知识讲解_充分条件与必要条件(经典)

充分条件与必要条件
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；
2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；
3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达
命题之间的关系.
4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.
【要点梳理】
要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念
符号p q ⇒与p q ⇒/的含义
“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；
“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.
充分条件、必要条件与充要条件
①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.
②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p
是q 的充要条件.
要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到
q .
①“若p ，则q ”为真命题；
②p 是q 的充分条件；
③q 是p 的必要条件
以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.
要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系
①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；
②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；
③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；
④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
从集合与集合间的关系看
若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，
①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；
②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件；
③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；
④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要
条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：
①确定哪是条件，哪是结论；
②尝试用条件推结论，
③再尝试用结论推条件，
④最后判断条件是结论的什么条件.
要点三、充要条件的证明
要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又
要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）
要点诠释：对于命题“若p ，则q ”
①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真
命题；
②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真
命题；
③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.
【典型例题】
类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定
例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？
(1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =；
(2) p : 0c =，q : 抛物线2
y ax bx c =++过原点
(3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等
【解析】
(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =
∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件；
(2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；
(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.
【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.
有时需要将条件等价转化后再判定.
举一反三：
【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？
（1）p ：A B ∠=∠，q ：A ∠和B ∠是对顶角.
（2）:1p x =，2:1q x =；
【答案】
（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，
∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.
（2）∵2:111q x x x =⇔==-或
∴211x x =⇒=，但2
11x x =⇒=/， ∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.
【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.
（1）p :0a >且0b >, q :0ab >
（2）p :
1>y x , q : x y >. 【答案】
（1）p 是q 的充分不必要条件.
∵0a >且0b >时，0ab >成立；
反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.
∴必要性不成立.
（2）p 是q 的既不充分也不必要条件 ∵1>y
x 在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.
【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】
例2. 已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
【解析】q ：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q ：-1<x<3.
如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)， 从图中看P Q ， p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以选择（A ）.
【总结升华】
①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；
②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.
举一反三：
【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】
【变式1】设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）
A.1x >
B.1x <
C.3x >
D.3x <
【答案】A
【变式2】（2015 天津文）设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的（ ）
A ． 充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】由|x －2|＜1⇒ －1＜x －2＜1⇒－1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件.
故选:A.
【变式3】 (2015 福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B ．
类型二：充要条件的探求与证明
例3. 设x 、y ∈R ，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【解析】
（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，
于是|x+y|=|x|+|y|
如果xy ＞0，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，
当x ＞0，y ＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.
当x ＜0，y ＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.
总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.
（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，
即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2，|xy|=xy ，
∴xy≥0.
综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.
判断命题的充要关系有三种方法：
（1）定义法；
（2）等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⇒⌝；B A ⇒与A B ⌝⇒⌝；A B ⇔与A B ⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.
（3）利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件.
举一反三：
【变式1】已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
【答案】
（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2, ∵ac<0, ∴x 1·x 2=a
c <0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0， 则x 1·x 2=a
c <0，∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.
【变式2】求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.
【答案】
（1）a=0时适合.
（2）当a≠0时，显然方程没有零根， 若方程有两异号的实根，则必须满足100440
a a a ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩； 若方程有两个负的实根，则必须满足10
20
01440
a a a
a ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩
综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1
类型三：充要条件的应用
例4. 已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，
∵p 是q 的充分不必要条件，
∴p q ⇒，即A B ，
可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内
∴Δ＝a 2－4<0或01224210110
a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】
解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.
举一反三：
【变式1】已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．
【答案】0<c ≤2
【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子
集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117
c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.
【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --
≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.
【答案】9m ≥
【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23
x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以
012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩
解得9m ≥。