偏微分方程的matlab解法

例： 解热传导方程 ut u f
边界条件是齐次类型，定解区域自定。
【解】 第一步：启动MATLAB，键入命令pdetool并回车，就 进入GUI．在Options菜单下选择Gid命令，打开栅格， 栅格使用户容易确定所绘图形的大小． 第二步：选定定解区域本题为自定区域：自拟定解区 域如图22 1所示：E1-E2+R1-E3．具体用快捷工具分别 画椭圆E1、圆E2、矩形R1、圆E3．然后在Set formula 栏中进行编辑并用算术运算符将图形对象名称连接起 来(或删去默认的表达式，直接键入E1-E2+R1-E3)
偏微分方程的matlab解法
主要讲述如何用MATLAB实现对偏微分方程的仿 真求解．MATLAB的偏微分方程工具箱（PDE Toolbox）的出现，为偏微分方程的求解以及定 性研究提供了捷径．主要步骤为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1、设置PDE的定解问题．即设置二维定解区域、 边界条件以及方程的形式；和系数
2、用有限元法（FEM）求解PDE．即网格的生 成、方程的离散以及求出数值解；
第七步：单击Plot菜单中Parameter选项，打开Plot Selection对话框，选中Color,Height(3D plot)和 Show mesh三项.再单击Polt按钮，显示三维图形解， 如图22.5所示.
第八步：若要画等值线图和矢量场图，单击plot菜单 中parameter 选项，在plot selection对话框中选中 contour 和arrow两选项。然后单击plot按钮，可显 示解的等值线图和矢量场图，如图2.6所示。
求解双曲型方程的例子
例24.2.1 用 MATLAB 求解下面波动方程定解问题并动态显示解的分布

2u (2u t 2 x2
2u ) 0 y 2

u
|x
1

u
|x1

0,
u y
y 1

u y
y1 0

π
π
u(x,
y, 0)

atan[ sin(
例如，对于细杆导热，虽然是一维问题， 可以将宽度y虚拟出来，对应于y的边界 条件和初始条件按照题意制定
Boundary Mode

PDE Mode
PDE Specification，确定偏 微分方程类型共有四种：
椭圆形Elliptic

抛物型Parabolic

双曲型Hyperbolic

图 22.2 定解问题的边界
第四步：设置方程类型
选择PDE菜单中PDE Mode命令，进入PDE模式， 再单击PDE菜单中PDE Secification选项，打开 PDE Secification对话框，设置方程类型．
本例取抛物型方程 d u (cu) au f ,
t
故参数c,a,f,d,分别是l，0，10，1．
保持在100 °C，板的右边热量从板向环境空气定常流动，
t t 其他边及内孔边界保持绝缘。初始
°C ，于是概括为如下定解问题;
是板的温度为0 0
d u u0, t
u 100 ,在左边界上
u 1，在右边界上 n u = 0，其他边界上 n
u tto 0
区域的边界顶点坐标为(-0.5,-0.8), (0.5,-0.8), (-0.5,0.8), (0.5,0.8)。 内边界顶点坐标(-0.05,-0.4), (-0.05,0.4) ,(0.05,-0.4), (0.05,0.4)。
第五步：选择Mesh菜单中Initialize Mesh命令，
进行网格剖分， 选择Mesh菜单中Refine Mesh命令，使网格密集化，
如图22.3．
图 22.3 网格密集化
第六步： 解偏微分方程并显示图形解
选择Solve菜单中Solve PDE命令，解 偏微分方程并显示图形解，如图 2.4 所示
3、解的可视化．
PDEToolbox注意事项
只能解决二维模型，一维的扩成二维，三 维的缩成二维，时间维不计算在内 公式类型，只能解决部分偏微分方程，由 公式类型决定 边界条件两种，Dirichlet和Neumann 初始条件
先确定方程大类
Draw Mode
画图模式，先将处理的区域画出来，二 维，方形，圆形，支持多边形，可以手 动更改坐标，旋转rotate
2
x)], ut
( x,
y,
0)

2
cos(πx)

exp[cos(
2
y)]
已知求解域是方形区域，空间坐标的个数由具体问题确定．
Mesh Mode
网格划分，细化
Solve，Plot
如果有初始条件（与t有关），则在 Solve的Parameters里有其设定，如果 没有初始条件（与t无关），则不必设 定Plot只是确定画图的参数，包括是否 动画，是否3D，是否画出等温线，是否 有箭头。。。
Save As
保存成M-file，自动生成
第三步：选取边界
首先选择Boundary菜单中Boundary Mode 命令，进入边界模式．然后单击Boundary菜单 中Remove All Subdomain Borders选项。从而 去掉子域边界，如图22 2．单击Boundary菜单 中Specify Boundary Conditions选项，打开 Boundary Conditions对话框，输入边界件．本 例取默认条件，即将全部边界设为齐次Dirichlet 条件，边界显示为红色． 如果想将几何与边界信息存储，可选Boundary 菜单中的Export Decomposed Geometrv．Boundary Cond's命令，将它们分 别存储在g、b变量中，并通过MATLAB形成M文 件．
图 2.6 解的等值线图和矢量场图
求解椭圆型方程的例子
单位圆上的poisson方程边值问题：
-u=1 , = (x, y) x2 y2 1 ,
u 0 问题的精确解为
u(x,y)= (1 x2 y2 ) . 4
求解抛物型方程的例子
考虑一个带有矩形孔的金属板上的热传导问题。板的左边