分布检验和拟合优度χ2检验
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一、适用范围
Kolmogorov-Smirnov检验常译为柯尔莫哥洛夫-斯 米尔诺夫检验，简写为K-S检验，亦称D检验法，也 是一种拟合优度检验法。K-S单样本检验主要用来检 验一组样本数据的实际分布是否与某一指定的理论 分布相符合。
二、基本原理和方法
1、基本原理：
这种检验主要是将理论分布下的累计频数分布与观 察到的累计频数分布相比较，找出它们间最大的差 异点，并参照抽样分布，定出这样大的差异是否处 于偶然。
Dn max F(x) Fn (x)
若对每一个x值来说，Fn(x)与F(x)都十分接近，则表 明实际样本的分布函数与理论分布函数的拟合程度很 高。
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三、检验步骤
1.建立假设组：
H0：Fn(x)=F(x) H1：Fn(x)≠F(x) 2.计算样本累计频率与理论分布累计概率的
D max S1(x) S2 (x)
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三、检验步骤
1、双尾检验假设：H0：S1(x)=S2(x)
H1：S1(x)≠S2(x)
单尾检验假设：
H0：S1(x)=S2(x)或H0：S1(x)=S2(x) H1：S1(x)>S2(x) H1：S1(x)<S2(x) 2、把两组样本分别排成累计频数分布（对两
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2、方法
用 Fn(x)表示样本量为n的随机样本观察值的 累计分布函数，且Fn(x) =i/n（i是等于或小于x 的所有观察结果的数目，i=1，2，…，n）。 F(x)表示理论分布的累计概率分布函数。K-S 单样本检验通过样本的累计分布函数Fn(x)和理 论分布函数F(x)的比较来做拟合优度检验。检 验统计量是F(x)与Fn(x)间的最大偏差Dn：
个分布用相同的间隔或分类，并利用尽可能多 的间隔。
3、计算检验统计量D值，如是单尾检验，应 按H 的方向计算D值。 1 www.ctbu.edu.cn
三、检验步骤
4、显著性检验：
⑴小样本情况下，及n1= n2=n，n≤30，用附 表12。对于单尾检验和双尾检验，该表列出 了不同显著性水平下的临界值。
绝对差，令最大的绝对差为Dn；
Dn max F(x) Fn (x)
3.用样本容量n和显著水平a在附表11中查出 临界值Dna；
4.通过Dn与Dna的比较做出判断，若Dn＜Dna， 则认为拟合是满意的。
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四、实例
例8.1：正态拟合。
某织布厂工人执行的生产定额（织机每小时生产织 物的米物）情况如表8-1，试检验这些样本数据能 否作正态拟合？
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例8.1
根据表8-2中第(5)列数据，取最大绝对差数
Ｄ1ooo =0.025作为检验统计量。若取a=0.05， n=1000，从临界值表中查得：
D (1000,0.05)
。1.36 0.043
1000
因为Ｄ1ooo＜0.043，故认为样本数据所提供的信息 无法拒绝H0，即接受H0，认为可做正态分布的拟合。
Ｋ－Ｓ检验法是一种精确分布的方法，不受观察次 数多少的限制。这个方法可应用于分组或不分组的 情形。检验量Dn也可用于检验随机样本是否抽自某 特定的总体的问题。
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第二节 K-S双样本分布检验
一、适用范围 K-S双样本检验主要用来检验两个独立样本是否来自
同一总体（或两样本的总体分布是否相同）。其单 尾检验主要用来检验某一样本的总体值是否随机地 大于（或小于）另一样本的总体值。 二、理论依据和方法 1、理论依据： 与K-S单样本检验相似，K-S双样本检验是通过两个 样本的累计频数分布是否相当接近来判断Ho是否为 真。如果两个样本间的累计概率分布的离差很大，
第八章 分布检验和拟合优度χ2检验
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第八章 分布检验和拟合优度χ2检验
1 Kolmogorov-Smirnov 单样本检验及一些正态性检验
2 Kolmogorov-Smirnov 两样本分布检验
3
Pearson χ2 拟合优度检验
5
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第一节 K—S单样本分布检验
4.75-5.25 -0.28～1.14 0.483 0.873 890 0.890 0.017
5.25-5.75 1.14～2.56 0.122 0.995 993 0.993 0.002
5.75-6.25 2.56-+∞ 0.005 1.000 1000 1.000 0.000
合 计 —— 1.000 —— - —— ——
x=4.85；s=0.352,分别作为Û和的 估计值，
建立假设： H0：样本数据服从均值为4.85，标准差为
0.352的正态分布 H1：样本数据不服从均值为4.85，标准差为
0.352的正态分布 计算资料列如表8-2：
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表8-2
表8-2 正态拟合计算表
标准
这就意味着两样本来自不同的总体，就应拒绝Ho。
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2、方法
如果令S1（x）表示第一个样本观察值 的累计概率分布函数，S2（x）表示另 一个样本观察值的累计概率分布函数， 那么K-S双样本的单尾检验统计量为：
D max[ S1(x) S2 (x)]
K-S双样本的双尾检验统计量为：
X的组限
化
标准正 态概率
累 计 概 累计 率 ( 理 工人 论概率) 数
实际累 计频率
(2)-(4) 的绝 对 值
甲
乙
（1） （2） （3） （4） （5）
不足4.25 -∞～-1.70 0.045 0.045 20 0.020 0.025
4.25-4.75 -1.70～-0.28 0.345 0.390 392 0.392 0.002
表8-1 工人执行生产定额情况分组表
按定额执行情况分组
3.75～4.25 4.25～4.75 4.75～5.25 5.25～5.75 5.75～6.25
工人数 20 372 498 103 7
1000
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例8.1 正态拟合
解：首先，由于做正态拟合的均值、标准差 未知，因此，先计算样本均值和标准差，再 做正态拟合。通过对样本资料的计算得：
Kolmogorov-Smirnov检验常译为柯尔莫哥洛夫-斯 米尔诺夫检验，简写为K-S检验，亦称D检验法，也 是一种拟合优度检验法。K-S单样本检验主要用来检 验一组样本数据的实际分布是否与某一指定的理论 分布相符合。
二、基本原理和方法
1、基本原理：
这种检验主要是将理论分布下的累计频数分布与观 察到的累计频数分布相比较，找出它们间最大的差 异点，并参照抽样分布，定出这样大的差异是否处 于偶然。
Dn max F(x) Fn (x)
若对每一个x值来说，Fn(x)与F(x)都十分接近，则表 明实际样本的分布函数与理论分布函数的拟合程度很 高。
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三、检验步骤
1.建立假设组：
H0：Fn(x)=F(x) H1：Fn(x)≠F(x) 2.计算样本累计频率与理论分布累计概率的
D max S1(x) S2 (x)
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三、检验步骤
1、双尾检验假设：H0：S1(x)=S2(x)
H1：S1(x)≠S2(x)
单尾检验假设：
H0：S1(x)=S2(x)或H0：S1(x)=S2(x) H1：S1(x)>S2(x) H1：S1(x)<S2(x) 2、把两组样本分别排成累计频数分布（对两
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2、方法
用 Fn(x)表示样本量为n的随机样本观察值的 累计分布函数，且Fn(x) =i/n（i是等于或小于x 的所有观察结果的数目，i=1，2，…，n）。 F(x)表示理论分布的累计概率分布函数。K-S 单样本检验通过样本的累计分布函数Fn(x)和理 论分布函数F(x)的比较来做拟合优度检验。检 验统计量是F(x)与Fn(x)间的最大偏差Dn：
个分布用相同的间隔或分类，并利用尽可能多 的间隔。
3、计算检验统计量D值，如是单尾检验，应 按H 的方向计算D值。 1 www.ctbu.edu.cn
三、检验步骤
4、显著性检验：
⑴小样本情况下，及n1= n2=n，n≤30，用附 表12。对于单尾检验和双尾检验，该表列出 了不同显著性水平下的临界值。
绝对差，令最大的绝对差为Dn；
Dn max F(x) Fn (x)
3.用样本容量n和显著水平a在附表11中查出 临界值Dna；
4.通过Dn与Dna的比较做出判断，若Dn＜Dna， 则认为拟合是满意的。
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四、实例
例8.1：正态拟合。
某织布厂工人执行的生产定额（织机每小时生产织 物的米物）情况如表8-1，试检验这些样本数据能 否作正态拟合？
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例8.1
根据表8-2中第(5)列数据，取最大绝对差数
Ｄ1ooo =0.025作为检验统计量。若取a=0.05， n=1000，从临界值表中查得：
D (1000,0.05)
。1.36 0.043
1000
因为Ｄ1ooo＜0.043，故认为样本数据所提供的信息 无法拒绝H0，即接受H0，认为可做正态分布的拟合。
Ｋ－Ｓ检验法是一种精确分布的方法，不受观察次 数多少的限制。这个方法可应用于分组或不分组的 情形。检验量Dn也可用于检验随机样本是否抽自某 特定的总体的问题。
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第二节 K-S双样本分布检验
一、适用范围 K-S双样本检验主要用来检验两个独立样本是否来自
同一总体（或两样本的总体分布是否相同）。其单 尾检验主要用来检验某一样本的总体值是否随机地 大于（或小于）另一样本的总体值。 二、理论依据和方法 1、理论依据： 与K-S单样本检验相似，K-S双样本检验是通过两个 样本的累计频数分布是否相当接近来判断Ho是否为 真。如果两个样本间的累计概率分布的离差很大，
第八章 分布检验和拟合优度χ2检验
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第八章 分布检验和拟合优度χ2检验
1 Kolmogorov-Smirnov 单样本检验及一些正态性检验
2 Kolmogorov-Smirnov 两样本分布检验
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Pearson χ2 拟合优度检验
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第一节 K—S单样本分布检验
4.75-5.25 -0.28～1.14 0.483 0.873 890 0.890 0.017
5.25-5.75 1.14～2.56 0.122 0.995 993 0.993 0.002
5.75-6.25 2.56-+∞ 0.005 1.000 1000 1.000 0.000
合 计 —— 1.000 —— - —— ——
x=4.85；s=0.352,分别作为Û和的 估计值，
建立假设： H0：样本数据服从均值为4.85，标准差为
0.352的正态分布 H1：样本数据不服从均值为4.85，标准差为
0.352的正态分布 计算资料列如表8-2：
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表8-2
表8-2 正态拟合计算表
标准
这就意味着两样本来自不同的总体，就应拒绝Ho。
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2、方法
如果令S1（x）表示第一个样本观察值 的累计概率分布函数，S2（x）表示另 一个样本观察值的累计概率分布函数， 那么K-S双样本的单尾检验统计量为：
D max[ S1(x) S2 (x)]
K-S双样本的双尾检验统计量为：
X的组限
化
标准正 态概率
累 计 概 累计 率 ( 理 工人 论概率) 数
实际累 计频率
(2)-(4) 的绝 对 值
甲
乙
（1） （2） （3） （4） （5）
不足4.25 -∞～-1.70 0.045 0.045 20 0.020 0.025
4.25-4.75 -1.70～-0.28 0.345 0.390 392 0.392 0.002
表8-1 工人执行生产定额情况分组表
按定额执行情况分组
3.75～4.25 4.25～4.75 4.75～5.25 5.25～5.75 5.75～6.25
工人数 20 372 498 103 7
1000
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例8.1 正态拟合
解：首先，由于做正态拟合的均值、标准差 未知，因此，先计算样本均值和标准差，再 做正态拟合。通过对样本资料的计算得：