导数的应用双变量专题

双变量存在问题与恒成立探究

1.()(1),(0)ax f x x e a =+≠ ;()y f x =在1

x a

=处有水平切线 (1)求a 的值

(2)设()()ln g x f x x x =+,证明对任意12,(0,1)x x ∈,有1212|()()|2g x g x e e ---<+

思想强化:要求()g x 的范围,转化12()()()g x g x g x =

+,可求1()m g x M

<<,

2()n g x N <<,则12()()m n g x g x M N +<+<+

2. 1

()ln f x a x x

=-

-,a 为常数 1)若()0f x =恰有一解,求a 的值 2)若函数12()()()ln x p g x a f x p x x p

-=-

---+,p 为常数,试判断()g x 的单调性 3)若()f x 恰有两个零点12,x x 且12x x <,,求证11231a x x e -+<-

思想强化:对(2)的函数的探究来解决(3)的问题;关注p 的特殊性; ()g x 在(0,),(,)p p +∞上的单调性及符号,继而构造

不等式得出结论.

3. ()ln f x x x =,2()2g x x ax =-+- (1) 求()y f x =在[,2]t t +,0t >上的最小值;

(2)若()()y f x g x =+有两个不同的极值点12,x x 12()x x <,且21ln 2x x ->,求a 的范围.

思想强化:利用分类讨论思想进行求最小值;零点稳点转化为两个函数的交点问题,常分离常数法; 思考a 受2

1x x -的变化二变化的情况.利用临界状态来进行求a 的范围.

4. ()ln f x x mx =- (1)讨论函数()f x 的单调性区间

(2)

当m ≥

,设2()2()g x f x x =+的两个极值点1212,()x x x x <,恰为2

()ln h x x cx bx =--的零点,求12

12()(

)2

x x y x x h +'=-的最小值. 思想强化:归一法研究函数的参数问题;利用换元法12

x t x =

研究函数的最小值;

结合m ≥

特殊方法求t 的范围.

5.

()ln(1)f x x x =+-

(1) 若k Z ∈,且3

(1)(1)f x x k x

-+>-,对1x ∀>恒成立,求k 的最大值

(2) 证明,对于(0,1)中的任意一个常数a ,存在正数0x 使0()

2012

f x a e x <-成立.

6(1)讨论函数

2()2

x

x f x e x -=

+的单调性,并证明当0x >时(2)20x x e x -++>; (2)证明当[0,1)a ∈时, 2

()x

e ax a

g x x

--=

(0x >)有最小值,设()g x 最小值为()h t ,并求()h t 的值域; 思想强化:分式函数的求导;结合(1)的函数,研究()g x '的符号,并确定0()0g x '=中0x 的范围.进而求()h t 的范围.

课后练习题(2016年全国卷)1函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点

(1) 求a 的取值范围 (2) 设12,x x 是

()f x 的两个零点,证明122x x +<.

思想强化:利用分类讨论思想对a 进行讨论,次讨论a 与2

e

-

的大小; 利用函数的单调性证明122x x <-转证12()(2)f x f x <-

2.(2015年全国卷) 设2()mx f x e x mx =+-

(1)证明: ()f x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增;

(2)若对于任意12,[1,1]x x ∈-,都有12|()()|1f x f x e -≤-,求m 的取值范围