函数的连续性与间断点共5页

一、函数的连续性 变量的增量:

设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差

u 2u 1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u 2u 1.

设函数y

f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量

x 在这邻域内从x 0变到x 0x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到

f (x 0

x ), 因此函数y 的对应增量为

y f (x 0

x ) f (x 0).

函数连续的定义 设函数y f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量

x

x x 0 趋于零时, 对应的函数的增量

y

f (x 0x ) f (x 0 )也趋于零, 即

lim 0

=∆→∆y x 或)()(lim 00

x f x f x x =→,

那么就称函数y

f (x )在点x 0 处连续.

注 ①0)]()([lim lim 000

=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x

②设x x 0+x , 则当

x 0时, x x 0, 因此

lim 0

=∆→∆y x 0

)]()([lim 00

=-→x f x f x x )()(lim 00

x f x f x x =→.

函数连续的等价定义2:设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义 的正数

, 总存在着正数 , 使得对于适合不等式

|x x 0|< 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式

|f (x )f (x 0)|<

,

那么就称函数y f (x )在点x 0处连续.

左右连续性:

如果)()(lim 00x f x f x x =-

→, 则称y

f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+

→, 则称y

f (x )在点0x 处右连续.

左右连续与连续的关系: 函数y

f (x )在点x 0处连续Û函数y f (x )在点x 0处左连续且

右连续.

函数在区间上的连续性:

在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例:

1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(¥, ¥)

内是连续的. 这是因为, f (x )在(

¥, ¥)内任意一点x 0处有定义, 且

)

()(lim 00

x P x P x x =→

2. 函数

x

x f =)(在区间[0,

¥)内是连续的. 3. 函数y sin x 在区间(

¥,

¥)内是连续的.

证明 设x 为区间(

¥,

¥)内任意一点. 则有

y sin(x

x )sin x )2

cos(2

sin 2x x x ∆+∆=,

因为当

x 0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,

所

以0lim 0

=∆→∆y x .这就证明了函数y sin x 在区间(

¥, ¥)

内任意一点x 都是连续的．4. 函数y cos x 在区间(

¥,

¥)内是连续的. 二、函数的间断点 间断定义:

设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一: (1)在x 0没有定义;

(2)虽然在x 0有定义, 但0

lim x x →f (x )不存在;

(3)虽然在x 0有定义且0

lim x x →f (x )存在, 但0

lim x x →f (x )¹f (x 0);

则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点. 例1. 正切函数y

tan x 在2

π=x 处没有定义, 所以点2

π=x 是

函数tan x 的间断点.

因为∞=→

x x tan lim 2

π

, 故称2

π=x 为函数tan x 的无穷间断点.

例2. 函数x

y 1sin =在点x 0没有定义, 所以点x

0是函数x

1

sin 的间断点.

当x ®0时, 函数值在

1与1之间变动无限多次, 所以点

x 0称为函数x

1sin 的振荡间断点.

例 3. 函数1

12

--=x x y 在x 1没有定义, 所以点x

1是函数的间

断点.

因为1

1lim 2

1

--→x x x 2)1(lim 1

=+=→x x , 如果补充定义: 令x 1时y 2, 则

所给函数在x 1成为连续. 所以x 1称为该函数的可去间断

点. 例

4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 2

11

)(x x x x f y .

因为1lim )(lim 1

1

==→→x x f x x ,2

1)1(=f , )1()(lim 1

f x f x ≠→, 所以x

1是函数f (x )

的间断点.

如果改变函数f (x )在x

1处的定义:令f (1)

1, 则函数f (x )

在x 1 成为连续, 所以x 1也称为该函数的可去间断点.

例5. 设函数

⎪⎩⎪

⎨⎧>+=<-=0

10 00 1)(x x x x x x f .

因为1)1(lim )(lim 00-=-=-

-

→→x x f x x ,

1

)1(lim )(lim 00=+=+

+

→→x x f x x

)(lim )(lim 00x f x f x x +

+

→→≠,

所以极限)(lim 0

x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )

的图形在x 0处产生跳跃现象, 我们称x 0为函数f (x )的跳

跃间断点.