高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)

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高等代数(II )期末考试试卷及答案(A 卷) 一、 填空题(每小题3分,共15分)

1、线性空间[]P

x 的两个子空间的交()

()11L x L x -+=

2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基, 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ,列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标,则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是

3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵, 则A 与B 的关系是

4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为:()2

1,,1,λλ

λ+

则其特征矩阵E A λ-的标准形是

5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是:

二、 单项选择题(每小题3分,共15分)

1、 ( )复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构:

(A )数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间; (B )数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间; (C )数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间; (D )复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、( )设 是非零线性空间 V 的线性变换,则下列命题正确的是:

(A ) 的核是零子空间的充要条件是 是满射; (B ) 的核是V 的充要条件是 是满射; (C ) 的值域是零子空间的充要条件是 是满射; (D ) 的值域是V 的充要条件是 是满射。 3、( )λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是: ()()()()0;

A A

B A λλ≠是一个非零常数;

()()C A λ是满秩的;()()D A λ是方阵。

4、( )设实二次型

f X AX '=(A 为对称阵)经正交变换后化为:

222

1122...n n y y y λλλ+++, 则其中的12,,...n λλλ是:

()()1;A B ±全是正数;()C 是A 的所有特征值;()D 不确定。

5、( )设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”,则A 的若当 标准形是:

()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫

--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭

()D 以上各情形皆有可能。

三、 是非题(每小题2分,共10分)

(请在你认为对的小题对应的括号内打“√”,否则打“⨯”) 1、( )设V 1,V 2均是n 维线性空间V 的子空间,且{}1

20V V =

则12V

V V =⊕。

2、( )n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

3、( )同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

4、( )n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、( )欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题(每小题10分,共30分)

1、在线性空间4

P 中,定义线性变换:

()()()(

)

4

,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P ''

'=++∀∈

(1)求该线性变换 在自然基:()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==

()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ;

(2)求矩阵A 的所有特征值和特征向量。

2、(1)求线性空间[]3P

x 中从基()()()

2

:1,1,1I x x --到基

()()()2

:1,1,1II x x ++的过渡矩阵;

(2)求线性空间[]3P

x 中向量()2123f x x x =-+在基

()()()

2

:1,1,1I x x --下的坐标。

3、在R 2中,()()1212,,,a a b b α

β∀==,规定二元函数:

()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+

(1) 证明:这是R 2的一个内积。 (2) 求R 2的一个标准正交基。

五、 证明题(每小题10分,共30分)

1、 设P 3的两个子空间分别为:

(){}(){}

11

2

3

12

321

2

3

1

2

3,,0,,,0

W x x x x x

x W x x x x x

x =

++==

--= 证明:(1)3

12P W W =+;

(2)12W W +不是直和。

2、设 是数域P 上线性空间V 的线性变换,证明()12,,...,r W L ααα= 是 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,i W

i r α∈=

3、已知A E -是n 级正定矩阵,证明: (1)A 是正定矩阵; (2)23n A E +>

答案

一、 填空题(每小题3分,共15分)

1、线性空间[]P

x 的两个子空间的交()

()11L x L x -+={}

2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基, 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ,列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标,则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是

1C X

-

3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵, 则A 与B 的关系是 相似关系

4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为:()2

1,,1,λλ

λ+

则其特征矩阵E A λ-的标准形是

()10

000001λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭

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