抛物线中考压轴题(精选)

1.（08福建莆田）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：抛物线2
y ax bx c =++的对称轴为2b x a
=-
）
4.（08广东深圳）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2
>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），
OB ＝OC ，tan∠ACO＝
3
1
． （1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最
大面积.
y x O E D C
B A G
A B
C
D O x
y
7.（08湖北荆门）
已知抛物线y =ax 2
+bx +c 的顶点A 在x 轴上，与y 轴的交点为B （0，1），且b =－4ac ． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 在抛物线上是否存在一点C ，使以BC 为直径的圆经过抛物线的顶点A ？若不存在说明
理由；若存在，求出点C 的坐标，并求出此时圆的圆心点P 的坐标；
(3) 根据(2)小题的结论，你发现B 、P 、C 三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?
10.（08湖北武汉）如图 1，抛物线y=ax2-3ax+b 经过A （-1,0），C （3,2）两点，与y 轴
交于点D ，与x 轴交于另一点B.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将 四 边 形ABCD 面积二等分，求k 的值；（3）如图2，过点 E （1，-1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转 180°后得△MNQ （点M ，N ，Q 分别与 点 A ，E ，F 对应），使点M ，N 在抛物线上，求点M ，N 的坐标.
3（08湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一
条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.
如图，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，-3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为(1,0)，半圆半径为2.
(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C 的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；
O x y A
B
O x y A C B P P 1 D P 2 P
A
O
B
M
D
C
y
x
(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D 的“蛋圆”切线的解析式.
14.（08江苏常州）如图,抛物线2
4y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点.
(1) 求点A 的坐标;
(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写
出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;
(3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当
462682S +≤≤+,求x 的取值范围.
15、（08江苏淮安）如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. (1)写出点P 的坐标；
(2)连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标； (3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E(0，b)在线段CD(端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．
27、（08江西南昌）如图，抛物2
11y ax ax =--+经过点19
(,)28
P -，且与抛物线
221y ax ax =--相交于A 、B 两点
（1）求a 值；
（2）设2
11y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），
221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四
点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
（3）设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点(0)Q x ，，且
A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C ，D 两点，试问当x
为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？
33、（08山东临沂）
如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。

⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P
的坐标;若不存在，请说明理由; ⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是
直角梯形，试求出点M 的坐标。

39、（08山东烟台）
如图，抛物线2
1:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移
y P
A
O
B
x
y
A M
P
D O
B C
2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线2L 对应的函数表达式；
（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.
45、（08四川广安）
25．如图，已知抛物线2
y x bx c =++经过点（1，-5）和（-2，4）
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）设此抛物线与直线y x =相交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），平行于y 轴的直线
()
051x m m =<<+与抛物线交于点M ，与
直线y x =交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用含m 的代数式表示）．
（3）在条件（2）的情况下，连接OM 、BM ，是否
存在m 的值，使△BOM 的面积S 最大？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由． 49、（08四川泸州）
如图，已知二次函数2
y ax bx c =++的图像经过三点A ()1,0-，B ()3,0，C ()0,3，
它的顶点为M ，又正比例函数y kx =的图像于二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE
x
O P N
M
B
A
y
y x x =m
的中点。

⑴求该二次函数的解析式，并求函数顶点M 的坐标；
⑵已知点E ()2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量x 的取值范围；
⑶当02k <<时，求四边形PCMB 的面积s 的最小值。

【参考公式：已知两点()11D ,x y ，()22E ,y ，则线段DE 的中点坐标为1212,2
2x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭】
51、（08四川宜宾）
已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；
（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.
（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--a b
ac a b 44,22
）
53、（08重庆市卷）已知：如图，抛物线)0(22
≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ 。

当△CQE 的面积
y x D M E P C B A O
最大时，求点Q 的坐标；
（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）。

问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

54、（08浙江湖州）
已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反
比例函数(0)k
y k x
=
>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
55、（08浙江淮安）
如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2
-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. (1)写出点P 的坐标；
(2)连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标；
Y X
E C
A D Q
B O
x
y
-4
-6
C E
P
D
B
5
1 2
4 6
F A
G 2
-2
(3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E(0，b)在线段CD(端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．
58、（08浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x
轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2
x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动． （1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ,
①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；
（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若
不存在，请说明理由．
66、（08湖南湘潭）
已知抛物线2
y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出∆OBC 的面积S 的值.
（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线
y
B
O
A P M
x 2x =
PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得∆OCD 与∆CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
67、（08湖南永州）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与坐标轴交于点A 、B 、C 且
OA ＝1，OB ＝OC ＝3 ．
（1）求此二次函数的解析式． （2）写出顶点坐标和对称轴方程．
（3）点M 、N 在y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上(点N 在点M 的右边)，且MN ∥x 轴，求以
MN 为直径且与x 轴相切的圆的半径．
68、（08山东济南）
已知：抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)，顶点C (1，3-)，与x 轴交于A 、B 两点，(10)A -，．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM ⊥AE 于M ，PN ⊥DB 于N ，请判断
PM PN
BE AD
+
是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． （3）在(2)的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥EP ，FG 分别与边．AE 、
BE 相交于点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断PA EF
PB EG
=
是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
C O
x
A D P M E
B N
y
69、(08浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q
（t ，b ）。

平移二次函数2
tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B 。

（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2
？
请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO=2
3
，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

72、（08湖北十堰）已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
73、（08湖南株洲）如图（1），在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，-2），点B 的坐标
为（3，-1），二次函数2
y x =-的图象为1l .
（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.
（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A 、B 两点，记抛物线为2l ，如图（2），求抛
物线2l 的函数解析式及顶点C 的坐标.
（3）设P 为y 轴上一点，且ABC ABP S S ∆∆=，求点P 的坐标.
（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点Q ，使QAB ∆为等腰三
角形. 若存在，请判断点Q 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说
明理由.
80、（08江苏镇江）探索研究 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数2
14
y x =
在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于
C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．
（1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；
②平行四边形APQR 为菱形；
（3）除P 点外，直线PH 与抛物线2
14
y x =有无其它公共点？并说明理由．
y o x 图（1） y
o
x
图（2）
l 1 l 2 x l
Q
C P
A
O B H
R
y
86、（08广东茂名）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－
3
2x 2
+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2
-x 1=5．
（1）求b 、c 的值；
（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对
角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
87、（08广东肇庆）
已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252
+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；
（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.
x
x
88、（08辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =
，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2
y ax bx c =++过点A E D ，，．
（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为
顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
89、（08辽宁12市）
如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C
，抛物线2
(0)3
y ax x c a =-
+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．
x
94、（08四川巴中）已知：如图，抛物线2
334
y x =-
+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线3
4y x b =-+与y 轴交于点E ．
（1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积． （3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积
最大，最大面积是多少？
97、（08四川资阳）
如图，已知点A 的坐标是（－1，0），点B 的坐标是（9，0），以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ，连接AC 、BC ，过A 、B 、C 三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ，连结BD ，求直线BD 的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得∠PDB ＝∠CBD?如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．。