完全平方公式变形讲解
完全平方公式12种变形公式
完全平方公式12种变形公式完全平方公式12种变形公式是一类经典的数学公式，也叫广义完全平方公式，它可以将表示为一元二次方程的某一种形式的不定方程都变形为一元二次方程，从而使求解方程变得更加容易。
它具有广泛的应用，如科学、工程等。
完全平方公式一共有12种，每一种都是由一元二次方程的左右两边变形得到的。
下面分别介绍它们的变形过程和形式：1. 令变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kx+k^2=(x+k)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kx+2x+k^2=ax^2+2kx+2x+k^2]。
2.方相加变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k+a)x+ka^2=(x+k)^2+a^2]。
3.乘变形：即左边的方程可以变成 [x^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]，右边可以变形为 [ax^2+2kxy+ky^2=(x+ky)^2]。
4.方相减变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k-a)x+ka^2=(x+k)^2-a^2]。
5.项变形：即左边的方程可以变成[x^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]，右边可以变形为[ax^2+(2k+1)x+k^2-a=x^2+(2k+1)x-a+k^2]。
6.积变形：即左边的方程可以变成[(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab]，右边可以变形为[ax^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]。
7. 乘积变形：即左边的方程可以变成[x^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]，右边可以变形为[ax^2+2abx+b^2=a^2(x+b)^2]。
8.积变形：即左边的方程可以变成 [x^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]，右边可以变形为 [ax^2-2abx+b^2=a^2(x-b)^2]。
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛。
下面结合例题，介绍完全平方公式的变形及其应用。
一、变式1：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，移项，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。
例1：已知$x+y=5$，$xy=2$，求下列各式的值：（1）$x^2+y^2$；（2）$x^4+y^4$。
解：由变式1，得（1）$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\times2=21$；（2）$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=21^2-2\times4=433$。
二、变式2：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$这是因为：由$(a-b)=a^2-2ab+b^2$，移项，得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$。
例2：已知$a-\sqrt{11}=5$，求$a^2+11$的值。
解：由变式2，得$a^2+11=\left(a-\sqrt{11}\right)^2+2\sqrt{11}=5^2+2\sqrt{11}=27$。
三、变式3：$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，得$2ab=(a+b)-\left(a^2+b^2\right)$，两边同除以2，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$。
例3：已知$a+b=7$，$a^2+b^2=29$，求$ab$的值。
解：由变式3，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{7^2-29}\right)=10$。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。
这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。
首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。
根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。
而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。
这就是所谓的完全平方。
根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。
接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。
对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。
我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。
如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。
3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。
4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。
所以，我们需要做一个额外的变形。
6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。
进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。
完全平方公式8种变形
完全平方公式8种变形完全平方公式是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们求解一元二次方程的解，进而解决一些实际问题。
在学习完全平方公式时，我们不仅要熟记其基本形式，还需要了解其一些变形，以便更灵活地应用于解题过程中。
下面将介绍完全平方公式的8种变形，希望对大家的学习有所帮助。
1. 标准形式变形：完全平方公式的标准形式是：(a+b)²=a²+2ab+b²。
我们可以将其变形为：a²= (a+b)²-2ab-b²，这种变形可以帮助我们从平方项和常数项中提取出待求解的项。
2. 差平方变形：我们可以将完全平方公式改写为：(a-b)²=a²-2ab+b²。
这种变形用于需要处理差平方的情况，可以减少计算过程中的错误。
3. 完全平方差变形：如果我们遇到一个二次方程的形式是a²-b²=0，可以利用完全平方公式的变形来求解。
变形后的形式为(a+b)(a-b)=0，我们可以得到a+b=0或a-b=0，从而求得方程的解。
4. 半平方变形：在一些问题中，我们可能会遇到一个二次方程的形式是a√x+b=0。
我们可以将其改写为：(√x)²=-(b/a)，通过对等式两边开方并得到x的值，从而解决问题。
5. 配方法变形：配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，我们可以将完全平方公式进行配方法的变形。
变形后的形式是(a+b)²-c²=(a+b+c)(a+b-c)，通过将多项式相加相减从而得到解。
6. 两边取平方根变形：当我们遇到一个二次方程的形式为a²=c²时，可以将完全平方公式应用于此。
变形后的形式是：a=±√c²，通过对两边同时取平方根，我们可以得到a的值。
7. 合并同类项变形：在解决一些复杂的方程时，我们可能会遇到一些多项式的平方和。
我们可以将其中的一些同类项合并，从而简化计算过程。
谈谈完全平方公式的几种变形式
数学篇学思导引完全平方公式，即(a ±b )2=a 2+b 2±2ab .它是恒等变形中的常用公式之一，也是破解数学问题的重要利器.完全平方公式经过变形或重组可以衍生出新的公式.灵活运用这些公式，可以让我们在解题时更快捷.运用完全平方公式及其变形式解题时需注意以下几点：1.a 和b 可以是数，可以是式子；2.要有整体观念，即把某个数或式子看成a 或b ，再运用公式解题；3.注意运用变形公式，可以分别将a +b ，a -b ，a 2+b 2，ab 看成四个整体，若已知其中两个整体，则可以灵活运用公式及公式变形式求得另外两个整体.变形式1：a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab 由(a +b )2=a 2+b 2+2ab ，(a -b )2=a 2+b 2-2ab ，可以得到：a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab .例1设x >y >0，且x 2+y 2-7xy =0，则x +yy -x的值为________.分析：要想求出x +yy -x的值，需要先求出x +y ，y -x 的值.而结合已知条件可知，它们的值借助完全平方变形公式x 2+y 2=(x -y )2+2xy =(x +y )2-2xy 即可求出.解：因为x 222又x 2+y 2-7xy =0，所以(x +y )2-2xy -7xy =0，即(x +y )2=9xy .因为x >y >0，所以x +y >0，所以x +y =3xy .因为x 2+y 2=(x -y )2+2xy ，又x 2+y 2-7xy =0，所以(x -y )2+2xy -7xy =0，即(x +y )2=5xy .因为x >y >0，所以y -x <0，所以y -x =-5xy .所以x +y y -x =.评注：本题利用完全平方公式的变形式a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab ，分别求出x +y ，y -x 的值，再将其代入所求目标式中.在这一过程中，要特别注意x +y >0，y -x <0这一隐含条件.变形式2：(a +b )2=(a -b )2+4ab 因为(a -b )2=a 2+b 2-2ab ,所以有(a -b )2+4ab =a 2+b 2-2ab +4ab =a 2+b 2+2ab =(a +b )2.例2已知x -y =2，xy =3，则(x +y )4的值为_______.分析：要想求出(x +y )4的值，需要先对江苏省盐城市新洋初级中学洪婷婷27数学篇学思导引(x+y)4进行变形,(x+y)4实际上可以看作是(x+y)2的平方，而(x+y)2=(x-y)2+4xy，这样问题也就迎刃而解了.解：(x+y)4=[(x+y)2]2=[(x-y)2+4xy2]2=(22+4×3)2=256.评注：本题先通过变形，把目标式转化为平方式，再利用完全平方公式的变形式(a+b)2=(a-b)2+4ab求出其值.变形式3：(a-b)2=(a+b)2-4ab因为(a+b)2=a2+b2+2ab，(a+b)2-4ab=a2+b2+2ab-4ab=a2+b2-2ab=a-b2，所以有a-b2=(a+b)2-4ab.例3若a，b，c满足a-b=6，ab=-9-c2，则a+b+c的值为_____.分析：本题涉及a-b，ab，a+b，若能联想完全平方公式的变形式(a-b)2=(a+b)2-4ab，则可以化难为易.解：因为(a-b)2=(a+b)2-4ab，又a-b=4，ab=-8-c2，所以62=(a+b)2-4(-9-c2)，即(a+b)2+4c2=0，根据非负数的性质可知a+b=0，c=0，所以a+b+c=0.评注：本题利用(a-b)2=(a+b)2-4ab，得出(a+b)2+4c2=0，再结合非负数的性质求出a+b+c的值，从而使问题获解.变形式4：(a+b)2-(a-b)2=4ab，由(a+b)2=(a-b)2+4ab，(a-b)2=(a+b)2-4ab，这两个变形公式，可以得到(a+b)2-(a-b)2=4ab，即ab=14[(a+b)2-(a-b)2].例4已知(a+b)2=32,(a-b)2=20,则ab的值为_______.分析：本题出现了(a+b)2和(a-b)2，若能联想完全平方公式的变形式(a+b)2-(a-b)2=4ab，即可快速求出ab的值.解：因为(a+b)2-(a-b)2=4ab，所以ab=14[(a+b)2-(a-b)2]=14×(32-20)=3.评注：本题若按照常规思路先求出a、b的值，再求ab，则较为繁琐，而利用完全平方变形公式则可以化繁为简.变形式5：(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)因为(a+b)2=a2+b2+2ab，(a-b)2=a2+b2-2ab，所以(a+b)2+(a-b)2=2(a-b)2=2(a2+b2)，即a2+b2=12[(a+b)2+(a-b)2].例5已知a+b=8，则a2+b2的最小值为_________.分析：由a+b，a2+b2可以联想完全平方公式的变形式(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).解：因为(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，又a+b=8，所以a2+b2=12[(a+b)2+(a-b)2]=12[82+(a-b)2]=32+12(a-b)2.因为(a-b)2≥0，所以a2+b2≥32.即当a+b=8时，a2+b2的最小值为32.评注：本题利用(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)这一完全平方公式的变形式解题，使解题过程变得简捷明了.总之，在平时的学习中，同学们不仅要熟悉完全平方公式的结构特征，而且还要掌握它的变形和推广形式，并注意结合题目的结构特征，灵活运用完全平方变形公式.这将会给我们的解题带来意想不到的效果.28。
完全平方差公式的变式
完全平方公式的所有变形公式一. 完全平方公式常见的变形有a2+b2=（a+b）2-2ab，a2+b2=（a-b）2+2ab，（a+b）2-（a-b）2=4ab，a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）二. 乘法公式变形的应用例1：已知：x2+y2+4x-6y+13=0，x、y均为有理数，求xy的值。
分析：逆用完全乘方公式，将x2+y2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x 与y的值即可。
解：∵x2+y2+4x-6y+13=0，（x2+4x+4）+（y2-6y+9）=0，即（x+2）2+（y-3）2=0。
∴x+2=0，y=3=0。
即x=-2，y=3。
∴xy=（-2）3=-8。
分析：本题巧妙地利用例3 已知：a+b=8，ab=16+c2，求（a-b+c）2002的值。
分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c）2002的值，可利用（a-b）2=（a +b）2-4ab确定a-b与c的关系，再计算（a-b+c）2002的值。
解：（a-b）2=（a+b）2-4ab=82-4（16+c2）=-4c2。
即：（a-b）2+4c2=0。
∴a-b=0，c=0。
∴（a-b+c）2002=0。
例4 已知：a、b、c、d为正有理数，且满足a4+b4+C4+D4=4abcd。
求证：a=b=c=d。
分析：从a4+b4+C4+D4=4abcd的特点看出可以化成完全平方形式，再寻找证明思路。
证明：∵a4+b4+C4+D4=4abcd，∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0，（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0。
a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0又∵a、b、c、d为正有理数，∴a=b，c=d。
代入ab-cd=0，得a2=c2，即a=c。
所以有a=b=c=d。
初中完全平方公式12种变形
初中完全平方公式12种变形在初中数学课中，完全平方公式一直是学习的重要内容。
它可以用来解决复杂的问题，它可以准确地表达一个问题，而且它有很多变形，其中有12种。
首先，完全平方公式的基本原理是，当一个多项式的项中存在平方项时，可以将其化简为完全平方公式的形式。
它的基本形式是x^2+2xy+y^2=a^2，其中a为一个实数。
其次，一元二次方程的12种变形分别是：（1）x^2+2xy+y^2=a^2；（2）x^2-2xy+y^2=a^2；（3）x^2+2xy-y^2=a^2；（4）x^2-2xy-y^2=a^2；（5）ax^2+2xy+y^2=b^2；（6）ax^2-2xy+y^2=b^2；（7）ax^2+2xy-y^2=b^2；（8）ax^2-2xy-y^2=b^2；（9）x^2+2axy+y^2=c^2；（10）x^2-2axy+y^2=c^2；（11）x^2+2axy-y^2=c^2；（12）x^2-2axy-y^2=c^2；然后，我们需要分析上述12种变形的特征和特点，以便于更好地理解其含义。
首先，这些变形有一个共性，即都是完全平方公式的形式，因此它们可以看作一类。
其次，它们的参数不同，例如，前四种的参数a、b、c都是实数，而后八种的参数a、b、c则是变量。
最后，这12种变形可以分为四类，即有系数a的变形，有常数b的变形，有变量c的变形，以及包含x和y的变形。
最后，要正确使用完全平方公式的12种变形，需要掌握其特征和使用方法。
首先，要明确它们的参数，例如有些是实数，而有些则是变量。
其次，要了解它们的共性和特点，例如上面提到的变形分为四类。
最后，要熟练掌握它们的解题方法，例如展开式的方法、变量的替换方法以及因式分解的方法。
这样，才能够更好地解决完全平方公式的12种变形，让自己更加深入地掌握这门学科知识。
总之，完全平方公式可以分为12种变形，它们有着自己的特征和特点，要正确使用它们，需要掌握其参数、共性和解题方法，这样才能更好地解决复杂的问题，为自己赢得一份好成绩。
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形及常见题型是数学学习中最基本的内容，在考试中也是经常出现的题型。
完全平方公式的变形和常见的题型可以大大提高学生在数学考试中的表现，也可以帮助学生更好地理解这些概念。
本文将对完全平方公式变形公式及常见题型进行讨论，包括它们的定义、变形公式以及常见题型。
完全平方公式是一类特殊的二次公式，其标准形式为：
ax2+bx+c=0
其中a、b和c分别为系数，可以为整数、分数或者其他数学表
示形式。
在完全平方公式中，b=0，a和c为正数或者负数，此时x2
的系数为a，而常数项的系数为c。
完全平方公式的一般形式为：
ax2+c=0
要将完全平方公式一般形式变形为标准形式，可以使用变形公式，其中b系数的变形公式为：
b=±√(ac)
通过使用变形公式，可以在给定的条件下变形完全平方公式，使其达到标准形式。
完全平方公式变形后常常会出现一些常见的题型，这些题型包括： 1.全平方公式求解题：此类题型一般要求学生使用完全平方公式求解某类问题，例如求解一元二次方程；
2.全平方公式变形题：此类题型要求学生运用变形公式将完全平方公式从一般形式变换到标准形式；
3.全平方公式的图像分析题：此类题型要求学生分析完全平方公式的图像特征，如顶点、极值、开口方向等；
4.全平方公式在实际问题中的应用题：此类题型要求学生将完全平方公式运用到实际问题中，如几何问题或投资问题，求解问题的最佳解。
以上就是完全平方公式变形公式及常见题型的基本内容，下面我们将对它们进行更深入的介绍。
完全平方公式4个变形
完全平方公式4个变形
五年级数学课程中，求解完全平方公式是经常涉及到的一个技能，它有四种变形：
1、一元二次一般式。
这个式子有ax^2+bx+c=0，是含有一个未知数x就可以完成完全平方公式，这里是求ax^2+bx+c=0的解，用二次完全平方公式可以写成：x=（-b±√(b^2-4ac))/2a，从这个公式可以看出，在求解的时候只要把常数的值代入公式里，计算出完全平方根就可以求得x的解。
2、展开完全平方式。
展开完全平方式包括
ax^2+2bx+c=0，这是当b≠0时完全平方式可以分解为两个完全平方和的形式，其公式可以表示为x=(-
b±√(b^2-ac))/a，只要把常数的值代入公式里，计算出完全平方根，就可以求得x的解。
3、完全平方比例定理。
这个定理是说，当
y=ax^2+bx+c=0时，x的取值范围是(-
c/b)±√(c^2/b^2−a/b)，所以只要根据这个公式计算出x
的取值范围，就可以求得坐标，并通过坐标表示法确定图形的位置，也可以在图形上做出一些判断。
4、棱锥面完全平方式。
高中数学中最常用的是棱锥面
完全平方式，它的式子有：
z=ax^2+2bxy+y^2+2cx+2dy+e，要是把其中的常数代入
到完全平方的比例定理中去求解，可以求得x和y的值，而且它可以用来画出棱锥面的三维图形。
上述是完全平方公式的四种变形，它们分别有不同的求解方法，每种变形又能应用于不同的场景，学生学习完整括这四种变形，可以更快更有效地完成各种应用题，既可以在计算数学机器上求解，也可以使用绘图系统求解。
完全平方公式的变形
完全平方公式的变形引言在代数学中，完全平方公式是一种常见的代数公式，经常被用于求解二次方程方程、因式分解和展开式化简等问题。
本文将介绍完全平方公式的变形，以及其在求解问题中的应用。
完全平方公式的基本形式完全平方公式是指将一个二次多项式写成平方的形式，其基本形式为：(a+b)2=a2+2ab+b2其中，a和b是任意实数或复数。
完全平方公式的变形完全平方公式还可以通过变形，得到其他形式的公式。
下面将介绍几种常见的变形形式。
1. 差平方公式差平方公式是一种完全平方公式的变形形式，其表达式为：(a−b)2=a2−2ab+b2与完全平方公式的基本形式相比，差平方公式仅改变了中间项的符号。
2. 平方差公式平方差公式是一种完全平方公式的变形形式，其表达式为：a2−b2=(a+b)(a−b)平方差公式可以将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。
这在因式分解和展开式化简中经常被使用。
3. 求解二次方程完全平方公式的变形形式还可以应用于求解二次方程。
对于一般的二次方程ax2+bx+c=0，可以通过完全平方公式进行变形，得到以下形式：a(x−ℎ)2+k=0其中，ℎ和k是待求解的常数。
通过移项、配方等运算，可以进一步求解出x的值。
完全平方公式的应用举例完全平方公式的变形形式在数学问题的求解中具有广泛的应用。
下面将通过几个具体例子来说明其应用。
例1：求解二次方程考虑二次方程x2−6x+9=0。
通过观察可得，该方程可以表示为(x−3)2=0的形式。
根据完全平方公式的变形形式，可知x−3=0，从而解得x=3。
这个例子展示了将二次方程转化为完全平方公式的变形形式，从而更容易求解方程的过程。
例2：因式分解考虑多项式x2−4。
根据平方差公式，可将其因式分解为(x+2)(x−2)。
这个例子展示了平方差公式在因式分解中的应用。
例3：化简展开式考虑展开式(x−2)3=x3−6x2+12x−8。
通过完全平方公式的变形形式，可以将其化简为一个较简单的形式。
演示文档完全平方公式变形讲解.ppt
(3)x2 12x m是完全平方式,则m ____
(4)请把4x4 1添加一项后是完全平方式
.精品课件.
10
则a ______完_。全平方式
（2）已知，4x2 kxy 25y2是完全平方式， 则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m _____ . (4)请把4x4 1添加一项后是完全平方式， 可以添加____________.
则x2 y2 ________。 （3）已知(x y)2 25, (x y)2 16
则xy ________。
.精品课件.
5
则x2 y2 公 _式__变__形__的_。应用
（3）已知(x y)2 25, (x y)2 16, 则xy ________。
.精品课件.
6
公式变形的应用
.精品课件.
1
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
首平方，尾平方， 2倍 首尾 放中央
.精品课件.
2
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
a2+b2= (a+b)2-2ab (a-b)2+2ab
(a+b)2-(a-b)2= 4ab
.精品课件.
3.已知 a b 4, a2 b2 4 求a2b 2 与 (a b)2 的值.
4.已知 (a b)2 80 (a b)2 60 求 a2 b2 及ab的值
.精品课件.
20
1.已知
x
1 x
6
，求
x2 1 x2
的值。
2.已知 x2 3x 1 0
完全平方公式变形讲解讲课文档
完全平方式
计算
①(a+b+3)2
② (2x-y-1)2
三个数和的完全平方等 于这三个数的平方和，
现在十六页，总共二十七页。
现在十七页，总共二十七页。
• 1、已知 m 2 n 2 6 m 1 n 3 0 0 4 ，求m+n的值
2.已知 x2y24x6y1 30 x,y都是有理数，求 x y
现在四页，总共二十七页。
公式变形的应用
（ 1 ） 已 知 a b 1, a b 2 , 则 a 2 b2 ________ 。
（ 2） 已 知 x y 9 , x y 8 , 则 x2 y 2 ________ 。
（ 3） 已 知 (x y )2 25, ( x y )2 16, ) 请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式 ，
可 以 添 加 ____________.
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完全平方式
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完全平方式
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完全平方式
证明：x, y不论是什么有理数, 多项式x2+y2 4x8y25的值 总是正数。并求出它的最小值。
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完全平方式
（ 1 ） 已 知 ， x 2 a x 1 6是 完 全 平 方 式 ，
则a
_______ 。
（ 2） 已 知 ， 4 x 2
k x y 2 5 y 2是 完 全 平 方 式 ，
则k
___________ 。
(3)x 2
12 x m是 完 全 平 方 式 , 则 m
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公式变形的应用
平方差公式和完全平方公式的变形
平方差公式和完全平方公式的变形平方差公式和完全平方公式是数学中两个重要的式子，它们在多项式中有着重要的作用。
本文将介绍平方差公式和完全平方公式的变形，以及它们的应用。
一、平方差公式平方差公式是指在多项式中，一个多项式的平方可以由另外一个多项式的平方加上两个多项式的乘积来表示。
它的一般形式可以表示为：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2从上面的公式可以看出，平方差公式的基本形式就是一个多项式的平方等于另外一个多项式的平方加上两个多项式的乘积。
二、完全平方公式完全平方公式是指一个多项式可以由一个多项式的平方加上两个多项式的乘积表示。
它的一般形式可以表示为：a^2-2ab+b^2=(a-b)^2从上面的公式可以看出，完全平方公式的基本形式就是一个多项式可以由另外一个多项式的平方减去两个多项式的乘积来表示。
三、平方差公式和完全平方公式的变形1. 平方差公式的变形：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2从上面的公式可以看出，平方差公式也可以表示为一个多项式的平方等于另外一个多项式的平方减去两个多项式的乘积。
2. 完全平方公式的变形：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2从上面的公式可以看出，完全平方公式也可以由一个多项式的平方加上两个多项式的乘积来表示。
四、平方差公式和完全平方公式的应用1. 平方差公式的应用：a. 平方差公式可以用来解决二次方程。
b. 平方差公式可以用来求解三角形的面积。
c. 平方差公式可以用来计算圆的面积。
2. 完全平方公式的应用：a. 完全平方公式可以用来解决二次方程。
b. 完全平方公式可以用来求解三角形的面积。
c. 完全平方公式可以用来计算圆的面积。
五、总结从上面的介绍可以看出，平方差公式和完全平方公式是数学中重要的式子，它们可以用来解决二次方程、求解三角形的面积以及计算圆的面积。
此外，平方差公式和完全平方公式也可以变形，以求得更多的应用。
完全平方公式演变过程
完全平方公式演变过程完全平方公式，这可是数学里相当重要的一部分啊！咱就先从它的基本形式说起，（a + b）² = a² + 2ab + b²，（a - b）² = a² - 2ab + b²。
还记得我读初中那会，刚开始接触完全平方公式，真是一头雾水。
老师在讲台上讲得口沫横飞，我在下面听得云里雾里。
特别是做练习题的时候，那叫一个抓耳挠腮。
就拿一个简单的例子，（3 + 2）²，按照公式就得先算 3² = 9，2×3×2 = 12，2² = 4，然后一加，9 + 12 + 4 = 25。
咱们来仔细琢磨琢磨这个公式到底是咋来的。
就拿（a + b）²来说吧，它其实就是（a + b）×（a + b）。
咱们展开来算，先用第一个括号里的a 去乘第二个括号里的 a 和 b，得到 a² + ab，再用第一个括号里的b 去乘第二个括号里的 a 和 b，得到 ab + b²，最后把它们加起来，可不就得到了 a² + 2ab + b²嘛。
再说这完全平方公式在解题中的用处，那可真是大了去了。
比如说，要算一个长方形的面积，长是（x + 3），宽是（x + 2），那面积就是（x + 3）×（x + 2），这时候就可以用完全平方公式来化简，算起来可就轻松多啦。
我还曾经遇到过这么一道题，要证明一个复杂的式子可以化简成完全平方的形式。
当时我盯着那题，眼睛都快瞪出来了，满脑子都是公式在打转。
后来静下心来，一步一步按照公式展开、合并同类项，嘿，还真就给证明出来了，那种成就感，别提有多爽了！在实际生活中，完全平方公式也有不少用处呢。
比如装修房子的时候，要算一个正方形房间的边长增加了一定长度后面积的变化，这时候完全平方公式就能派上用场啦。
学习完全平方公式，可不能死记硬背，得理解它的本质。
完全平方公式八个变形
完全平方公式八个变形完全平方公式，这可是数学里的“常客”，咱们今天就来好好聊聊它的八个变形，保证让你对它有全新的认识！我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙皱着眉头问我：“老师，这完全平方公式变来变去的，有啥用啊？”我笑了笑，没直接回答他，而是先在黑板上写下了完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²以及 (a - b)² = a² - 2ab + b²。
这两个公式是基础，接下来咱们看看它们的变形。
变形一：a² + b² = (a + b)² - 2ab 。
比如，已知 a + b = 5，ab = 3，那a² + b²就等于 5² - 2×3 = 19 。
变形二：a² + b² = (a - b)² + 2ab 。
假如 a - b = 4，ab = 2，那么 a² +b²就是 4² + 2×2 = 20 。
变形三：(a + b)² = (a - b)² + 4ab 。
就像 a - b = 3，ab = 5 时，(a + b)²就是 3² + 4×5 = 29 。
变形四：(a - b)² = (a + b)² - 4ab 。
假设 a + b = 7，ab = 6，那么 (a - b)²等于 7² - 4×6 = 1 。
变形五：ab = 1/4 [(a + b)² - (a - b)²] 。
比如说 a + b = 8，a - b = 2，那 ab 就是 1/4 （8² - 2²） = 15 。
变形六：a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)²。
完全平方公式八个变形逆用
完全平方公式八个变形逆用而完全平方公式的变形，则是根据题目给定的条件，对于二次方程进行简化或转化，从而更便于求解。
下面就来介绍八个完全平方公式的变形及其逆用方法。
1.两个完全平方数的差a^2-b^2=(a+b)(a-b)逆用：可以将已知的完全平方数进行因式分解，从而求出未知数的值。
例如，已知一个完全平方数为25，可以写成5^2，则可以利用公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)，将其分解为(5+b)(5-b)=25，求解得到b=0。
2.两个完全平方数的和a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2逆用：通过因式分解可以将已知的完全平方和转化为完全平方公式。
例如，已知a^2+6a+9=49，可以写成(a+3)^2=49，即(a+3)=√49，求解得到a=43.完全平方的平方根√(a^2)=，a逆用：通过取平方根，可以求解已知完全平方的未知数。
例如，已知√(x^2)=7，可以求解得到，x，=7，即x=7或x=-74.两个完全平方的积(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2逆用：通过将已知的完全平方和进行展开，可以求解未知数。
例如，已知(x+3)^2=49，可以展开得到x^2+6x+9=49，即x^2+6x-40=0。
再通过求根公式进行求解，得到x=4或x=-10。
5.完全平方的倒数1/a^2=1/a*1/a=(1/a)^2逆用：可以通过求解分母的平方根，来求解完全平方的倒数。
例如，已知1/x^2=1/25，可以求解得到(1/x)^2=1/25，即(1/x)=±(1/5)，解得x=5或x=-56.两个完全平方的乘积(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2逆用：可以将已知的完全平方差展开，从而求解未知数。
例如，已知(x-4)^2=49，可以展开得到x^2-8x+16=49，即x^2-8x-33=0。
通过求根公式进行求解，得到x=-3或x=117.完全平方的倒数的平方根√(1/a^2)=1/√(a^2)=1/，a逆用：通过对倒数的平方根进行求解，来求解完全平方的倒数。
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1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2;
(2) (y-5)2;
(3) (-2x+5)2;
(4) ( x - y)2.
A
1
A
2
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
首平方，尾平方， 首尾2倍放中央
A
3
公式变形的应用
（ 1） 已 知 a b 1, ab 2, 则 a2 b2 ________。
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式 ， 可 以 添 加 ____________.
A
16
A
9
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
更上一层
（3）如果x2+kx+25是完全平方式，
则 k=_±__5__.
（4）如果9x2-mxy+16y 2可化为一个
整式的平方，则 m=±__2_4__.
A
10
完全平方式
A
11
完全平方式
A
12
完全平方式
则 x2 y2 ________。 （ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16
则 xy ________。
A
5
知识回顾：
什么是完全平方式？
1.式子a2±2ab+b2叫完全平方式 。
A
6
完全平方式
A
7
完全平方式
பைடு நூலகம்
（ 1） 已 知 ， x2 ax 16是 完 全 平 方 式 ，
则a _______。
（2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ，
则k ___________。
(3)x2 12x m是 完 全 平 方 式,则 m ____
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式
可 以 添 加 ________A____.
（ 2） 已 知 x y 9, xy 8, 则 x2 y2 ________。
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16, 则 xy ________。
A
4
则 a 2 公 b式2 变 形_ _的_ _应_ _用_ _ 。 （ 2） 已 知 x y 9, xy 8,
证明：x, y不论是什么有理数, 多项式x2+y2 4x8y25的值 总是正数。并求出它的最小值。
A
13
完全平方式
计算
①(a+b+3)2
② (2x-y-1)2
三个数和的完全平方等于这三个数的平 方和，再加上每两数乘积的2倍。
A
14
练习
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2;
(2) (y-5)2;
8
（2） 已 知 ，4 x 2完 k全xy 平25 y方2是式完 全 平 方 式 ， 则k ___________。 (3)x2 12x m是 完 全 平 方 式,则 m _____ .
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式 ， 可 以 添 加 ____________.
(3) (-2x+5)2;
(4) ( x - y)2.
A
15
（ 1） 已 知 ， x ax 16是 完 全 平 方 式 ，
则 a ______完_ 。全平方式
（2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ， 则k ___________。
(3)x2 12x m是 完 全 平 方 式,则 m _____ .