t ≤-,或12
t ≥.。

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