函数的连续性与间断点共5页
§1. 8 函数的连续性与间断点
•函数连续的定义 设函数 yf(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果
Dx0
lim [ f (x0 + Dx) - f (x0)] 0 或 , lim f (x) f (x0 )
x x0
那么就称函数 yf(x) 在点x0处连续
•讨论 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？
§1. 8 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、函数的连续性
•变量的增量 若变量u从初值u1变到终值u2 则u2-u1就叫做变量u的 增量 记作Du 即Du u2-u1 •函数的增量 设函数yf(x)在点x0的某一 个邻域内有定义 当自变量x在 该邻域内从 x0 变到 x0+Dx时 对 应的函数 y 的增量为 Dy f(x0+Dx)- f(x0)
x x0
lim P(x) P(x0 )
首页
上页
返回
下页
结束
铃
•函数在区间上的连续性
在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端 点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是 指右连续
•连续函数举例
2 函数 ysin x 在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数ysin x在(- +)内任意一点x处有 定义 并且
1 y sin x
首页
上页
返回
下页
结束
铃
•间断点举例
2 -1 x 例3 3 函数 y 例 在 x1 没有定义 x -1 所以点x1是函数的间断点 2 -1 x lim (x +1) 2 因为 lim x 1 x -1 x1 如果补充定义: 令x1时y2 则所给 函数在 x1 成为连续 所以 x1 称为 该函数的可去间断点
函数的连续性与间断点
如果函数在开区间 (a , b )内连续 , 并且在左端点
11
连 续 区 间
x = a处右连续 , 在右端点 x = b处左连续 , 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续 .
首 页
上 页 下 页
尾 页
定义1’. 设f (x)在x0的某邻域U(x0)内有定义. 且
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 ).
函数 f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件:
(1) f ( x )在点 0处有定义; 在点x
9
连 续 条 件
( 2) lim f ( x )存在;
上 页 下 页
尾 页
∆y = f ( x ) − f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于 ∆x的增量 .
5
y
y = f (x)
y
∆y
∆y
y = f (x)
∆x
x 0 + ∆x
0
∆x x0 x 0 + ∆x x
0
x0
x
①增量∆x、 ∆y可以是正的,可以是负的,也可以为零； ②记号∆x是一个整体不可分割的记号。
x→0 x→0
x→0 x→0
23
例
故 lim f ( x) = lim | x |= 0
x→0 x→0
又因为 f (0)=0.
从而 lim f ( x) = f (0)
x→0
故 f ( x) =| x | 在x = 0处连续.
高等数学方明亮版课件1.8 函数的连续性与间断点
20XX.XX.XX
高等数学方明亮版课件1.8 函数 的连续性与间断点
,
汇报人：
目 录
01 函 数 的 连 续 性 02 函 数 的 间 断 点 03 连 续 性 与 间 断 点 的 关 系
01
函数的连续性
连续性的定义
函数在某点处连续， 是指在该点处函数 值等于该点的极限 值
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：
连续函数的应用
微积分：连续 函数是微积分 的基础，用于 计算面积、体
积等
物理：连续函 数在物理中用 于描述物体的 运动、力、能
量等
工程：连续函 数在工程中用 于描述物体的 运动、力、能
量等
经济：连续函 数在经济学中 用于描述价格、 需求、供给等
02
函数的间断点
间断点的定义
间断点：函数在某点处没有定义的点 间断点类型：跳跃间断点、可去间断点、无穷间断点、振荡间断点 跳跃间断点：函数在该点处左右极限不相等 可去间断点：函数在该点处左右极限相等，但函数值不等于极限值 无穷间断点：函数在该点处极限不存在 振荡间断点：函数在该点处左右极限相等，但函数值不等于极限值，且函数在该点处左右极限不相等
ห้องสมุดไป่ตู้
间断点对函数性质的影响
间断点可能导致函数不连 续
间断点可能导致函数值跳 跃
间断点可能导致函数值无 法定义
间断点可能导致函数无法 求导
连续性与间断点在数学分析中的应用
连续性与间断点在函数极限中的应用 连续性与间断点在函数导数中的应用 连续性与间断点在函数积分中的应用 连续性与间断点在函数微分方程中的应用
连续性是函数最重 要的性质之一，它 决定了函数的光滑 程度和可导性
D函数的连续性与间断点初等函数的连续性
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
左连续 右连续
定理:f ( x)在x0处连续 f ( x)在x0处既左连续又右连续 .
请思考：函数在点x0处连续与在点x0处有极限的区别与
联系.
6
第7页/共31页
说明：
1)函数在点 x0处连续与在点 x0处有极限的区别与联系.
f ( x)在x0处连续 反之不一定成立. 如 :
观察图像：
y
3 y x2
f
(
x)
1, 2,
x x
0 0
y
2
g(
x)
1 x
,
x
0
0, x 0
y
o1
1
o
x
x
o
x
lim( x 2) 2 lim f ( x)= 1
x = 0处无极限.
x0
x0
f (0)
f (0) 即lim g(x)不存在.
x0
1
第2页/共31页
第八节
第一章
函数的连续性与间断点
f (x)
f ( x0 )
lim y 0
x 0
第6页/共31页
(2)函数f ( x)在x0处连续有下列等价定义：
设函数y f ( x)在x0的某邻域内有定义，则
f ( x)在x0处连续
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
lim y
x0
0 [y
f ( x0
x)
f ( x0 )]
x
ua
x
1
例1.求 lim e x .
x
解:因y
1
e x可以看成是由y
函数的连续性与间断点
设函数 f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，如果 函数 f (x) 在点 x0 满足下列三种情况之一，则点 x0 为
f (x) 的间断点：
①、在 x0 处没有定义；
②、在 x0 处有定义，但 lim f (x) 不存在；
xx0
③、在 x0 处有定义，且 lim f (x) 存在，但
xx0
例3 证明函数 y sin x 在 (, ) 内连续 .
证 x (, )
y sin(x x) sin x
2sin
x 2
cos(x
x 2
)
y
2
sin
x 2
cos(x
x 2
)
2
x 2
1
x
0
(x 0)
即
lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 (, ) 内连续 .
同样可证：函数 y cos x 在 (, ) 内连续 .
五、函数的间断点
定义5 如果函数 f (x) 在点 x0 不连续， 则称 f (x)
在点 x0 处间断， 并称点 x0为函数 f (x) 的间断点或
不连续点 .
1
o
x
1
解 因为 lim f (x) lim(x 1) 1 f (0 0)
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1 f (0 0)
x0
x0
但
f (0 0) f (0 0)
所以是跳跃间断点 .
第二类间断点
如果函数 f (x) 在 x0 的左、 右极限至少有一个 不存在， 则称 x0 为 f (x) 的第二类间断点 .
高等数学 第1章 第九节 函数的连续性与间断点
有定义，但 lim f ( x)不存在；
0
x x0
x （3） 虽在
0 有定义，且
lim f ( x)存在，但
x x0
x x 则函数 f ( x)在点 0不连续， 而点 0 称为函数
或间断点。
若函数 f ( x)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 );
f ( x) 的不连续点
5
函数间断点的几种常见类型：
0,
1,
x 1 x 1, x 1
x,
f
(
x
)
0,
x,
x,
x x
1 1
0, x,
x 1
0,
x,
x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
14
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
函数在 x 1处既不左连续，也不右连续。 x 1是跳跃间断点。
x
3
证明：函数
y sin x 是连续函数。
证： 设 x (,),
x x 当 有增量
时，则
y sin( x x) sin x 2sin x cos(x x )
cos x x 1
2
2
2
y sin( x x) sin x 2 sin x .
2
又因为当 0 时， sin
f 1 0 lim 3 x 2 x10
则
x 1是跳跃间断点，属于第一类间断点。
所以 x 0
13
例7 讨论函数 判断其类型。
1 x2n
f ( x) lim
x 的连续性，若有间断点
n 1 x 2n
0,
函数的连续性与间断点
函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义, 如果
x → 0
lim y = 0 , 或 lim f ( x) = f ( x0 ) ,
x → x0
那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续. 讨论: 如何用εδ 语言叙述函数的连续性定义？ 提示:
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0
lim P( x) = P( x0 ) .
注: 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.
Jlin Institute of Chemical Technology
上页 下页 返回 退出
连续函数 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的 连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 连续函数举例 2. 函数 y=sin x 在区间(∞, +∞)内是连续的. 这是因为, 函数y=sin x在(∞, +∞)内任意一点x处有 定义, 并且
x →0
lim y = lim [sin( x + x) sin x]
= lim 2 sin x cos(x + x ) = 0 . x →0 2 2
x →0
Jlin Institute of Chemical Technology
上页
下页
返回
退出
二、函数的间断点
间断点的定义 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 在此前提 下, 如果函数 f(x)有下列三种情形之一: (1)在x0没有定义; (2)虽然在x0有定义, 但 lim f(x)不存在;
§1.8 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
高数同济18函数的连续性与间断点
14
下页
2 间断点举例 例 例5 4设 函 数 f ( x ) 0 x 1 x x 0 0 x 1 x 0 因 为 lf ( i x ) l m ( x i 1 ) 1 m
l 2 s i x c x i m x ) 0 o n x 0 2 2
实际上,初等函数在定义区间上都是连续的，（见下节）.
10
首页
二、函数的间断点
1 间断点（不连续点）的定义
y
设函数 f(x)在点x0的某去心邻域 内有定义 在此前提下 如果函数 f(x)
yf(x)
x 0 x 0
lf ( i x ) l m ( x i 1 ) 1 m
x 0 x 0
lf ( i x ) l m f ( i x ) m
x 0 x 0
所 以 极 限 lf i ( x ) 不 m 存 在 x 0 是 函 数 f ( x ) 的 间 断 点 x 0 因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象 我们称x0
突变现象
思考：如何描述这种现象？ 数学语言：增量
2
下页
一、函数的连续性
y
曲线不断
yf(x)
y
y
yf(x)
y
曲线断开
x
x
0 x 0 x0 x x 0 x 0 x0 x x
1.增量的概念：设函 f(x数 )在 U(x0,)内有. 定义
x U (x0,) ,xxx0,称 为 自 x0的 变增 .量
y f ( x ) f ( x 0 )称 , f ( 为 x ) 相 函 x 的 应 . 数 增 于
函数的连续性与间断点
且是无穷次振荡型间断点.
O
1 y sin x
x
总结两类间断点: 第一类间断点: 跳跃型, 可去型 第二类间断点: 无穷型, 无穷次振荡型 极限与连续之间的关系: f (x)在x0点连续
f (x)在x0点存在极限
求函数f ( x )
1 1 e
x 1 x
的间断点, 并指出其类型.
解 当x 0, x 1时, 函数无定义, 是函数的间断点. 1 , x 0, 由于 lim f ( x ) lim x x 0 x 0 1 x 1 e 所以 x 0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
lim y 0
则称函数f (x)在x0处 连续, 并称x0为函数 f (x)的 连续点.
设 x x0 x , y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 即为 x x0 , y 0 即为 f ( x ) f ( x0 ).
lim 定义2 若 x x f ( x ) f ( x0 ), 则称函数 f (x)
f ( x0 0 ) , 称x0为跳跃间断点.
第二类间断点： f ( x0 0 ) 及 f ( x0 0 ) 中至少一个不存在. 若其中有一个为 , 称x0为无穷间断点.
若其中有一个为振荡, 称x0为振荡间断点.
例 点x 0是如下函数的第几类间 断点：
(1)
sin x f ( x) ; x
f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 )
此定理常用于判定分段函数在分段点处的 连续性.
x2 , 例 讨论函数 f ( x ) x 1,
x 1, x 1,
在 x 1处的连续性.
函数的连续性与间断点65717
此定理常用于判定分段函数在分段点 处的连续性.
10
例
讨论函数
f (x)
x2,
x 1,
x 1, x 1, y
在 x 1处的连续性.
解 lim f ( x) lim x2 1 f (1),
15
例如, 有理整函数(多项式)
P( x) a0 a1x an xn
x0
( ,
),
lim
x x0
P(x)
P( x0 )
第是连续的.
有理分式函数 R( x) P( x) Q( x)
只要
Q(
x0
)
0 ,都有
lim
x x0
x1
x1
O 1x
lim f ( x) lim(x 1) 2 f (1),
x1
x1
所以 f ( x)在x 1左连续,在x 1右不连续.
故函数 f ( x)在点 x 1处不连续.
11
例 当a取何值时,
函数
f (x)
cos x, a x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
f ( x)在点x0处无定义,
则称 x0为f ( x)的间断点.
由于函数 f ( x)在x 0处无定义, y
且 lim f ( x) , lim f (x)
x0
x0
f (x) 1 x
皆不存在.
O
x
故x 0为f(x)的第二类间断点.
且是无穷型间断点.
第二类间断点: f ( x0 0), f ( x0 0) 至少有
《连续性与间断点》课件
连续函数与无穷间断点
定义
无穷间断点是指函数在该点的极 限为无穷大。
举例
$f(x) = frac{1}{x}$在x=0处存在无 穷间断点，因为lim(x->0)f(x)=∞ 。
性质
无穷间断点会破坏函数的连续性， 因为该点的极限为无穷大。
PART 04
连续性与间断点的应用
利用连续性判断函数性质
总结词
连续函数与跳跃间断点
定义
性质
跳跃间断点是指函数在该点的左右极 限不相等，即函数在该点处发生“跳 跃”。
跳跃间断点会破坏函数的连续性，因 为该点的左右极限不相等。
举例
$f(x) = begin{cases} x, & x leq 0 2x, & x > 0 end{cases}$在x=0处存 在跳跃间断点，因为lim(x>0+)f(x)=0!=lim(x->0-)f(x)=0。
在某一点左侧和右侧的函数值相 等，即$f(x_{0} - 0) = f(x_{0} + 0)$，则称$x_{0}$为函数$f(x)$的 可去间断点。
描述
可去间断点是间断点中最容易处 理的一种，可以通过补充定义使 得函数在该点连续。
第二类间断点（跳跃间断点、无穷间断点）
定义
在某一点左侧和右侧的函数值不相等，即$f(x_{0} - 0) neq f(x_{0} + 0)$，则称 $x_{0}$为函数$f(x)$的跳跃间断点。如果函数值在某一点趋于无穷，则称该点为 无穷间断点。
详细描述
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多实际问题 需要用到连续性与间断点的概念。例如，在物理学中 的速度、加速度、力的变化规律分析中，可以利用连 续性来描述平滑的变化过程；在经济学中的供需关系 、价格形成机制中，可以利用间断点来描述市场价格 的突变和调整。此外，在信号处理、图像处理等领域 中，连续性与间断点的概念也具有重要应用价值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、函数的连续性 变量的增量:
设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差
u 2u 1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u 2u 1.
设函数y
f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量
x 在这邻域内从x 0变到x 0x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到
f (x 0
x ), 因此函数y 的对应增量为
y f (x 0
x ) f (x 0).
函数连续的定义 设函数y f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量
x
x x 0 趋于零时, 对应的函数的增量
y
f (x 0x ) f (x 0 )也趋于零, 即
lim 0
=∆→∆y x 或)()(lim 00
x f x f x x =→,
那么就称函数y
f (x )在点x 0 处连续.
注 ①0)]()([lim lim 000
=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x
②设x x 0+x , 则当
x 0时, x x 0, 因此
lim 0
=∆→∆y x 0
)]()([lim 00
=-→x f x f x x )()(lim 00
x f x f x x =→.
函数连续的等价定义2:设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义 的正数
, 总存在着正数 , 使得对于适合不等式
|x x 0|< 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式
|f (x )f (x 0)|<
,
那么就称函数y f (x )在点x 0处连续.
左右连续性:
如果)()(lim 00x f x f x x =-
→, 则称y
f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+
→, 则称y
f (x )在点0x 处右连续.
左右连续与连续的关系: 函数y
f (x )在点x 0处连续Û函数y f (x )在点x 0处左连续且
右连续.
函数在区间上的连续性:
在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例:
1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(¥, ¥)
内是连续的. 这是因为, f (x )在(
¥, ¥)内任意一点x 0处有定义, 且
)
()(lim 00
x P x P x x =→
2. 函数
x
x f =)(在区间[0,
¥)内是连续的. 3. 函数y sin x 在区间(
¥,
¥)内是连续的.
证明 设x 为区间(
¥,
¥)内任意一点. 则有
y sin(x
x )sin x )2
cos(2
sin 2x x x ∆+∆=,
因为当
x 0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,
所
以0lim 0
=∆→∆y x .这就证明了函数y sin x 在区间(
¥, ¥)
内任意一点x 都是连续的．4. 函数y cos x 在区间(
¥,
¥)内是连续的. 二、函数的间断点 间断定义:
设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一: (1)在x 0没有定义;
(2)虽然在x 0有定义, 但0
lim x x →f (x )不存在;
(3)虽然在x 0有定义且0
lim x x →f (x )存在, 但0
lim x x →f (x )¹f (x 0);
则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点. 例1. 正切函数y
tan x 在2
π=x 处没有定义, 所以点2
π=x 是
函数tan x 的间断点.
因为∞=→
x x tan lim 2
π
, 故称2
π=x 为函数tan x 的无穷间断点.
例2. 函数x
y 1sin =在点x 0没有定义, 所以点x
0是函数x
1
sin 的间断点.
当x ®0时, 函数值在
1与1之间变动无限多次, 所以点
x 0称为函数x
1sin 的振荡间断点.
例 3. 函数1
12
--=x x y 在x 1没有定义, 所以点x
1是函数的间
断点.
因为1
1lim 2
1
--→x x x 2)1(lim 1
=+=→x x , 如果补充定义: 令x 1时y 2, 则
所给函数在x 1成为连续. 所以x 1称为该函数的可去间断
点. 例
4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 2
11
)(x x x x f y .
因为1lim )(lim 1
1
==→→x x f x x ,2
1)1(=f , )1()(lim 1
f x f x ≠→, 所以x
1是函数f (x )
的间断点.
如果改变函数f (x )在x
1处的定义:令f (1)
1, 则函数f (x )
在x 1 成为连续, 所以x 1也称为该函数的可去间断点.
例5. 设函数
⎪⎩⎪
⎨⎧>+=<-=0
10 00 1)(x x x x x x f .
因为1)1(lim )(lim 00-=-=-
-
→→x x f x x ,
1
)1(lim )(lim 00=+=+
+
→→x x f x x
)(lim )(lim 00x f x f x x +
+
→→≠,
所以极限)(lim 0
x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )
的图形在x 0处产生跳跃现象, 我们称x 0为函数f (x )的跳
跃间断点.
间断点的分类:
通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.
希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：
1、生气，就是拿别人的过错来惩罚自己。
原谅别人，就是善待自己。
2、未必钱多乐便多，财多累己招烦恼。
清贫乐道真自在，无牵无挂乐逍遥。
3、处事不必求功，无过便是功。
为人不必感德，无怨便是德。