三角形内接正方形(专题)

三角形内接正方形

一、概念

三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形,正方形有4个顶点,而三角形只有3条边,所以,正方形一定有两个顶点在同一条边上,即正方形一定有一条边落在三角形的边上.

二、个数

分情况讨论:

1.在锐角三角形中:

(1)如果三角形为等边三角形,则它的内接正方形只有一个.(正方形的边无论落在哪一条边上,根据对称性

可知,都是在同一位置).

(2)如果三角形为等腰三角形(底与腰不等),则它的内接正方形有2个.一个是正方形的边落在等腰三角形底

边上;另一种是正方形的边落在腰上(无论哪个腰,位置是相同的

);

(3)如果三角形为不等边三角形(三边两两不等),则它的内接正方形有3个

.

2.在直角三角形中:

内接正方形有2个:一个是正方形的边落在斜边上;另一个是正方形的边落在直角边上

.

3.在钝角三角形中:

内接正方形只有1个:即正方形一条边落在斜边上.

三、画法

1.计算法

通过计算，求出三角形内接正方形的边长a，然后在某一边上作三角形的高h，在h上截取一段长度为a 的线段，记下截点，通过截点作这边上的平行线，交另两边于两点，最后通过这两点作h的平行线即可

. 2.尺规法

利用位似图形的原理,选择一个位似中心和再作出一个正方形便可作出三角形内接最大正方形.

方法一：先作个小正方形，再利用位似作出所求的内接正方形。

方法二：

1)以△ABC的一边BC为一边,向下作正方形BCYX； 2)连接AX.BY与BC交于E,F.

3)分别过E,F作ED,FG分别交AB,AC于D,G. 4)连结DG四边形EFGD便是所求图形

由此便探索出了三角形内接最大正方形的一种尺规作法，我们是选顶点A作为位似中心，那么点B，点C可不可以做位似中心呢？答案是肯定的。一共是四种做法。

四、教材衔接

1.如图，四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=27cm，高AD=21cm，求内接正方形EFGH的面积．

解：设正方形EFGH的边长为x，设AD与GH的交点为I，

∵HG∥BC，

∴△AHG∽△ABC，

∴AI：AD=GH：BC，

正方形EFGH的边长为xcm．

∵BC=27，AD=21，

∴（21-x）：21=x：27，即可求解．

点评：本题主要考查正方形的面积、相似三角形的判定与性质，关键在于通过求证△AHG∽△ABC，推出正方形的边长．

2. 如图，Rt△ABC（∠C=90°）中有三个内接正方形，DF=9厘米，GK=6厘米，猜想第三个正方形的边长PQ 的长．

解：GF=EF-EG=9-6=3，设PQ=x，

∵GK∥PQ，∴∠FKG=∠KQP．

又∵∠FGK=∠KPQ=90°，∴△FGK∽△KPQ．

∴ FGKP=GKPQ．

∴ 36-x=6x．

解得x=4．

答：第三个正方形的边长为4厘米．

点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形的判定和性质求解．

3. 如图所示，四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，AD⊥BC，垂足为D，BC=21cm，AD=14cm，EF：FG=1：2，求矩形EFGH的面积．

解：如图，设矩形的边长EF=x，则FG=2x，

∵四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形，

∴EH∥BC，EH=FG，

∴△AEH∽△ABC，

又∵AD⊥BC，则ID=x，AI=AD-ID，

∴ EHBC= AIAD，BC=21cm，AD=14cm，

∴ 2x21= 14-x14，

解得，x=6cm，即2x=12cm，∴S矩形EFGH=EF×FG=6×12=72cm2．

答：矩形EFGH的面积为72cm2．

点评：本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，知道相似三角形的对应高之比就等于对应边之比，即相识比．

五、中考应用(几何综合题,规律型)

1.

2.把边长为40厘米的正方形ABCD 沿对角线AC 截成两个三角形，在两个三角形内如图所示剪下两个内接正方形M 、N ，则M 、N 的的面积的差是4009平方厘米． 解：

正方形M 的面积=20cm ×20cm=400cm 2

，设：正方形N 的边长为x ，则存在：

x2+ 12×x2+ 12×x2+ 12× 12×x2= 40×402，解得：x2= 32009cm 2

，

故M 、N 的面积的差为（400- 32009）cm2= 4009cm 2，故答案为 4009cm 2

．

点评：本题考查了正方形，等腰三角形面积的计算方法，考查了正方形四边相等，各内角均为直角的性质，解本题的关键是正方形N 的面积的计算．

3.如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG 为△ABC 的内接正方形，若设正方形的边长为x ，容易算出x 的长为 60/37．探究与计算：

（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，则正方形的边长为 60/49；

（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，则正方形的边长为 60/61；

（3）如图4，若三角形内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．

解：（1） 6049；（2分） （2） 6061；（2分）

（3）若三角形内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，正方形的边长是 6025+12n ． 证明，如图，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为N ，交GF 于点M ，设小正方形的边长为x ，

∵四边形GDEF 为矩形，∴GF ∥AB ，CM ⊥GF ，易算出CN= 125，∴ CMCN=GFAB ，即 125-x125=nx5， ∴x= 6025+12n ．即小正方形的边长是 6025+12n ．（4分）

点评：主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键． 4. （2009•湘西州）如图，等腰直角△ABC 腰长为a ，现分别按图1，图2方式在△ABC 内内接一个正方形ADFE 和正方形PMNQ ．设△ABC 的面积为S ，正方形ADFE 的面积为S1，正方形PMNQ 的面积为S2． （1）在图1中，求AD ：AB 的值；在图2中，求AP ：AB 的值； （2）比较S1+S2与S 的大小．