角平分线的性质与判定
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⊥ O A , P E ⊥ O B , 垂 足 分 别， 是 D 、 E , P D = 4 c m , 则 PE=__________cm.
A E
D
A
C
P
D B
E
B
C
O
练习
A
8 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足
E
分别是E，F， DE =DF， ∠EDB=
60°，则 ∠EBF= 60 度，
C D
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为： 推理的理由有三个，
必须写完全，不能
A
∵ ∠1= ∠2
少了任何一个。
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
1
(角的平分线上的点到角的两边 O
2
的距离相等)
P
E
B
判断下列各题是否正确地使用了角的平分线的性质?
(1)如图① ，∵AC平分∠BAD
B
∴DC=BC
错误
A
C
(2)如图② ，∵BC⊥AB,DC⊥AD
∴DB=DC
错误
(3)如图②，∵AD平分∠BAC，
且DB⊥AB，DC⊥AC
∴BD=CD
正确 A
D
图①
B
D
C
图②
如图，
Leabharlann Baidu
∵
OC是∠AOB的平分线，
又 P__D_⊥__O_A__，_P__E_⊥__O_B_
角∴的PD平=分P线E上的( 点
到角的两边的距离相等
5、如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ 与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线 的距离相等．
更上一层楼！
H
Ｄ
Ｃ
F ＰＥ Ａ
ＢG
知识应用
6、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
7、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD
BE= BF 。
B
FC
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，
∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
10.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
C
你会吗？
D
A
EB
§11.3 角平分线的 性质与判定（第2课时）
练习1：
A
填空：
12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D_C__=_D_E____ (__角__平_分__线__上__的_点__到__角_的__两__边__的_距__离__相__等__C______D_____)
B
(2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴_A∠_D_平1_=_分∠__∠2_B_A_C (_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
角的平分线的作法
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A
放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条
射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
证明： 在△ACD和△ACB中
A
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边） D
B
∴∴∠△CAACDD=≌∠C△AABC（B全（等SS三S角）形的E对C应边相等）
PD OA PE OB
\ PD = PE
O
用途：证线段相等
D
A
C P
定理 2 角的内部到角的两边的距离相等
E
B
的点 在角的平分线上。
∵ PD OA PE OB PD = PE
\ OP 是 AOB 的平分线
用途：判定一条射线是角平分线
由上面两个定理可知：角平分线上的点到角的两边的距离相等； 反过来，到角的两边的距离相等的点都在这个角平分线上。
§11.3 角平分线的 性质与判定（2课时）
安居育才中学初二备课组
复习提问
1、角平分线的定义
一条射线 把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
A
1
C
o
2
B
复习提问 2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
P
我的长度
A
O
B
复习提问
3、角平分线的性质
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA， 垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
ND
M
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
P
F
B
C
E
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
安居育才中学初二备课组
1、 已知：如图，∠C = ∠C′= 90° ，AC = AC ′ 求证（1） ∠ABC = ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ （要求不用三角形全等的判定）
A
C C′
B
A
2、如图，设△ABC的角
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想一想：
为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
1、在△OAB中，OE是它的角平分线，且 EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
画法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
Ｍ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
求证：AC=BD.
O
C
D
A
E
B
2、 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。
A
E
CD
B
3、 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
A
F
E
CD B
4、已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
D
)C
P
O
E B
复习提问
4、角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在
角的平分线上。
用符号语言表示为：
A D
∵
PD OA
PE OB
P
O
PD= PE
\ OP 是 AOB的平分线
E B
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平
分线上）
定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OP 是 AOB 的平分线
A E
D
A
C
P
D B
E
B
C
O
练习
A
8 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足
E
分别是E，F， DE =DF， ∠EDB=
60°，则 ∠EBF= 60 度，
C D
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为： 推理的理由有三个，
必须写完全，不能
A
∵ ∠1= ∠2
少了任何一个。
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
1
(角的平分线上的点到角的两边 O
2
的距离相等)
P
E
B
判断下列各题是否正确地使用了角的平分线的性质?
(1)如图① ，∵AC平分∠BAD
B
∴DC=BC
错误
A
C
(2)如图② ，∵BC⊥AB,DC⊥AD
∴DB=DC
错误
(3)如图②，∵AD平分∠BAC，
且DB⊥AB，DC⊥AC
∴BD=CD
正确 A
D
图①
B
D
C
图②
如图，
Leabharlann Baidu
∵
OC是∠AOB的平分线，
又 P__D_⊥__O_A__，_P__E_⊥__O_B_
角∴的PD平=分P线E上的( 点
到角的两边的距离相等
5、如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ 与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线 的距离相等．
更上一层楼！
H
Ｄ
Ｃ
F ＰＥ Ａ
ＢG
知识应用
6、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
7、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD
BE= BF 。
B
FC
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，
∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
10.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
C
你会吗？
D
A
EB
§11.3 角平分线的 性质与判定（第2课时）
练习1：
A
填空：
12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D_C__=_D_E____ (__角__平_分__线__上__的_点__到__角_的__两__边__的_距__离__相__等__C______D_____)
B
(2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴_A∠_D_平1_=_分∠__∠2_B_A_C (_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
角的平分线的作法
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A
放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条
射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
证明： 在△ACD和△ACB中
A
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边） D
B
∴∴∠△CAACDD=≌∠C△AABC（B全（等SS三S角）形的E对C应边相等）
PD OA PE OB
\ PD = PE
O
用途：证线段相等
D
A
C P
定理 2 角的内部到角的两边的距离相等
E
B
的点 在角的平分线上。
∵ PD OA PE OB PD = PE
\ OP 是 AOB 的平分线
用途：判定一条射线是角平分线
由上面两个定理可知：角平分线上的点到角的两边的距离相等； 反过来，到角的两边的距离相等的点都在这个角平分线上。
§11.3 角平分线的 性质与判定（2课时）
安居育才中学初二备课组
复习提问
1、角平分线的定义
一条射线 把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
A
1
C
o
2
B
复习提问 2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
P
我的长度
A
O
B
复习提问
3、角平分线的性质
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA， 垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
ND
M
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
P
F
B
C
E
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
安居育才中学初二备课组
1、 已知：如图，∠C = ∠C′= 90° ，AC = AC ′ 求证（1） ∠ABC = ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ （要求不用三角形全等的判定）
A
C C′
B
A
2、如图，设△ABC的角
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想一想：
为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
1、在△OAB中，OE是它的角平分线，且 EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
画法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
Ｍ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
求证：AC=BD.
O
C
D
A
E
B
2、 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。
A
E
CD
B
3、 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
A
F
E
CD B
4、已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
D
)C
P
O
E B
复习提问
4、角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在
角的平分线上。
用符号语言表示为：
A D
∵
PD OA
PE OB
P
O
PD= PE
\ OP 是 AOB的平分线
E B
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平
分线上）
定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OP 是 AOB 的平分线