二元二次方程组及其解法

二元二次方程组及其解法

知识点1：二元二次方程及二元二次方程组的有关概念：

1、 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程，

叫做二元二次方程。

如：0542

2

=-+y xy x ，5=xy ，042

2

=-y x ，024522

2

=+++-y x y xy x 等。 2、 注意点：

（1）二元二次方程是整式方程。（2）二元二次方程含有两个未知数。 （3）含有未知数的项的最高次数是2 3、一般式 ：

220ax bxy cy dx ey f +++++=．这里，必须强调a 、b 、c 中至少有一个不是零，否则

就不是二元二次方程了。“a 、b 、c 中至少有一个不是零”也可以说成“a 、b 、c 不都为零”，但不能说成“不为零”或“都不为零”，因为它们的意义是不一样的。 4、二元二次方程的解：

能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解。 5、二元二次方程组：

定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。如：

6、二元二次方程组的解：

二元二次方程组中所含方程的公共解，叫做二元二次方程组的解。

例1、在方程组①⎩⎨⎧==-132xy y x 、②()⎩⎨⎧=-=-12232xy x x y x 、③⎩⎨⎧=-=-32232y y x 、④⎪⎩

⎪⎨⎧=-=+57xy x xy x 、

⑤⎩⎨

⎧-==2

4

yz xy 中，是二元二次方程组的共有＿＿＿＿＿个.

分析：抓住关键（1）组内方程是整式方程。（2）方程组中含有两个未知数。 （3）含有未知数的项的最高次数是2

答：①③是二元二次方程组。②中()12=-xy x x 含有未知数的项的最高次数是3。④中方程不是整式方程。⑤方程组中含有3个未知数。

限时训练：

1、下列各方程中不是二元二次方程的是 （ ） +xy=5 +y 2

=3 +2y 1=0

2、已知一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是

⎩⎨

⎧==2

1y x

和

⎩⎨

⎧-=-=2

1y x ,试写出一个符合要求的方程组_______________。

3、

4、已知24

213x x y m y x y =⎧-=⎧⎨⎨

=-+=⎩⎩是方程的解，则m 的值为______ 答案：1、B ；2、⎩⎨⎧==+x

y y x 25

22等；3、1≠m ；4、3±

知识点2：二元二次方程组的解法 1、解二元二次方程组的基本思想：

解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次．因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程。

2、用代入消元法解二元二次方程组：

型如 的二元二次方程组,一般采用代入消元法解.(最多有两组解) 例2．解方程组22

21,431x y x y x y -=⎧⎨-++=⎩ 分析：此类型二元二次方程组一般用代入消元法解 解：①变形得y=2x-1，③ 把③代入②得

x 2

-4（2x-1）2

+x+3（2x-1）=1， 15x 2

-23x+8=0， （15x-8）（x-1）=0，

① ②

∴x 1=

8

15

，x 2=1． 把x 1，x 2代入③得y 1=

1

15

，y 2=1． ∴方程组的解为 118,15

1;15x y ⎧=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩

22

1,

.1x y =⎧⎨=⎩ 小结：这种类型方程组的解题步骤：

1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式． 2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程． 3．解一元二次方程或一元一次方程．

4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数． 5．写出方程组的解． 限时训练：

1、下列方程组中，不能直接用代人消元法来解的方程组是………… （ ） Ａ、⎩⎨

⎧=-=-+51

)4)(1(y x y x Ｂ、⎩⎨⎧=+=+1

12

2y x y x Ｃ、⎩⎨⎧=-=-523154922y x y x Ｄ、⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0

24

2222

2y xy x y x

A. y 2

+17y+60=0 +60=0 +17y+120=0 +17y+120=0

3、的解的情况是方程⎩

⎨

⎧=-=+21

22y x y x （ ） A.无实数解 B.有两个相等的实数解 C.有两个不相等的实数解 D.只有一组解 答案：1、D ；2、B ；3、A

压轴题：

建议修改：1、中考链接：（2006）解方程组：2

30,

10x y x y --=⎧⎨

++=⎩．

修改为：（杨浦区2011二模20题）解方程组：2

2

6320

x y x xy y +=⎧⎨

-+=⎩

2、解方程组：⎩⎨⎧=+-=+--0

120

11262y x y x x

1. 答案：1、⎩⎨⎧-=-=5211y x ⎩⎨⎧-==21

22y x ；2、1113x y =⎧⎨=⎩ 22

13x y =⎧⎨=⎩

3、用因式分解法二元二次方程组： 型如⎩

⎨

⎧二元二次方程二元二次方程

的二元二决方程组,可先把一个方程分解为两个二元一次方程,再把

这两个二元一次方程分别与另一个方程组成两个方程组,再分别解这两个方程组,就得到原方程组的解(最多4组解).

例3．1、解方程组22

22

560,

1120.

x xy y x y x y ⎧-+=⎪⎨++--=⎪⎩ 分析：①可分解，然后与②组成新的方程组． 解：①分解得（x-2y ）（x-3y ）=0， ∴原方程组转化为以下两个方程组

2220,1120.x y x y x y -=⎧⎨++--=⎩和22

30,

1120.

x y x y x y -=⎧⎨++--=⎩ 分别用代入法解这两个方程组得到原方程组的解为：

113,1;x y =⎧⎨

=⎩ 224,2;x y =⎧⎨=⎩ 332,51;5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 443,5

1;5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

2、⎪⎩⎪⎨⎧=++=-120

92222y xy x y x

解：将方程①的左边分解因式,方程①可变形为 0)3)(3(=-+y x y x .

得 03=+y x 或 03=-y x . 方程②可变形为 1)(2

=+y x .

① ②

① ②