高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)
高等代数II06-07下期末试卷A
红河学院2006－2007学年下学期期末 《高等代数II》课程考试试卷A卷考试院系： 数学系 考试日期： 题 号 一 二 三 四 总 分 得 分一、判断题（每题1分，合计8分）1、奇数次实多项式一定有实根。
（ ）2、本原多项式的乘积是本原多项式。
（ ）3、负定二次型的顺序主子式全小于零。
（ ）4、正定矩阵的行列式大于零。
（ ）5、可逆线性变换将线性无关向量组变为线性无关向量组。
（ ）6、阶实对称矩阵一定可以对角化。
（）n7、任意两个正交基下之间的过渡矩阵是正交矩阵。
（ ）8、正交向量组线性无关。
（ ）二、填空题（每题3分，合计30分）1、设都是首一多项式且)(),(xgxf)()(xgxf，则))(),((xgxf。
2、的标准分解式为311146)(2345−−−−+=xxxxxxf。
3、的标准形是()42233121432142,,,xxxxxxxxxxf++−=。
得 分阅卷人得 分阅卷人4、n 阶实二次型AX X T半正定的充分必要条件是A 与 合同。
5、设)4,3,2(),1,2,1(),1,0,1(),1,0,1(),1,1,1(21321===−==ββααα， )3,4,3(3=β是线性空间3R 的两组基,则由基123,,ααα到基123,,βββ过渡矩阵为 。
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=02221121122211211x x x x x x x x W ，则W 的一个基为 6、设 。
7、设线性变换σ在)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321=ε=ε=ε下的矩阵为，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−111110111=)1,1,1(σ 。
8、在3P 中定义()(c a b c b a ,,,,)=σ，σ在)1,1,1(1−=α，)0,1,1(2−=α，)0,0,1(3−=α下的矩阵为 。
9、设A 为阶矩阵且n A A =2，则A 的特征根为 。
10、设n εε,,1"是欧氏空间V 的标准正交基，，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11),,(,11),,(11#"#"n n εεβεεα=),(βα 。
(24)--13-14学年高等代数(II)试卷及参考答案
得分 五、(10 分) 设 V 是数域 Ω 上的 n 维向量空间, σ 是 V 上线性变换. 证明: 存
在 V 上线性变换 τ , 使得 kerσ = τ (V ), kerτ = σ(V ).
第 5 页 (共 6 页)来自得分 六、(10 分) 设 A1, A2, . . . , Ak 均为 n 阶实对称矩阵, 并且对任意的 i, j 均有
¯ Ý:˦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
(σ + τ )(u)v = u(σ − τ )(v),
(1)
(σ + 2τ )(u)v = uσ(v).
Ý ¦ ÈÙ Þ (2) − (1)
u, v ∈ V ,
τ (u)v = uτ (v).
À τ Ï ©¦». Á Ý (1) ¸ (3) ¦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
b
a + 3b
0
1
下对应的矩阵为
.
5. 设 V 是数域 Ω 上的有限维向量空间, 若 V 上线性变换 σ 的特征多项式
为 f (λ) = nk=1(λ − k)k, 则 dim ker(σ − k∗)k =
, 其中 k = 1, 2, . . . , n.
6. 设 V 是 2014 维欧氏空间, 若 V 上线性变换 σ 既是正交变换, 又是反对称
变换, 则 σ 的特征多项式为
.
7. 设 1, 2 都是 30 阶方阵 A 的特征根, 1 的代数重数为 29, 几何重数为 27,
则满足此条件且互不相似的 A 的总个数为
.
第 1 页 (共 6 页)
得分 二、(15 分) 设 A, B 均是 n 阶实对称矩阵. 证明: A, B 都是半正定矩阵, 当且
湖北工程学院高等代数(二)期末试题(A)及答案
得分 阅卷人 三、填空题: 27-29 小题, 每小题 2 分, 共 20 分.
17. 设 dim V1 = 4, dim V2 = 3,dim(V1 ∩ V2) = 2, 则 dim(V1 + V2) =
.
18. 设向量 ξ 在基 ε1, ε2, ε3 下的坐标为 (x1, x2, x3), 则 ξ 在基 ε1 + ε2, ε2, ε3 下的坐
解1二次型的矩阵为a??????a?1?1?1?1?1a?1a??????2分则二次型fx1x2x2是正定?a的所有顺序主子式全大于零即得a0a2?10a?2a120解之得a2
..........................密 ..........................封 ..........................线 ..........................
为 α2 = (−1, 1, 0) , α3 = (−1, 0, 1) . 经过施密特正交化过程后, 求出正交矩阵 T 为
T
=
√1 3
√1 3
√1 3
−
√1 2
√1 2
0
−
√1 6
−
√1 6
√2 6
则二次型 f (x1, x2, x2) 在线性替换 X = T Y 下化为标准型 3y22 + 3y32.· · · · · · · · · · · · · · · · · · ( 8 分 )
9. ×;
10. ×.
二、单项选择题: 11-16 小题, 每小题 3 分, 共 18 分. 11. (B); 12. (B); 13. (B); 14. (B); 15. (B); 16. (B).
高等代数(二)期末考试
6.设 f x x 4 x3 4 x 2 4 x 1, g x x 2 x 1, 用辗转相除法求 f x , g x .
第4页
第5页
合计
学号
班
.
2.设 ε1 , ε2 , ε3 , ε4 , ε5 是欧氏空间 V 的一个正交基,则 α V | α, ε1 α, ε2 0 . 3.设向量组 α1 , α2 , α3 线性无关, β1 可由 α1 , α2 , α3 线性表示, β2 不能由 α1 , α2 , α3 线性表 示,则常数 k 4. σ α 变换,若 σ 满足 时,向量组 α1 , α2 , α3 , β1 kβ2 线性 是线性空间 V 上的变换,若 σ 满足 ,则 σ 不是线性变换. ,实数域上的不 , 有理数域上的不可约多项 . . ,则 σ 是线性
0 a 22 2.证明： 数域 F 上所有形如 上的二阶方阵构成空间 F 的一个子空间,并 a 0
求该子空间的一个基.
3. σ 是线性变换, 如果 σ 3 α 0, 但 σ 4 α 0 ,证明： α, σ α , σ 2 α , σ 3 α 线性无 关.
专业 系
5.复数域上的不可约多项式只能是 可约多项式只能是 式可以是
a11 a12 6.设线性变换 σ 在 ε1 , ε2 , ε3 下的矩阵是 A a21 a22 a31 a32
阵是 .
a13 a23 ,则 σ 在基 ε1 , kε2 , ε3 下的矩 a33
第1页
二、简答题
1.请举出两个线性空间的例子,并对它们进行比较讨论.
2.请谈谈现在所学的多项式与中学所学的多项式的关系.
2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A2(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷A2适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 判断题(每小题2分，共10分)1．二元函数(),z f x y =在平面区域上的积分为二重积分。
（ ）2．二元函数(),z f x y =的极值点只能是使得0z zx y∂∂==∂∂的点。
（ ）3．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）4．闭区域上的二元连续函数一定存在最大最小值，且一定可积。
（ ）5．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）二.单项选择题(每小题2分，共20分)1.平面2y = （ ） A.垂直于xOz 平面 B.平行于xOy 平面 C.平行于xOz 平面 D. 平行于Oy 轴2. 二元函数(),z f x y =在某点()00,x y 连续，那么(),z f x y =在该点一定 （ ）A .极限存在 B.两个偏导存在 C.可微 D.以上都不对3. 极限()(),0,0lim x y xyx y→+的结果为 （ ）A.0B.∞C. 12D.不存在4.若区域D 是由1x y +≤与12x y +≥所围成，则积分()22ln Dx y d σ+⎰⎰的值（ ）A.大于零B. 小于零C.等于零D. 不存在 5.下列绝对收敛的级数是 （ ）A.∑∞=--1n nn1n 23)1( B.∑∞=--1n 1n n )1(C.∑∞=--1n 51n n)1(D.∑∞=--1n n 21)1(6. 下列无穷级数中发散的无穷级数是 （ ）A.∑∞=+1n 221n 3n B. ∑∞=+-1n n 1n )1(C. ∑∞=--3n 1n n ln )1(D. ∑∞=+1n 1n n32 7. 点（0，0，1）到平面z=1的距离为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38. 积分2011dx x +∞+⎰的结果为 （ ）A.0B. 2πC. 2π-D.不存在9. 函数()arctan f x x =在 []0,1上，使拉格朗日中值定理成立的ξ是（ ）A.-10.设()f x 在(),a b 内满足()'0f x <，()''0f x >，则曲线()f x 在(),a b 内是（ ）A.单调上升且是凹的B. 单调下降且是凹的C.单调上升且是凸的D. 单调下降且是凸的三.填空题(每小题2分，共10分) 1. 设函数z x y =-，则xz∂∂=___________。
(完整word版)高等代数(二)期末考试样卷
《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（ ）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（ ） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（ ） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（ ） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的 维数为（ ）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（ ） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的 （ ）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。
高等代数(下)期末考试 A 卷解答
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V , 1
(1) 证明: A 是 V的一个线性变换.
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(1) 证明：对于 , V , k R, 由于 A ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (, ) [ ( , ) ] [ (, ) ] 以及 A ( ) A (), A (k ) k (k , ) k[ ( , ) ] kA ( ),
已知
B
A2
A
E,
其中
A
与
1 0
3
2
相似，则
B __3________
5. 设 1,2,3 是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为
2
1
1 2
2 1
则向量 1 2 的长度
为
2.
2 1 2
三、判别题（对的打”√”,错的打” ×”， 2×5=10分）
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V, 1
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(2) 如果A 是 V的一个正交变换，即有 对于任意的 , V ,
(A ( ), ()) ( (,)， (,)) (,) (，(,)) ((,)，) 2(,)(,)(, ) (,) 2(,)(,) 2(,)(,)(,) (,),
2.
在线性空间
R22
《高等代数2》期末试卷(A)
第 1 页 共 2 页教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期期末考试《高等代数Ⅱ》试卷 (A )试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷； 2.试题解答全部书写在本试卷上。
班号： 学号 姓名一、选择题：（每题3分，共15分）1．当λ=（ ）时，方程组1231231222x x x x x x λ++=⎧⎨++=⎩，有无穷多解。
A 1B 2C 3D 42．若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）A 线性相关B 线性无关C 线性相关或线性无关D 不一定 3．已知A ，B 为同阶正交矩阵，则下列（ ）是正交阵。
A A B + B A B - C AB D kA 4．对于n 阶实对称矩阵A ，结论（ ）正确。
A A 一定有n 个不同的特征值 B A 一定有n 个相同的特征值 C 必存在正交矩阵P ，使1P AP -成为对角矩阵 D A 的不同特征值所对应的特征向量不一定是正交的 5．当（ ）时，0a A b c ⎛⎫=⎪⎝⎭是正交阵。
A 1,2,3a b c === B 1a b c ===C 1,0,1a b c ===-D 1,0a b c ===1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=-+-4321αααα 。
2．若120s ααα+++= ，则向量组12,,,s ααα 必线性 。
3．1+n 个n 维向量构成的向量组一定是线性 的。
4． 数域F 上任一n 维向量空间都与nF 。
（不同构，同构） 5．A 满足022=++I A A ，则A 有特征值______________________。
6. 二次型yz xz xy z y x z y x f ++----=222),,(的矩阵是____________。
7. A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20001011k k 是正定阵，则k 满足条件__________________。
高等数学A(二)试卷及答案
高等数学A （二）考试试卷一、 填空题（每小题5分，共25分）1. 设2u 1sin ,2xu e x y x y π-=∂∂∂则在（，）处的值为_________。
2. 改变二次积分10(,)x I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I=_______________。
3. 设平面曲线Γ为下半圆周y =22()x y ds Γ+⎰=___________。
4. 若级数1n n u∞=∑的前n 项部分和是：1122(21)n S n =-+，则n u =______________。
5. 设)2,5,3(-=a ，(2,1,4)b =，(1,1,1)c =，若c b a ⊥+μλ，则λ和μ满足 。
二、 计算题（每小题10分，共70分）1. 求由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分。
(10分)2. 设21()x t f x e dx -=⎰，求10()f x dx ⎰。
（10分） 3. 计算xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面0,,1z z y y ===以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。
（10分）4. 计算dy xy ydx x L22+⎰，其中积分路径L 是xoy 平面上由点(2,0)A -顺次通过点(0,2)B 、(2,2)C 到点(2,4)D 的折线段。
（10分） 5. 把函数xx f 431)(+=展为1-x 的幂级数，并确定其收敛域。
6. 求点)3,2,1(-关于平面014=-++z y x 的对称点。
（10分）7. 要建造一个表面积为108平方米的长方形敞口水池，尺寸如何才能容积最大.。
（10分）三、证明题（5分）若0lim =∞→n n na ，且∑∞=+-+11])1[(n n n na a n 收敛于常数A ，试证明级数∑∞=1n n a 收敛。
答案课程名称：高等数学A(二) 试卷编号：5一、填空题。
（每小题5分，共25分）1.22e π，2.101(,)y dy f x y dx ⎰⎰，3.π，4.1(21)(21)n n -+， 5. 076=+μλ二、 计算题。
(完整版)高等代数II期末考试试卷及答案A卷
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间的两个子空间的交[]Px ()()11L x L x -+=2、设与是n 维线性空间 V 的两个基，12,,...,n εεε12,,...,n εεε'''由到的过渡矩阵是C ，列向量X 是V12,,...,n εεε12,,...,n εεε'''中向量在基下的坐标，则在基下ξ12,,...,n εεεξ12,,...,n εεε'''的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵的标准形是E A λ-5、线性方程组的最小二乘解所满足的线性方程组是：AX B =二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、（ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射；（B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。
3、（ ）矩阵可逆的充要条件是：λ-()A λ是一个非零常数；()()()()0;A A B A λλ≠是满秩的；是方阵。
()()C A λ()()D A λ4、（ ）设实二次型（A 为对称阵）经正交变换后化为：f X AX '=， 则其中的是：2221122...n n y y y λλλ+++12,,...n λλλ全是正数；是A 的所有特征值；不确定。
2020-2021大学《高等代数》期末课程考试试卷A(含答案)
2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、填空（共40分，每小题4分）1.向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为____________,它的一组基为__________________．2.已知111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，则_______,_______a b ==特征向量α对应的特征值0___________λ=．3.k 满足___________时，二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =--+---是负定的。
4.设矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000B y -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则_________,________x y ==．5.在空间[]n P x 中，设变换σ为()(1)()f x f x f x →+-，则σ在基0(1)(1)1,(1,2,1)!i x x x i i n i εε--+===-下的矩阵为____________________．6.相似矩阵的特征值__________.7.向量)1,3,2,4(),4,3,2,1(==βα,则内积=),(βα___________. 8.若A 是实对称矩阵,则 A 的特征值为____________.9.n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于___________________.10.对于线性空间V 中向量)1(,,,21≥r r ααα ,若在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ,使02211=+++r r k k k ααα ,则向量r ααα,,,21 称为_________.二、（15分）设V 是实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间，其中2100100,200A ωωω⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,求V 的维数和一组基.三、（15分）用非退化线性替换化二次型22212312132322448x x x x x x x x x ---++为标准形.四、（15分）在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在基1234,,,ηηηη下的坐标，设(1,0,1,0)ξ=1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩； 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩.五、（15分）设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换σ在这组基下的矩阵为1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭ 1）求σ在基11242234334442,3,,2ηεεεηεεεηεεηε=-+=--=+=下的矩阵； 2）求σ的核与值域.2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A 答案一、填空（共40分，每小题4分）1、向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为__2n -__________,它的一组基为122(1,1,0,,0,0),(0,0,1,,0,0),,(0,0,0,,1,0)n εεε-=-==_。
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北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期高等代数（II ）期末考试（A 卷）答案一、填空题(每题3分,共30分)1、设W 1和W 2是R n ⨯n 的两个子空间，其中W 1是由全体n 阶实反对称矩阵构成，W 2是由全体n 阶实下三角矩阵构成, 则 W 1+W 2的维数等于2n ．2. 设ε1 = (1,0,0), ε2 = (0,1,0), ε3 = (0,0,1), η1 = (0,0,2), η2 =(0,3,0), η3 = (4,0,0) 是线性空间P 3的两组基, 则从基η1, η2, η3到基ε1, ε2, ε3的过渡矩阵是 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡413121。
3、线性空间22⨯R 中，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5432A 在基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00011E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00112E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01113E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11114E 下的坐标为： ()T5111---.4、设P 3的线性变换T 为：T(x 1, x 2, x 3) = (x 1, x 2, x 1 + x 2)，取P 3的一组基：ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1)，则T 在该基下的矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111010001． .5、设欧氏空间R 3[x ]的内积为dx x g x f x g x f )()())(),((11⎰+-=则一组基1, x, x 2的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡520320323202． 6、已知三阶矩阵A 满足03E A 2E A E A =-=-=-，则=A 6 ．7、已知矩阵A 的初等因子组为λ2，(λ－１)2，则其Jordon 标准形矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110100 8、欧氏空间V 中两个向量βα,满足βαβα-=+，则α与β的夹角是090．9、3维欧氏空间R 3 (取标准内积)中的向量(2, 3,－1), (1, 1, 0),(0, 1,－1)生成的子空间的正交补空间的维数是 1 ．10、设321,,εεε是数域P 上的3维线性空间V 的一组基，f 是V 上的一个线性函数。
2011高等代数II期末考试试卷A
0 ⎟⎟ 0⎟
，则
A
与
B
。
⎜
⎟⎜
⎟
⎝1 1 1 1⎠ ⎝ 0 0 0 0⎠
A. 合同且相似
B. 合同但不相似
C. 不合同但相似
D. 不合同且不相似
矩阵。
第2页共8页
三、计算题：(每小题 10 分，共 30 分)
得分 评阅人
⎛1 0 0⎞
1．设
A
=
⎜ ⎜
1
0
1
⎟ ⎟
，证明：当
n
≥
3 时，有
An
=
An−2
。
第1页共8页
二、单项选择题：(每题 4 分，共 20 分)
得分 评阅人
⎛1 0
1.
与矩阵
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
−1 2
⎛1
⎞
A.
⎜ ⎜⎜⎝
−1
0
⎟ ⎟⎟⎠
；
⎛1
⎞
C.
⎜ ⎜
−1
⎟ ⎟
；
⎜⎝
−1⎟⎠
0⎞
2 2
⎟ ⎟⎟⎠
合同的矩阵是
。
⎛1
⎞
B.
⎜ ⎜⎜⎝
1
⎟ −1⎟⎟⎠
；
⎛ −1
⎞
D.
⎜ ⎜
−1
⎟ ⎟
时，该
2. 复数域作为实数域上的线性空间，其维数是 维，
可作为它的一组基。
⎛1 0 1⎞
3.
已知
0
是方阵
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 1
2 0
0 a
⎟ ⎟⎟⎠
的特征值，那么
a=
，方阵 A 的其它特征值为
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
2019—2020学年第二学期期末考试《高等数学(A)Ⅱ》试卷及答案
2019—2020学年第二学期考试卷（B ）卷一、填空题(每题3分，共15分)1. __________grad )(),(=-=f y x y x f 处的梯度，在点函数1132 2. _________d }),{(=≤+≤=⎰⎰Dy x y x D σ，则设94223. _______d }),,{(=≤≤≤≤-≤≤=Ω⎰⎰⎰Ωv x z y x z y x 2101110，则，，设4. ________=-∑∞=S n nnn 的和级数1423 5. _______d )(d )()()(=++-⎰1100，，曲线积分y y x x x y二、选择题(每题 3 分，共 15 分)1. ) (),(的驻点是函数y y xy x y x f 25422++-=0)0( D. )( C. )( B. 2(1 A.，，，），2112----d )(d D. d )(d C. d )(d B. d )(d A.)(d )(}),{( .cos 0cos 2012⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+≥≤+=θπθπππθθθθσ222202122022222022r r rf r r f r r rf r r f y x f y x y x y x D D ，则且设d sin )(d d B. d )(d d A.)()d ( .02040⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++==++ΩΩ4211202222222213ππππρϕρρϕθρρρϕθf f v z y x f y x z z y x 围成，则及由曲面设d cos )(d d D. d sin )(d d C.02040⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211020ππππρϕρρϕθρϕρρϕθf fD. C. B. A.)(sin)( .敛散性不确定条件收敛绝对收敛发散 级数∑∞=-1114n n ncos D. cos C. sin B. sin A.)(sin .212121215C x C x y C x C x y C x C x y C x C x y x y ++=++-=++=++-=='' 的通解为微分方程姓名： 学号： 教学班级： 教学小班序号：4. 的折线段，与，，，是连接其中，求) () ( ) ( d )(30000142B O A C s y x I C⎰+=5. 的收敛半径及收敛域求幂级数∑∞=⋅121n nnx n6. 的通解求微分方程xy x y y x e +='装Ｏ订Ｏ线Ｏ2019—2020学年第二学期期末考试《高等数学(A)Ⅱ》答案及评分标准一、填空题(每题3分，共15分) 1. }{32，- 2. π5 3.324. 25. 1 二、选择题(每题3分，共15分)1. B2. D3. B4. C5. A 三、计算题(每题 7分，共49分)1. xy xy x e y x y e z )( 3++='Θ解：, xy xyy e y x x ez )(33++=' 1113--='∴e z x),( 5分，111--='e z y),(，dy e dx e dy z dx z dz y x 113--+='+'=故2. 234x z x y ='=',Θ解：，},,{341=∴T ρ切向量 314211-=-=-z y x 故切线方程为 ， 013241=-+-+-)()(z y x 法平面方程为分，即01234=-++z y x3. ⎰⎰⎰⋅=4020 2 2d d d r z r r r I πθ解：⎰⎰-=2022204 )d (d r r r πθ⎰=πθ201564 d 15128π=4. ⎰⎰+++=OB AO ds y x ds y x I )()( 2244解：⎰⎰+=302104dy y xdx 303102312y x +=11= 5. 2112212111=+=⋅⋅+=∞→+∞→)(lim /)/(lim n n n n n nn n ρΘ解： ，2=∴R时当2-=x ，收敛级数∑∞=-1)1(n n n ，时当2=x ，发散级数∑∞=11n n ，),[22-故收敛域为 6. x ye x y y +='原方程化为解： ，x y u =令，x x u eu d d 11=则原方程化为x xu e u d d ⎰⎰=⇒-1，C x e u +=-⇒-ln ，)ln ln( ln C x x y C x e x y ---=+=--即，故所求通解为四、综合题(每题 10分，共20分)1. 2222x x e Q y x e P yy-=+=sin cos ，令解：，则x x e xQy x e y P y y -=∂∂+=∂∂cos cos ，4，⎰⎰+=⇒Dy x y x I d d )(4y y x x xd )(d x⎰⎰+=3104⎰=1218 d x x 1036x =6=2. 0652=++r r 特征方程为解：， 3221-=-=⇒r r 、， x x C C Y y y y 3221065--+==+'+''e e 的通解为故b ax y +=*设特解，76656-=++x b a ax y *代入原方程得把 ，⎩⎨⎧-=+=⇒7656b a a 621-==⇒b a 、，2-=⇒x y *，23221-++=--x C e C y x x e 故所求通解为 五、证明题 ( 8分))!()!()!()!()!()!(n n n n n 22212222≤+++ΛΘ证：141122121211222<=++=⋅+++=∞→∞→)()(lim )!()!()]!([])!)[((lim n n n n n n n n n n n ρ又收敛级数∑∞=∴122n n n n )!()!( ，收敛故级数∑∞=+++1222221n n n )!()!()!()!(Λ。
(完整word版)免费-高等代数试卷二及答案
高等代数试卷二一、 单项选择题（每小题2分，共10分）【 】1、设)(x f 为3次实系数多项式，则A.)(x f 至少有一个有理根B. )(x f 至少有一个实根C.)(x f 存在一对非实共轭复根D. )(x f 有三个实根.【 】2、设,A B 为任意两个n 级方阵，则如下等式成立的是 A. 222()2A B A AB B +=++ B. A B A B +=+ C. AB B A = D. A B A B -=-【 】3、设向量组12,αα线性无关，则向量组1212,a b c d αααα++线性无关的充分必要条件为A. ad bc ≠B. ad bc =C. ab cd ≠D. ab cd = 【 】4.一个(2)n ≥级方阵A 经过若干次初等变换之后变为B , 则一定有A. A B =B. 0Ax =与0Bx =同解C. 秩()A =秩()BD. **A B =【 】5、设矩阵A 和B 分别是23⨯和33⨯的矩阵，秩()2A =，秩()3B =，则秩()AB 是A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题2分，共20分）1．多项式)(x f 没有重因式的充要条件是 . 2 .若()()1f x g x +=,则((),())f x g x = .3. 设1230231002A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则*1()A -= .4. 行列式1230000a a a 的代数余子式之和:313233A A A ++为______________. 5.设3级方阵1211222,2A B ααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,i i αβ均为3维行向量。
若16,2A B ==，则A B -= .6. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为0, 则 r(A)= .7.线性方程组 121232343414x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩, 有解的充要条件是 .8. 若向量组12,,r ααα可由12,,s βββ线性表示，且12,,r ααα线性无关，则r s.9.设A 为3级矩阵, 且12A =, 则 1*A A --= 10. 设001200373*******A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭, 则1A -= .三、判断题（每小题2分，共10分）【 】1、若不可约多项式p(x)是()f x '的2重因式,则p(x)是)(x f 的3重因式.【 】2、设n 级方阵A 为可逆矩阵，则对任意的n 维向量β，线性方程组Ax β=都有解。
(完整word版)高等代数第二学期试题
第二学期期末考试《高等代数》试题一、填空：（每空2分，共30分）1、n 元二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数______________。
2、A 为正定矩阵，则A _______。
3、),(21s L αααΛ的维数__________向量组s αααΛ21,的秩。
4、1V ，2V 都是线性空间V 的子空间，则维1V +维2V =______________。
5、和1V +2V 是直和的充要条件为=⋂21V V ___________。
6、数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是______________。
7、A ，B 是两个线性变换，它们在基n εεεΛ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则A+B 在基n εεεΛ,,21下的矩阵为______________。
8、A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 的秩+A 的零度=______________。
9、在欧几里德空间中，α=_______。
><βα,=_______。
10、欧几里德空间的一组标准正交基的度量矩阵为_______。
11、A 为正交矩阵，则A =_______，1-A =_______。
二、判断（每题2分，共10分）1、A 的值域是A 的不变子空间，但A 的核不是A 的不变子空间（ ）。
２、两个子空间的交还是线性空间V 的子空间（ ）。
3、线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的（ ）。
4、线性变换把线性无关的向量变为线性无关的向量（ ）。
5、度量矩阵是正定矩阵（ ）。
三、t 取什么值时，二次型3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++正定？（10分）四、在4P 中，求向量ξ在基4321,,,εεεε下的坐标，其中=1ε（1，1，1，1），=2ε(1，1，-1，-1)，=3ε（1，-1，1，-1）=4ε（1，-1，-1，1），ξ=（1，2，1，1）（10分）五、3P 中，令),4,2(),,(213131321a a a a a a a a a -+-=σ，求σ在基},,{321εεε下的矩阵。
高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)
高等代数〔II 〕期末考试试卷及答案〔A 卷〕一、 填空题〔每题3分，共15分〕1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε及12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基，由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，那么ξ在基12,,...,n εεε'''下的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，那么A 及B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+ 那么其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题〔每题3分，共15分〕1、 〔 〕复数域C 作为实数域R 上的线性空间可及以下哪一个线性空间同构：〔A 〕数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； 〔B 〕数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； 〔C 〕数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； 〔D 〕复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、〔 〕设是非零线性空间 V 的线性变换，那么以下命题正确的选项是：〔A 〕的核是零子空间的充要条件是是满射；〔B 〕的核是V 的充要条件是是满射； 〔C 〕的值域是零子空间的充要条件是是满射；〔D 〕的值域是V 的充要条件是是满射。
3、〔 〕λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、〔 〕设实二次型f X AX '=〔A 为对称阵〕经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 那么其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
10-11高等代数(二)试卷A及答案
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徐州工程学院试卷
七、 （共 1 题，12 分）
⎛1 a a⎞ ⎜ ⎟ 设 A = a a 1 ，其中 a ≠ 0 。 ⎜ ⎟ ⎜1 a a⎟ ⎝ ⎠
（1）求 A 的特征值和特征向量； （2） a 取何值时 A 可以对角化？并求可逆阵 P ，使得 P −1 AP 为对角阵。 八、 （共 1 题， 10 分）
⎛1 ⎜ 1 ( β1 , β 2 , β3 , β 4 ) = (ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) ⎜ ⎜8 ⎜ ⎝3
= (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) A−1 B
0 3 7 2
1 −1⎞ ⎟ 1 4⎟ = (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) B 6 −1⎟ ⎟ 2 −1⎠
⎛ −23 −7 −9 8 ⎞ ⎜ ⎟ 6 3 3 −1⎟ ⎜ 由基 α1 , α 2 , α 3 , α 4 到基 β1 , β 2 , β3 , β 4 的过渡矩阵 ⎜ 2 3 2 1⎟ ⎜ ⎟ 2 2 −1⎠ ⎝ 3 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4⎟ −1 ⎜ 4 ⎟ ⎜ α = (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) = (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) A ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
∀A ∈ V ,设 A = ( aij ) , a11 + a22 + a33 = 0
则 A = − a22 A1 − a33 A2 + a12 E12 + a13 E13 + a21 E21 + a31 E31 + a32 E32 所以 A1 , A2 , E12 , E13 , E23 , E21 , E31 , E32 是 V 的一组基, V 的维数是 8 四、解: V1 = L (α1 α 2 ) ,V2 = L ( β1
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高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()D 以上各情形皆有可能。
三、 是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =则12VV V =⊕。
2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。
3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。
4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。
5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
四、 解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间4P 中，定义线性变换：()()()()4,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P '''=++∀∈（1）求该线性变换 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。
2、（1）求线性空间[]3Px 中从基()()()2:1,1,1I x x --到基()()()2:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；（2）求线性空间[]3Px 中向量()2123f x x x =-+在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标。
3、在R 2中，()()1212,,,a a b b αβ∀==，规定二元函数：()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+（1） 证明：这是R 2的一个内积。
（2） 求R 2的一个标准正交基。
五、 证明题（每小题10分，共30分）1、 设P 3的两个子空间分别为：(){}(){}11231232123123,,0,,,0W x x x x xx W x x x x xx =++==--= 证明：（1）312P W W =+；（2）12W W +不是直和。
2、设 是数域P 上线性空间V 的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,i Wi r α∈=3、已知A E -是n 级正定矩阵，证明： （1）A 是正定矩阵； （2）23n A E +>答案一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+={}2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是1C X-3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 相似关系4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是()10000001λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：A AX A B''=二、 单项选择题（每小题3分，共15分）2、 （ A ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ D ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ B ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ C ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
5、（ A ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当标准形是：()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()D 以上各情形皆有可能。
三、 是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”） 1、（ × ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =则12VV V =⊕。
2、（ √ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。
3、（ √ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。
4、（ × ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。
5、（ √ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
四、 解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间4P 中，定义线性变换：()()()()4,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P '''=++∀∈（1）求该线性变换 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。
解：（1）线性变换 在自然基下的矩阵是1000010010100101A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（5分）（2）因为()41E A λλ-=-所以矩阵A 的所有特征值是12341λλλλ====解齐次线性方程组()0E A X -=得矩阵A 的所有特征向量：()()120,0,1,00,0,0,1k k ''+，其中12,k k 不全为零。
（5分）2、（1）求线性空间[]3Px 中从基()()()2:1,1,1I x x --到基()()()2:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；（2）求线性空间[]3Px 中向量()2123f x x x =-+在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标。
解：（1）因为()()()()221111,1,11,,012001x x x x -⎛⎫⎪--=- ⎪ ⎪⎝⎭()()()()221111,1,11,,012001x x x x ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭所以()()()()()()1221111111,1,11,1,1012012001001x x x x --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()21111111,1,1012012001001x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即所求的过渡矩阵为124014001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（5分） （2）因为()()()()221111,,1,1,1012001x x x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭故()()2211231,,23f x x x x x ⎛⎫ ⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭()()()()()2211111,1,10122241310013x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=---=+-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以()f x 在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标是：243⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（5分） 3、在R 2中，()()1212,,,a a b b αβ∀==，规定二元函数： ()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+()()()21241,1,1014001x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭（3） 证明：这是R 2的一个内积。